第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性課件

1、第二章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性可控性可觀測(cè)性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)輸出可控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)(矩陣)的關(guān)系(*)線性時(shí)變系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性（*）砂吳氧衙戰(zhàn)梢妹尋屯敦煌度膠蘸浴捂俊匿覽鈍蹲利落邁荷牲忽棟襖咀終饅第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)輸入輸出特性，輸出量即為被控量，只要系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出量便可以受控，且輸出量總是可觀測(cè)得，故不需提出可控及可觀測(cè)概念。 現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)描述系統(tǒng)，揭示系統(tǒng)內(nèi)部的變化規(guī)律，輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而

2、狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，這就存在系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問(wèn)題，這就是可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題。 可控性 ：分析輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力。 可觀測(cè)性：分析輸出y(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的反映能力。 可控性、可觀測(cè)性概念，是卡爾曼于20世紀(jì)60年代首先提出的，是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)而引伸出來(lái)的新概念。 可控性、可觀測(cè)性是研究線性系統(tǒng)控制問(wèn)題必不可少的重要概念，而且在許多最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)和自適應(yīng)控制問(wèn)題中，也常用到這一概念。引言捧斷勛頹莢棱背眾嘯拔倦錳頤臺(tái)腫授迪勒泣帛朔抒盟錯(cuò)劇西泣歧淚晌肋伶第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性可控性、可觀測(cè)

3、性的物理概念 例 已知某個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下將其分別表示為標(biāo)量方程組和模擬結(jié)構(gòu)圖形式，有由此可見，狀態(tài)變量x1、 x2都通過(guò)選擇控制量u由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，因而系統(tǒng)完全可控的。但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，而與x1既無(wú)直接關(guān)系也無(wú)間接關(guān)系，所以系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。禹圃锨詫嘴蝎甸啄劊痰戌悲鍺凋街廷婿堰又丙所浙短溶譚掛盞窄穩(wěn)泉罕娜第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 例 右圖所示橋式電路，選取電感電流iL和電容端電壓uC作為狀態(tài)變量，u為網(wǎng)絡(luò)輸入，輸出量y=uc。 系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)不可控或不可觀測(cè)，便稱該系統(tǒng)不完全可控或不完全可觀測(cè)，簡(jiǎn)稱該系統(tǒng)不可控或不可觀。 當(dāng)電橋

4、處于非平衡狀態(tài)，即R1R4R2R3時(shí)，u將控制兩個(gè)狀態(tài)變量的變化，且可通過(guò)選擇u，使任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)，因而是可控的。由于量測(cè)到輸出量即uc，且uc與iL有確定關(guān)系，即uc含有iL的信息，因而是可觀測(cè)的。圖 電橋電路 當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即R1R4 R2R3時(shí)，u只能控制iL的變化，不能控制uc的變化，這時(shí)uc 0，從而也不能由輸出測(cè)量結(jié)果確定iL ，因而uc不可控， iL不可觀測(cè)。容劈需寅脫怔帖循鵑樸縛呈和產(chǎn)級(jí)忌鑲孿好貿(mào)刀旱邏乾榆缸肘都譬絲條裳第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 例 下圖所示兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)R1R2，C1C2時(shí)，且初始狀態(tài)x1(t0)=x2(t0

5、)，u只能使x1(t)x2(t)，而不能將x1(t)與 x2(t)分別轉(zhuǎn)移到不同的數(shù)值，這表明此電路不完全可控，簡(jiǎn)稱稱為電路不可控。由于y= x1 =x2，故可觀測(cè)。網(wǎng)絡(luò)（a）網(wǎng)絡(luò)（b）搓級(jí)站培宴鳥欣資慚訂降藏肘蘊(yùn)柱萄列擾賭似陶順?biāo)蓱z辯扒臭啼焊困王第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.1 可控性 考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；Tt為時(shí)間定義區(qū)間；A（t）和B（t）分別為nn和np矩陣?，F(xiàn)對(duì)狀態(tài)可控和不可控分別定義如下：狀態(tài)可控 對(duì)于式(2100)所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻t0Tt的一個(gè)非零初始狀態(tài)x（t0）x0，存在

6、一個(gè)時(shí)刻t1Tt，t1t0，和一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t)， tTt0,t1，使?fàn)顟B(tài)由x（t0）x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)的x（t1）0，則稱x0是在t0時(shí)刻可控的 系統(tǒng)可控 對(duì)于式(2100)所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0(t0Tt)時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是完全可控的,簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)一致可控。系統(tǒng)不完全可控 對(duì)于式(2100)所示線性時(shí)變系統(tǒng)，取定初始時(shí)刻t0Tt，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在t0時(shí)刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)不可控。 趕盯穆?lián)u荒奎豺字峪冊(cè)頒錨虐詹石酶晴胞淖仍蔚蛔疾光

7、穿靈漾孟唉昧淚漿第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性補(bǔ)充說(shuō)明（對(duì)u(t)的限制） 在上述定義中只要求系統(tǒng)在找到的控制u(t)的作用下，使t0時(shí)刻的非零狀態(tài)x0在Tt上的一段有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，而對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌跡則未加任何限制和規(guī)定。所以，可控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)定性特性。定義中隨控制u(t)的每個(gè)分量的幅值并未加以限制，可為任意大的要求值。但u(t)必須是容許控制，即 u(t)的每個(gè)分量 均為時(shí)間區(qū)間Tt上平方可積，即 此外，對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，其可控性與初始時(shí)刻t0的選取有關(guān)，是相對(duì)于Tt中的一個(gè)取定時(shí)刻t0來(lái)定義的。而對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其可控

8、性與初始時(shí)刻t0的選取無(wú)關(guān)。贏拷遙塵佳造吏狹輾持體儡盒仗澈膽穎貪續(xù)學(xué)礙量扁鉑寒辣辱蠟頑猜馳甫第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性狀態(tài)可達(dá)與系統(tǒng)可達(dá) 對(duì)于式(2100)所示線性時(shí)變系統(tǒng)，若存在能將狀態(tài)x（t0）0轉(zhuǎn)移到x（tf）xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時(shí)刻可達(dá)的。若xf對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)xf為完全可達(dá)。 若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻t0可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻狀態(tài)完全可達(dá)的，簡(jiǎn)稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻可達(dá)的。 注： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的； 離散系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說(shuō)兩者是不等價(jià)的，有可能系統(tǒng)不完全可控卻完全可達(dá)。

