江蘇省高三一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題材料專題2數(shù)列

1、專題2數(shù)列江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)潘振嶸【課標(biāo)要求】1.課程目標(biāo)通過(guò)數(shù)列的教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并能利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題通過(guò)揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)2.復(fù)習(xí)要求（1）數(shù)列：了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義（2）等差數(shù)列：理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系（3）等比數(shù)列：理解

2、等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系3.復(fù)習(xí)建議（1）要以等差、等比數(shù)列為主，以簡(jiǎn)單的一般數(shù)列、遞推數(shù)列為輔，重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)及應(yīng)用（2）處理等差、等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要充分利用等差、等比數(shù)列中的基本量（首項(xiàng)、公差、公比等），同時(shí)要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用（3）要注重?cái)?shù)列與函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何等內(nèi)容的交叉綜合（4）要注重化歸思想的運(yùn)用能將一般數(shù)列、遞推數(shù)列化歸為等差、等比數(shù)列，然后再用等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)去解題（5

3、）要注重歸納和類比推理能力的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的能力（6）要強(qiáng)化數(shù)列模型的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言、普通語(yǔ)言的理解和轉(zhuǎn)化【典型例題】例1（填空題）（1）在數(shù)列中，則 解析：由得，是等差數(shù)列，（2）在等比數(shù)列中，若則的值為_解析：由，且得（3）各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為 解析：由題設(shè)得，即又，所以故（4）一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，則 解析：設(shè)該數(shù)列的公差為，則依題意有， 得，又，從而有（5）已知數(shù)列中，則等于_解析：由題得，于是（6）已知的前n項(xiàng)之和 解析：，則（7）已知數(shù)列滿足

4、（），且，則的取值范圍是_解析：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是（8）某地區(qū)有1500萬(wàn)互聯(lián)網(wǎng)用戶，該地區(qū)某用戶感染了某種病毒，假設(shè)該病毒僅在被感染的第1小時(shí)內(nèi)傳染給另外2個(gè)用戶，若不清除病毒，則在第22小時(shí)內(nèi)該地區(qū)感染此病毒的用戶數(shù)為 ()解析：在第22小時(shí)內(nèi)該地區(qū)感染此病毒的用戶數(shù)為（9）在等差數(shù)列中，若它的前n項(xiàng)和有最大值，則使取得最小正數(shù)的 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)，由可知，且，故，所以n19（10）在數(shù)列中，a1=1，an+1=an+c (c為常數(shù)，)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比數(shù)列，設(shè)bn=，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 解析：an+1=an+c，a1=1，c為常數(shù)，an=1+

5、(n-1)c a2=1+c,a5=1+4c又a1，a2，a5成等比數(shù)列，(1+c)2=1+4c，解得c=0或c=2當(dāng)c=0，an+1=an不合題意，舍去 c=2故an=2n-1Sn=b1+b2+bn = = = 例2 已知數(shù)列中，（），數(shù)列滿足（）（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由解：（1），而（），（）數(shù)列是等差數(shù)列（2）依題意有，而， 函數(shù)在（3.5，）上為減函數(shù)，在（，3.5）上也為減函數(shù)故當(dāng)n4時(shí)，取最大值3，n3時(shí)，取最小值-1例3 某個(gè)體戶，一月初向銀行貸款1萬(wàn)元作為開店啟動(dòng)資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納所得

6、稅為該月利潤(rùn)的10%，每月的生活費(fèi)開支為540元，余額作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)，如此不斷繼續(xù)，問(wèn)到這年年底該個(gè)體戶還貸款前尚余多少資金？若銀行貸款的年利息為5%，問(wèn)該個(gè)體戶還清銀行貸款后還有多少資金？（參考數(shù)據(jù)：結(jié)果精確到0.1元）解：設(shè)第個(gè)月月底的余額為元，則，于是還清銀行貸款后剩余資金為答：到這年年底該個(gè)體戶還貸款前尚余資金元；還清銀行貸款后還有資金元例4 已知點(diǎn)列，且與向量垂直，其中c是不等于零的實(shí)常數(shù)，n是正整數(shù) 設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求其前n項(xiàng)和解：由題意得：垂直， ， 當(dāng)c=1時(shí)， 當(dāng)c1時(shí)， 例5 已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；

7、 （2）若一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：（1）由題意知，于是兩式相減得： （2），當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，取最大值是又，即例6 將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，構(gòu)成的數(shù)列為bn,b1=a1=1 Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且滿足（n2）（1）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)當(dāng)時(shí)，求上表中第k(k3)行所有項(xiàng)的和解：（1）由已知，又，所以，即，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)

8、為1，公差為的