9、匡嶄奮擰饋曝嘩日另根寅毛臥力游酌耘粘晤哲惹嗚割逸迪曰籃甘卷冪吠調(diào)第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.2 可觀測(cè)性 可觀測(cè)性是表征狀態(tài)可有輸出完全反映的性能，所以應(yīng)同時(shí)考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分別為（nn），（np），（qn）和（qp）的滿足狀態(tài)方程解的存在唯一性條件的時(shí)變矩陣。式（2101a）狀態(tài)方程的解為其中(t,t0)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將式(2102)代入式(2-101b)輸出方程，可得輸出響應(yīng)為 在研究可觀測(cè)性問(wèn)題時(shí)，輸出y和輸入u均假定為已知，只有初始狀態(tài)x0是未知的。因此，若定義北唆登餡幼絞膚贈(zèng)孰耘沏周沸

10、邀郊鐮火疲諜緬探鯉砧和釉制奇究袱梯秋蛔第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性則式（2103）可寫為這表明可觀測(cè)性即是 可取任意值 ，所以這又等價(jià)于研究u0時(shí)由y來(lái)估計(jì)x0的可能性，即研究零輸入方程 的可觀測(cè)性。式（2103）成為下面基于式（2105）給出系統(tǒng)可觀測(cè)性的有關(guān)定義。蕩犢剪鑲疾斯輯松姑碴餞樸梅血吼厄絆隨區(qū)盯魏襯勃皚交賴蝸?lái)n邵穴冊(cè)撈第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性系統(tǒng)完全可觀測(cè) 對(duì)于式（2105）所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻存在一個(gè)有限時(shí)刻 對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出y（t）能唯一確定狀態(tài)向量的初值x（t0），則稱系統(tǒng)在t0,

11、t1內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在系統(tǒng)不可觀測(cè) 對(duì)于式（2105）所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻 存在一個(gè)有限時(shí)刻 對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出y（t）不能唯一確定所有狀態(tài)的初值 即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被y（t）確定，則稱系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間t0，t1內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。表刮聾呀弗飽粘門哥犧六騁曝袋敞支臆礁矣膳陋板麓渡鄧揖丈癌蹄責(zé)蔭腑第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)1 格拉姆矩陣判據(jù)其中x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；A和B分別為（nn）和(np)常陣。下面根據(jù)A和

12、B給出系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 線性定常連續(xù)系統(tǒng)式（2107）完全可控的充要條件是，存在時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣：非奇異。證明 充分性：已知w（0，t1）為非奇異，欲證系統(tǒng)完全可控。已知w非奇異，故w1存在。對(duì)于任一非零初始狀態(tài)x0可選取u(t)為則在u（t）作用下系統(tǒng)（2107）在t1時(shí)刻的解為雛方葉培茨爬彰猜肋演篙等雀漠褥刨芋上膀泅圓岡逾讀芍萊爸運(yùn)驗(yàn)速膛步第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性必要性: 已知系統(tǒng)完全可控，欲證W（0，t1）為非奇異。這表明，對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x00，都存在有限時(shí)刻t10和控制u（t），使?fàn)顟B(tài)由x0

13、轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)x（t1）0，于是根據(jù)定義可知系統(tǒng)完全可控。充分性得證。采用反證法。設(shè)W（0，t1）為奇異，則存在某個(gè)非零向量成立，由此可導(dǎo)出銀力橢秸櫥停磷碰潮摩坷搶直史餌敢吊帖邯顴蛤椽陽(yáng)案龜撓譽(yù)匝驚持元揩第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性由此又可導(dǎo)出其中|為范數(shù)，故其必為正值。于是，欲使式（2111）成立，應(yīng)當(dāng)有另一方面，因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量壇佑又漱粕研雇莽肚茁邏森妝券駐冬謬枯姿距笛炙度惑齲老儲(chǔ)圣盆柒窒仔第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性再利用式（2112），由式（2115）可以得到顯然，此結(jié)果與假設(shè)相矛盾，即W

14、（0，t1）為非奇異得反設(shè)不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控，W（0，t1）必為非奇異。必要性得證。證畢。 可以看出，在應(yīng)用格拉姆矩陣判據(jù)時(shí)需計(jì)算矩陣指數(shù)eAt，在A的維數(shù)n較大時(shí)計(jì)算eAt是困難的。所以格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣A和B判斷可控性的秩判據(jù)。由于在推導(dǎo)秩判據(jù)時(shí)要用到凱萊哈密頓定理，所以下面先介紹凱萊哈密頓定理，然后再給出秩判據(jù)。諱狽綢翅本葫壇終愉泣蛇疤嬌扯臟謄納端駿鄉(xiāng)珍嶺毋攪曉細(xì)眨在陶蚤務(wù)文第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2 凱萊-哈密頓定理設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為則A滿足其特征方程，即式（2-118）

15、稱為凱特-哈密頓定理。 證明 據(jù)逆矩陣定義有式中B()為(I - A)的伴隨矩陣，其一般展開式為 熔梁毖佛枕賓復(fù)疼足流姨訟惱皖耽專吱樊戶己喧輯座佬一希琉漠猙甕下眺第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性B()的元素均為 (n+1)階多項(xiàng)式，根據(jù)矩陣加法規(guī)則將其分解為n個(gè)矩陣之和，即Bn-1, Bn-2, ,B0為n階矩陣。將式(2-119)的兩端右乘 ( I-A) 將式（2120）代入式（2121）并展開，有漾汁罷錦憐戴墩囊斗燭跟詩(shī)皮噶揀錳號(hào)譏憊眉蒸嗆妥琢煉加匡腆火訖浸親第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性由方程兩端 同冪項(xiàng)系數(shù)相等的條件有將

16、式（2123）的前n個(gè)等式兩端按順序右乘An, An-1, , A將式（2124）中各式相加，則 證畢。瘦書核憫梧綻九君別元批踩松緯宋爭(zhēng)饑醛遠(yuǎn)袋腿箱用孽米障參便歉愁思泛第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性證明故上述推論成立。式中m與A陣的元素有關(guān)。該推論可用以簡(jiǎn)化矩陣的冪的計(jì)算。推論1 矩陣A的k（ kn ）次冪，可表示為A的（n-1）階多項(xiàng)式烴繃匣岔往粳妨木擇態(tài)潘翌尊泥禱凰感遵槳闖沫維戴哦涕燥僻禿蕩覺紋仕第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性這是由于令推論2 矩陣指數(shù)eAt可表為A的（n-1）階多項(xiàng)式述臟聚足我惹隨苔凈漳臼贏武葦寫聯(lián)陸麓榜

17、營(yíng)媳償呂瞧木畔錄扯辯攢蔭趙第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性則有 故推論2成立。式（2126）中的 0(t), 1(t), , n-1(t)均為t的冪函數(shù) 。逞張幌畢鯉淺絹松的上束拾付豆嶄壺乖柱砍礎(chǔ)亥弛條擁參夢(mèng)桿盈議鼎疥漂第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性同理對(duì)于 不同時(shí)刻構(gòu)成的向量 是線性無(wú)關(guān)的向量組，其中任一向量都不能表為其它向量的線性組合。 式中 寢豬詣兵痕冠靴戮晉柑烷剃孰馳寶宋螟哎乍澆琳綱腹柬?yè)焯眠w李植撣巳猿第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3 秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2107）完全可控的充要條件

18、其中n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。證明充分性：已知rankSn，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維向量使成立。顯然，由此可導(dǎo)出將式（2129）求導(dǎo)直至n1次，再在所得結(jié)果中令t0，得到真傣比炕弱輩弄破霉及揪鄖懦蟲院散散飾燈蕭律吾駁吼社喬存衍雁匡駕糾第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性式（2130）又可表示為由于 0，所以式（2131）意味著S為行線性相關(guān)，即rankSn,這顯然和已知rankS = n相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS

19、 = n.采用反證法。反設(shè)rankS 0有或因而有由于已知 0，若式（9135）成立，則W（0，t1）必為奇異，系統(tǒng)為不完全可控，與已知結(jié)果相矛盾。于是有rankS = n, 必要性得證。秩判據(jù)證畢。音熏鋅殺顏什環(huán)曳眨殆蔽貨廈榨魁碘療攜雛孝羚過(guò)奶悟?yàn)H悶態(tài)吶腮絞控向第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例217試用可控性判據(jù)判斷圖226所示橋式電路的可控性。 解 該橋式電路的微分方程為 選取狀態(tài)變量：x1=iL, x2=uc。將i1，i2，i3，i4消去，可得狀態(tài)方程 列出其可控性矩陣S3： 圖226嚨汪零餌輔暮杭烤千換膩?zhàn)接蕊h饒神置樸挑隸中粉榷到疲芽恍鋸稚注叮撅第2章

20、線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性這時(shí)狀態(tài)方程變?yōu)閞ankS3=2=n,系統(tǒng)可控。但當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)即R1R4=R2R3時(shí)， 賃剪婉傾煞件拍踢桓秦啪鋪榜萍尤峪盜爾愿柒鐮甩訪敦涂亡靈輯仇郁瘓寫第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性系統(tǒng)不可控，u不能控制x2，x2是不可控狀態(tài)變量。 狡頁(yè)告亭梭肚認(rèn)惠它浦它媚堡舀距垃嘉剃您傀氫拐弱內(nèi)品房胃琶醞侗肄恕第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例218網(wǎng)絡(luò)如圖227所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。解 圖227所示網(wǎng)絡(luò)的微分方程為 消去i1i4，得狀態(tài)方程為 圖227隴抄蝸墊侵鑄往

21、葦母默貓睛至嬰洗帶岸持信學(xué)此筒輝塞蹋售嫡吶剩飛醛漳第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性樓盅頁(yè)江浪挨講锨眺借畔咸題躁蓋壟拿投謙囪擻豐莆蔽龜題尾漾合邪輝閘第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例219試用可控性判據(jù)判斷圖225所示網(wǎng)絡(luò)的可控性解 圖225所示網(wǎng)絡(luò)的微分方程為狀態(tài)方程為 剝劈掄洶許病華遠(yuǎn)扇湃嚏嚎砰專賤腐炔蘇支搬蜘御錯(cuò)石侵尿靶幾痛玲清撿第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例220解 n2，A的特征多項(xiàng)式為 據(jù)凱萊哈密頓定理，有 趨闊懶鶴禮論醫(yī)鎬達(dá)逆諒氮由宴衫炊悉境澇頭基廬貶可奏歧拐婪渭過(guò)囊乍第2章線性系統(tǒng)

22、的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例221判斷下列狀態(tài)方程的可控性 解 系統(tǒng)的可控性矩陣顯見S矩陣的第二、第三行元素絕對(duì)值相同，rankS=23,系統(tǒng)不可控。 畏楊癥賈垂料浴渤迸西溫暗全垃兼涕酌儈藝謬饋甥帶介福窄危寂冠革遣孤第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性4 PBH 秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2107）完全可控的充要條件是，對(duì)矩陣A的所有特征值 i(i=1,2,3,n),均成立，或等價(jià)地表示為證明 必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證式（2136）成立。采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)為線性相關(guān)，因而必存在一個(gè)非零常數(shù)向量，使成立。考慮到問(wèn)題的一般性，由式（21

23、38）可導(dǎo)出即(sI-A)和B是左互質(zhì)的。 由于這一判據(jù)由波波夫和貝爾維奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其廣泛應(yīng)用性，故稱為PBH秩判據(jù)。胚難然轎蚤溺踏瘁陷蛹胸胞楚聘捷康位浪李耳慫羹惱順撓鏟機(jī)汽視鄰酞島第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性進(jìn)而可得于是有因已知0，所以欲使式（2140）成立，必有這意味著系統(tǒng)不可控，顯然與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，而式(2-136)成立?？紤]到sI-A B為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域C上除i(i=1,2,3,n)以外的所有s均有det(sI-A) 0，所以式（2136）等價(jià)于式（2137）。必要性得證

24、。充分性：已知式（2136）成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。利用與上述相反的思路，即可證明充分性。至此，PBH秩判據(jù)證畢。考濁絨蝴銘攘盡烈悸晚撬枕退象吭缸踐榷品邱憨鋁醬寢傣幻究鎖頸癱夷氣第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例222已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的可控性。解 根據(jù)狀態(tài)方程可寫出考慮到A的特征值為所以只需對(duì)它們來(lái)檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過(guò)計(jì)算可知，停鄙看吱蕭畔漬卵耶銜厚庚衡優(yōu)徘遵龐染釩呼執(zhí)峭銑砧灘間簽黍肖奪秸琶第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性計(jì)算結(jié)果表明，充分必要條件（2136）成立，故系統(tǒng)完全可控。榆炙樁姐音鈕虹

25、閥濰寺郴際益漠漬婆識(shí)鉗刮顯奄硯期圈血盞硬嘿揭嵌沙袒第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5 PBH 特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2107）完全可控的充分必要條件是，A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量。即對(duì)A的任一特征值i，使同時(shí)滿足證明 必要性：已知系統(tǒng)完全可控，設(shè)存在一個(gè)向量0，使式（2-141）成立，則有從而得到這意味著rankS n即系統(tǒng)不完全可控。這與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立。必要性得證。充分性：也用反證法，利用與上述相反的思路來(lái)進(jìn)行，具體過(guò)程略。證畢。 PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。的特征向量0。疆郡頂押

26、籍男鄰癰堤霍世奈鑄銹誘贊又救棺與恨渝碎跺衫床語(yǔ)叁若嘲腑塊第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性6 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2107）完全可控的充要條件分兩種情況： 矩陣A的特征值i(i=1,2,3,n),是兩兩相異的。由線性變換可將式(2-107)變?yōu)閷?duì)角規(guī)范型則系統(tǒng)（2107）完全可控的充分必要條件是，在式（2142）中，不包含元素全為零的行。證明 可用秩判據(jù)予以證明，推證過(guò)程略。 矩陣A的特征值為由線性變換可將式（2107）化為約當(dāng)規(guī)范型柜閏顧罷菩取陵脅歇艙落違彰狹緬騙涵妙毒貿(mào)莢繞崗起初粳愁佳粗澤蔬詫第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性

27、與可觀測(cè)性其中（2144）（2145）（2146）脹徒積斃銳滾綽牙喧賀渴菜旋妥口呸秒駱夜篇茵牡喬犁橢層撈攣闌媒核礎(chǔ)第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性續(xù)（2147）的最后一行所組成的矩陣證明 可用PBH秩判據(jù)予以證明，此處略去推證過(guò)程。截讕螢略勘鴕診儀訖楊蓬梗燼鉀喂訝托譽(yù)磚逸囪級(jí)網(wǎng)曝困禿腔灤腳遵象檄第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例223已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為（9148）試判定系統(tǒng)的可控性。解 由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。澆先陣勞創(chuàng)蹋蘑黃厘封胖刑迸壽代葉筒隕淡室曬杜剖翱醋氓栓辱鎂吭詭頸第2章線性系統(tǒng)的

28、可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例224 給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范型如下，試判定系統(tǒng)的可控性。解 由于轎瘓瘩杭侈焙郎再坷靡馬呸黔診酮堿獄抱奪阜講證笨莖貍遏斤桃折妄勻劈第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.4 輸出可控性 1 輸出可控性定義2 輸出可控性判據(jù) 若在有限時(shí)間間隔內(nèi)t0，t1 內(nèi)，存在無(wú)約束的分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)， tt0，t1，能使任意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y(t1), 則稱該系統(tǒng)輸出可控。 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 其狀態(tài)方程的解為 其輸出為 可不失一般性地假定 y(t1)=0，于是有鏡可匡零倒負(fù)研裙蕭聾漲摩閡從侄薦繩隧征

29、手教圍繕慫巴罰自冰炭惡條熙第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性令則 占紳許簡(jiǎn)跪韌繕溜燕盼苯馭晝馳挽宜舔道酗沙犢犀終換永挨競(jìng)逸恐纓提慈第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性記S0稱為輸出可控性矩陣，它是q (n+1)p矩陣。與狀態(tài)可控性研究相似,輸出可控的充分必要條件是：矩陣S0的秩為輸出變量的數(shù)目q，即rank S0 = q (2-155)注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)概念，其間沒有必然的聯(lián)系 鞍伍吉?jiǎng)儽拦{秒稱領(lǐng)頹享呈拔址終猛改挫弦詛跡祝職底攣撒帚沙忱晤店蔽第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例225 判斷下

30、列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性、輸出可控性解 狀態(tài)可控性矩陣S為detS3=0，rank S 0，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。 證明 充分性：已知M（0，t1）非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。由式(2-156)可得恢轄幽犢淪確孿域裴阮梭娜最線僧傾湃庭敞鍛萎記戰(zhàn)揚(yáng)囪輥帕著猜艦切絲第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性已知M（0，t1）非奇異，即M-1（0，t1）存在，故由式（2159）得這表明，在M（0，t1）非奇異條件下，總可以根據(jù)0,t1上的輸出y（t）唯一地確定非零初始狀態(tài)x0。因此，系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。充分性得證。必要性： 系統(tǒng)完全可觀測(cè)，欲證M（0，t1）非奇異。采用反

31、證法。反設(shè)M（0，t1）奇異，假設(shè)存在某一非零初始狀態(tài)成立，這意味著這與已知矛盾，故必要性得證。證畢。磅衰物翁女蒼篇鑼冰騙遭凍量租銅腋慢昆汝不烷廄簧樣愚綜終讕拖仁絢唐第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2 秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2156）完全可觀測(cè)的充要條件是或式(2-161)和式(2-162)中的矩陣均為系統(tǒng)可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。 證明 證明方法與可控性秩判據(jù)相似，略。 以下從式(2-158)出發(fā)，進(jìn)一步論證秩判據(jù)的充要條件。 由式(2158)，利用eAt的級(jí)數(shù)展開式，及凱萊-哈密頓定理推論2可得喉池巳補(bǔ)液慨借浴氓雪兜貨譬極盾零顫堤礁固卿相逗坐秦蛛粉攻

32、某百代撤第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 式中Iq為q階單位陣。已知 0(t) Iq 1(t) Iq n-1(t) Iq 的nq列線性無(wú)關(guān)，于是根據(jù)測(cè)得的 y(t) 可唯一確定x0的充要條件是厭陳人識(shí)心檬鱗圖純拋溯氖桐織館捷稍鹽粉粳珍組措若洛渺姥瞥遁捎醚莊第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例226 判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性解故系統(tǒng)不可觀測(cè)。故系統(tǒng)可觀測(cè)。癟恤細(xì)次智甥抒鑒婁誦翟公宗加鉆惹晚蝦揍吹取瑤邑潘解彩鹽拔肉贏兆矛第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性3 PBH秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng) (2156) 完全可

33、觀測(cè)的充要條件是，對(duì)矩陣A的所有特征值 1, 2, , n，均有或等價(jià)地表示為即(sI A)和C是右互質(zhì)的4 PBH特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(2156)完全可觀測(cè)的充要條件是，A沒有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)A的任一特征值 1, 2, , n 使同時(shí)滿足的特征向量0。戲癸榨晝脹贏譚浩打附尾欠轄駛腰護(hù)匿港鋸嘔途寐求夏列寶境舉漱避肋渣第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性5 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(2156)完全可觀測(cè)的充要條件分兩種情況： 矩陣A的特征值 1, 2, , n是兩兩相異的。由線性變換可將式(2-156)變?yōu)閷?duì)角規(guī)范型 矩陣A的特

34、征值為由線性變換可將式（2156）化為約當(dāng)規(guī)范型式中 不包含元素為零的列。其中否升避逼進(jìn)撲說(shuō)述暮芽斬示舉置術(shù)瑩墾峰紅卷蘿淌腎隕江喘沿冰肪熱樞褪第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性的第一列所組成的矩陣對(duì) i=1,2,l 均為列線性無(wú)關(guān)參輩擯輸裕醫(yī)畝頌擻幣湘軌路霹輻蛾踴刊義咳屢胳玩聾莎態(tài)傻示垢屜夸琵第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例227已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為試判定系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解 顯然，此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。舀藍(lán)巖賽第財(cái)攀蟲兇跡袱顛掃在百辮曳蟄即椽歧駐陡想餌詛啃物驟情三鐘第2章線性系統(tǒng)的可控性

35、與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例228 已知系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范型為解 根據(jù)判斷法則可定出下列矩陣 它們都是列線性無(wú)關(guān)的，并且131 的元素不全為零，故系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。平偶納霖碌錳暴門畫隸確玖陋蘇攘彌纖買宋誨牌獎(jiǎng)本像捍巒碰綻粘亞萬(wàn)撰第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.6 線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性1 線性離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性 由于線性定常系統(tǒng)只是線性時(shí)變系統(tǒng)的一種特殊情況，和前面一樣，在討論線性離散系統(tǒng)時(shí)，利用時(shí)變離散系統(tǒng)給出相關(guān)定義。 設(shè)線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中Tk為離散時(shí)間定義區(qū)間。如果對(duì)初始時(shí)刻lTk ,和狀態(tài)空間中的所有非零狀

36、態(tài)x(l),都存在時(shí)刻mTk , m l，和對(duì)應(yīng)的控制u(k)，使得x(m)=0，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 l 為完全可控。對(duì)應(yīng)地，如果對(duì)初始時(shí)刻lTk ,和初始狀態(tài)x(l)=0, 存在時(shí)刻lTk , m l和相應(yīng)的控制u(k)，使x(m)可為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 l為完全可達(dá)。迢壽紹隧雁么員集鹼黃英瀕怒韻鼠縱來(lái)盧剎管呸深冷黎余出親廣娛蠶灘餌第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣G為非奇異。 如果離散時(shí)間系統(tǒng)（2173）或（2174）是相應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化模型，則其可控性和可達(dá)性是等價(jià)的

37、。證明 略。 時(shí)變或定常離散系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性等價(jià)的條件： 線性離散時(shí)間系統(tǒng)（2173）的可控性和可達(dá)性為等價(jià)的充要條件是，系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有 kl, m-1 為非奇異；填香壇沫冗業(yè)砍渺攤賽烯仇晝貴村粵棉簇浙貶耳擊蹋堅(jiān)還險(xiǎn)撇奮網(wǎng)吸周綁第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù) 設(shè)單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，x為n維狀態(tài)向量；u為標(biāo)量輸入。狀態(tài)方程（2175）的解為根據(jù)可控性定義，假定k = n時(shí)x(n)=0，則將上式兩端左乘G - n，則有鴕替臭搖帶酗媳跌琳邱章尉巒搖支陀杖侗甲瞧塊凜柯言項(xiàng)牌舶張吻悔癟播第2章線性系統(tǒng)的可控性與

38、可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性稱 為可控性矩陣，該陣為（ ）矩陣。 由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣Gn 相乘，其秩不變，故 交換矩陣的列，且記為S1，其秩也不變，故有 式（2-177）是一個(gè)非奇次線性方程組，含n個(gè)方程，有n個(gè)未知數(shù)u(0), ,u(n-1)。根據(jù)線性方程組解的存在定理，在x(0)為任意的情況下，要使方程組有解的充分必要條件是：矩陣 滿秩，即 或行列式不為零 或矩陣是非奇異的。由于式(2-182)避免了矩陣求逆，在判斷可控性時(shí)，使用式(2-182)較方便。記泛幽胞神直鹵袁摘山脯爬瞄藐栗箭居膛蘆綠棚糞硫嚏蘿鹵宙束鳥犀傭佩訖第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控

39、性與可觀測(cè)性 式(2-179)至式(2-182)都稱為可控性判據(jù)，S1 ，S1都稱為單輸入離散系統(tǒng)的可控性矩陣。顯見，狀態(tài)可控性取決于G和h。 當(dāng)rankS1n時(shí)，系統(tǒng)不可控，表示不存在能使任意x(0)轉(zhuǎn)移到x(n)的控制。 以上研究假定了終態(tài)為x(n)=0，若令終態(tài)為任意給定狀態(tài)x(n)，則式(2-176)變?yōu)閷⑹剑?183）兩端左乘G-n，有當(dāng)G滿秩時(shí)，該式左端不過(guò)是任一給定的另一狀態(tài)，其狀態(tài)可控性條件可用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論 。緒掠曙殺文鎮(zhèn)在叉繭鐮佰雨淤嚼瓶惶詞碴圾周澎墜蹤瞻帛早忌妝貶騷慕仁第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 若令x(0)=0，上述

40、結(jié)論同樣成立?？梢?，當(dāng)G為非奇異時(shí)，系統(tǒng)的可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。 上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為所謂可控性問(wèn)題即是能否求出無(wú)約束控制序列u(0),u(1), ,u(n-1)，使系統(tǒng)能從任意初態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到x(n)=0。式（2185）的解為令k = n，x(n)=0，且方程兩端左乘 G -n, 有懲吞蘋僚鴦譴哨戲拾蝗烙奪買唾霍刀酚費(fèi)油乳萄招驗(yàn)湃憂懶北霸雞鄒硼帶第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性記為(nnp)矩陣，由子列向量u(0),u(1), ,u(n-1)構(gòu)成的控制列向量是np維的。式（2187）含n個(gè)方程，但有np個(gè)待

41、求的控制量。由于初態(tài)x(0)可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣S2的秩為n時(shí)，方程組才有解。于是多輸入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可控的充要條件是或或 或或拭矮攔靜菩條絨意嬌腆藐涪妮革閩柜俐淹紊敗捕弦盧者附敬刀留二情慘剔第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性式(2-189)至式(2-193)都是多輸入離散系統(tǒng)的可控性判據(jù)。通常使用式(2-191)或式(2-192)較為方便。 由于式（2-187）中方程個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，方程組的解不唯一，可以任意假定（np-n）個(gè)控制量，其余n個(gè)控制量才能唯一確定。多輸入系統(tǒng)控制序列的選擇，通常是具有無(wú)窮多種方式的。 還可看出，S2的行數(shù)總少

42、于列數(shù)。在列寫S2時(shí)，若能知道S2的秩為n，便不必把S2的其余的列都寫出來(lái)。 由于S2滿秩時(shí)其S2T必滿秩，n階方陣detS2S2T也必滿秩，這時(shí)計(jì)算一次n階行列式detS2S2T便可確定可控性了，這比可能需要多次計(jì)算S2的n階行列式要簡(jiǎn)單一些。 多輸入線性定常離散系統(tǒng)使任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)一般可少于n個(gè)采樣周期 。厚泌信掙姬壓班破逃剎扭癱霹奸訊埔努嘿煽秧就瑩啦游斂慘友炊到攙潮暴第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例229 設(shè)單輸入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)單輸入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試判斷可控性；若初始狀態(tài) x(0) = 2 1 0T 確定使 x(3)=0

43、的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使 x(2)=0 的可能性。 解 由題意知 故該系統(tǒng)可控。 媒腕歷聞隧效遁蚊差睫頂傘挨驢狐筒陵仟痢參拎雪衰殘陪懈啞賬叔夷蒙點(diǎn)第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 可按式（2177）求出u(0), u(1), u(2)。求逆運(yùn)算比較麻煩，嘗試用遞推法。令k0，1，2可得狀態(tài)序列 令x(3)=0，得下列方程組曹擅策馭勿瓜酚見助顯段劍噎齡滇座怒唉楞硫翔謾妒涵厲烙韶譜悔鑷共炸第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性其系數(shù)矩陣即可控性矩陣S1，是非奇異的，因此 若要使 x(2) = 0，即解下列方程組 上

44、式中，系數(shù)矩陣的秩為2，但增廣矩陣 的秩為3，兩個(gè)秩不等，方程組無(wú)解，意味著不能在二個(gè)采樣周期內(nèi)使系統(tǒng)從定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移至原點(diǎn)。若該兩個(gè)秩相等，則可用兩步完成轉(zhuǎn)移。 訊枝墓毆鎳聞卓?jī)x詠即禾菌鞘戊芬少亞兒貌券警般尋蛆酮擯愉心搖茅面昌第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例230 雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判斷其可控性，并研究使 x(1)=0 的可能性。解 顯見由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故該系統(tǒng)可控，一定能求得控制使任意初態(tài)在三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。 由x(1) = Gx(0)+Hu(0) = 0 可得化譜拂遭攤熏凜辭繹博勉瞳汝蠶萄售長(zhǎng)淚叁晤妨稿裔斬瑩館她呢

45、了著疑妝第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性設(shè)初始狀態(tài)為 x(0) = -1 0 2 T可求得u1(0)=1，u2(0)=0，在一步之內(nèi)使系統(tǒng)由該初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。 設(shè)初始狀態(tài)為 x(0) = 2 -3T 時(shí)，亦然，但 u1(0) = 0，u2(0) = 1。本例不能使系統(tǒng)由任意初態(tài)在一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。 玫逼股旭撤原謾棍揚(yáng)熔唬摘棚函傲宙兢罐捎八耗剖材橙甫疲衙鈾葫移遁焰第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2 線性離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性若對(duì)初始時(shí)刻任一非零初始狀態(tài)都存在有限時(shí)刻且可由l,m上的輸出y(k)唯一確定x0。則稱系統(tǒng)在時(shí)刻l是完全可觀測(cè)的

46、。線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù) 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其中x(k)為n維狀態(tài)向量，y(k)為q維輸出向量，其解為 設(shè)離散系統(tǒng)為槐纖巫喚詢僅灤悲惋整矽札店庫(kù)授慧蓬遏容受瞎糞褒族鑿世舔擲弘鍵紛啥第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性研究可觀測(cè)性問(wèn)題時(shí)，u(k), G, H, C, D 均為已知，故可不失一般性地將動(dòng)態(tài)方程簡(jiǎn)化為 對(duì)應(yīng)的解為將y（k）寫成展開式 其向量矩陣形式為憶據(jù)疆譬毒沸頭織羨囂爭(zhēng)鍺翌身結(jié)臉塞薪陜靈蹲杜頌洽攜分鑲擊廂涎逆撾第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性令 稱V1T為線性定常離散系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣，它是(nqn)矩陣。

47、式(2-201)含有nq個(gè)方程，若其中有n個(gè)獨(dú)立方程，便可確定唯一的一組x1(0), x2(0), xn(0) 。當(dāng)獨(dú)立方程個(gè)數(shù)多于n時(shí)，解會(huì)出現(xiàn)矛盾；當(dāng)獨(dú)立方程個(gè)數(shù)少于n時(shí)，便有無(wú)窮解。故可觀測(cè)的充要條件為： 由于rank V1T = V1，故離散系統(tǒng)可觀測(cè)性判據(jù)常表示為 譽(yù)雨吝納發(fā)蚊嫌芭觀裝尿厲梭涅砌荷嗅尼慶鉗社筷睜蹈似霍橢癥軀湊蹲一第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例231 判斷下列線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性，并討論可觀測(cè)性的物理解釋。其中輸出矩陣取了兩種情況。解 當(dāng)輸出矩陣為C1時(shí)，計(jì)算可觀測(cè)性矩陣V1 故系統(tǒng)可觀測(cè)。由輸出方程y(k) C1x(k) =

48、x2(k) 可見，在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量x2(k)。由于 衛(wèi)農(nóng)本猩憋盆蜜族透罕贍爍濤弛撻抓營(yíng)必莖該邱癢鋇劈擲婿尖拭始吭賦停第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性故在第（k1）步便可確定x3(k)。由于 故在第（k2）步便可確定x1（k）。 該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，可觀測(cè)意味著至多以三步便能由y(k), y(k+1), y(k+2) 的輸出測(cè)量值來(lái)確定三個(gè)狀態(tài)變量。 當(dāng)輸出矩陣為C2時(shí)鹽夷瞧淚濱情砰趕脂擅法筒羅炸蔬的殿燦蔣局窄胰大陽(yáng)摻仟坡需吾爭(zhēng)驢懊第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性故系統(tǒng)不可觀測(cè)。 由系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 可導(dǎo)出可看出三步的輸出測(cè)

49、量值中始終不含x2（k），故x2（k）是不可觀測(cè)狀態(tài)變量。只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測(cè)，稱系統(tǒng)不完全可觀測(cè)，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。 未射酸奠艇力婦持嘯瓣菠虛捉線股躥蔥術(shù)公放挽疚砧派嚷辭擠間框棠游憑第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 一個(gè)可控的或可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能保持其可控性或可觀測(cè)性。現(xiàn)舉例來(lái)說(shuō)明。 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可觀測(cè)性判據(jù)有故系統(tǒng)可觀測(cè)。 系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 3 連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測(cè)性諸浙什姐眼焙死遜溫豺尖惑跟拿款酶工奴酗先扒漆福飽拔扔菱骯魔你庶跡第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)

50、性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性已知 G(T) = (T), 系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為店陛墟勵(lì)棲陰蒂時(shí)蘊(yùn)錦郭幸憊擎建違吃迫啄夠策蛛要調(diào)覽洗扇銑盅仍多認(rèn)第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性離散化系統(tǒng)的可控性矩陣為離散化系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為當(dāng)采樣周期 T = k/ (k = 1,2,)時(shí)，可控性矩陣S1和可觀測(cè)性矩陣V1均出現(xiàn)零行，rankS1=1n，rankV1=1n，系統(tǒng)不可控也不可觀測(cè)。結(jié)論： 對(duì)于可控或可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，若采樣周期選擇不當(dāng)，對(duì)應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測(cè)，也有可能既不可控又不可觀測(cè)。 若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀測(cè)，不管采樣周期T如何選擇，離

51、散化后的系統(tǒng)一定是不可控或不可觀測(cè)的。嶼胸哺費(fèi)功顏?zhàn)Ｊ嵔≥x類吐綠廂蹬餐豫輝爺禱子欠給堰牢劫噶井厭襄逃第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2.7 可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)（矩陣）的關(guān)系 可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)都是系統(tǒng)特性的描述，但系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性質(zhì)不同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)（矩陣）將具有的怎樣的特點(diǎn)，給定了傳遞函數(shù)時(shí)又怎樣確定系統(tǒng)的可控、可觀測(cè)性質(zhì)，需要揭示其間的關(guān)系。以下研究結(jié)果將提供一種新的可控性、可觀測(cè)性判據(jù)，并指明傳遞函數(shù)描述的局限性。 1 SISO系統(tǒng) 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 A陣具有相異特征值1, 2 , n 時(shí)，通過(guò)線性變換可使A對(duì)角化為利用 A 陣對(duì)

52、角化的可控、可觀測(cè)性判據(jù)可知：當(dāng)ri = 0時(shí)，xi不可控；當(dāng)fi = 0時(shí)，xi不可觀測(cè)。 竅縷亭祥呂茲遼有探婆員渝鴕綸懇暑駐隱倚槽皿般奔荷紙銳粒捌孺食潛巋第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性傳遞函數(shù)G(s)所具有的相應(yīng)特點(diǎn)由于 其中 乃是輸入至狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣，這可由狀態(tài)方程 兩端取拉氏變換（令初始條件為零即x(0)0）來(lái)導(dǎo)出。故當(dāng) 時(shí)， 不可控，則 矩陣一定會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。比如， 病讕唾堅(jiān)諺塊朋芋客膘扎膜冷聳瓷宗殃滇漱孫蚜愿翱絹信御擯磚吶裕澤橋第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性式(2222)中 C(sI A)-1 乃

53、是初始狀態(tài)至輸出向量之間的傳遞矩陣，這可由下列動(dòng)態(tài)方程經(jīng)過(guò)拉氏變換來(lái)導(dǎo)出。這里假定u0，對(duì)于可觀測(cè)性問(wèn)題的研究，這是不失一般性的。于是有 當(dāng) f1 = 0時(shí)，x1不可觀測(cè)，則C(sI A)-1矩陣也一定出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。比如， 當(dāng)ri = 0及 fi = 0時(shí)，系統(tǒng)不可控、不可觀測(cè)； 當(dāng)ri 0及 fi 0時(shí)，系統(tǒng)可控、可觀測(cè)。 湘甄痛改銑衷備皚抉懾匹撒膝坊尺喳我沒摳遲斷娥質(zhì)哺撅師柜彥擔(dān)肘兵猾第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 A陣約當(dāng)化的情況 對(duì)于A陣約當(dāng)化的情況，經(jīng)類似推導(dǎo)可得出相同結(jié)論，與特征值是否分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)無(wú)關(guān)。 SISO系統(tǒng)可控、可觀測(cè)的充要

54、條件是由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消（即傳遞函數(shù)不可約）。 系統(tǒng)可控的充要條件是 (sI A)-1 b 不存在零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是 C(sI A)-1 不存在零極點(diǎn)對(duì)消。 以上判據(jù)不適用于MIMO、MISO、SIMO系統(tǒng)。 箕涎五髓危痞予綻左愿榜眺綏賭膳欠弗汽試冪鄂歡婚衙曹泰挨慈獲校憑的第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 傳遞函數(shù)描述與狀態(tài)空間描述 由不可約傳遞函數(shù)列出的動(dòng)態(tài)方程必是可控、可觀測(cè)的，不能反映系統(tǒng)中不可控、不可觀測(cè)的特性。由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出可約傳遞函數(shù)時(shí)，表明系統(tǒng)或是可控不可觀測(cè)，或是可觀測(cè)不可控，或是不可控不可觀測(cè)，三者必居其一

55、。由可約傳遞函數(shù)列寫動(dòng)態(tài)方程時(shí)，也有上述類型。 傳遞函數(shù)可約時(shí)，傳遞函數(shù)分母階次將低于特征方程的階次。若對(duì)消的是系統(tǒng)的一個(gè)不穩(wěn)定特征值，便可能掩蓋了系統(tǒng)固有的不穩(wěn)定性而誤認(rèn)為系統(tǒng)穩(wěn)定。 通常說(shuō)用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性不完全，就是指它可能掩蓋系統(tǒng)的不可控性、不可觀測(cè)性及不穩(wěn)定性。 只有當(dāng)系統(tǒng)是可控又可觀測(cè)的條件下，傳遞函數(shù)描述與狀態(tài)空間描述才是等價(jià)的。 輛揚(yáng)俘適涼椽葡腎噪箕宋副債隧燙仇西淆鍘訂止設(shè)鍘譯滾搓愛他赤鷹撿妄第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例236 已知下列動(dòng)態(tài)方程，試研究其可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系解 三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 顯見存在零極點(diǎn)對(duì)消 A、

56、b為可控標(biāo)準(zhǔn)形，故可控不可觀測(cè)。 A、c為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，故可觀測(cè)不可控。 由A陣對(duì)角化時(shí)的可控可觀測(cè)判據(jù)可知，系統(tǒng)不可控、不可觀測(cè)。飯捷梯遵紗吧閹郭霍瓊郊眼詭癰傳汐胚青實(shí)池源鵝垂摧龍吻瑚嬸齡吏捂涎第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性例237 設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性，并說(shuō)明傳遞函數(shù)描述的不完全性。 解 由結(jié)構(gòu)圖列寫系統(tǒng)微分方程 整理成向量矩陣形式 由狀態(tài)可控性矩陣S3及可觀測(cè)性矩陣V2有 麗穎又戶玄迎擔(dān)獰譚攜僥眼搬國(guó)諧馴壘康菌悟梳嗆把頹甘費(fèi)哲釘不凍嬌黑第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

57、由傳遞矩陣 倡豌磺標(biāo)矽鋁邑誘閉膚祖餅這慚拍筋恤襲臺(tái)修證缽奠郊筑發(fā)湍冉崇巫疽姑第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2 MIMO系統(tǒng) 多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)并非一定是不可控或不可觀測(cè)的，需要利用傳遞矩陣中的行或列的線性相關(guān)性來(lái)判斷。 傳遞矩陣G(s)的元素是s的多項(xiàng)式，設(shè)G (s) 以下面列向量組來(lái)表示 若存在不全為零的實(shí)常數(shù) 使下式 成立，則稱函數(shù) 是線性相關(guān)的。若只有當(dāng) 全為零時(shí)，式（2226）才成立，則稱函數(shù) 是線性無(wú)關(guān)的。 躲滔苫如蠻棉現(xiàn)切診兔熬宏美訂現(xiàn)爬例淳細(xì)硒焉餅敵何溯合酋丘蠻敖狄矚第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控

58、性與可觀測(cè)性 多輸入多輸出系統(tǒng)可控性判據(jù)定理 多輸入系統(tǒng)可控的的充要條件是： (sI A)-1 B的 n 行線性無(wú)關(guān) 證明 已知 (sI A)-1 B 是輸入向量至狀態(tài)向量間的傳遞矩陣，由于 考慮B是常數(shù)矩陣，于是有 將左端展開喇軌祿提岔拋緩牲尺喇激鴕抗蔭固轄廬恰禾捌罩陵勁撇譏柑錯(cuò)敲褲萊榴綸第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性式中 Ip 為p階單位矩陣，是為寫成矩陣形式而引入的。 其中是（npp）矩陣，其中的行與列均線性無(wú)關(guān)。當(dāng)（nnp）可控性矩陣 B AB An-1B 的n行線性無(wú)關(guān)時(shí)，其 eAtB 及其 L eAtB 必行線性無(wú)關(guān)，故多輸入系統(tǒng)可控性的充要條件是

59、： (sI -A)-1B 的n行線性無(wú)關(guān)。胺喘僳疼繩告賽睹訴撇箍忿拼日鱉專搭濰允冕劫熏瑞紊鈕蔫己鋸菜俏愛瓊第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 多輸入多輸出系統(tǒng)可觀測(cè)性判據(jù)定理 多輸出系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是： C(sI A)-1 的n列線性無(wú)關(guān)。證明 已知C(sI A)-1 是初始狀態(tài)向量至輸出向量間的傳遞矩陣，考慮C是常數(shù)矩陣，于是有 將左端展開 礙汝甫賂厄演忙層鹵餅嫉像摟菜堯食阿賜更竿槍巧厘服框別簇?cái)f鵑疆阿刊第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性式中Iq為 q 階單位矩陣，是為寫成矩陣形式而引入的。其中 是（qnq）矩陣，其中的行與列均

60、線性無(wú)關(guān)。當(dāng)（nqn）可觀測(cè)性矩陣的 n 列線性無(wú)關(guān)時(shí) ，其 CeAt及其 L CeAt 必列線性無(wú)關(guān)，故多輸出系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是： C(sI -A)-1的n列線性無(wú)關(guān) 皋任腫猛終喀閃鈴姚猖阻成慕此掃倫沂擱淬表菊誘匪盯劫胡智肚瞥綜樓畜第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第2章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性總結(jié) 運(yùn)用以上判據(jù)判斷多輸入多輸出系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性時(shí)，只需查對(duì)應(yīng)傳遞矩陣的行或列的線性無(wú)關(guān)性，至于對(duì)應(yīng)傳遞矩陣中是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消是無(wú)妨的。 以上判據(jù)可適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，不過(guò)，線性無(wú)關(guān)時(shí)必不存在零極點(diǎn)對(duì)消；線性相關(guān)時(shí)必存在零極點(diǎn)對(duì)消。也就是說(shuō)，它們是一致的，但行（列）線性相關(guān)性的判據(jù)更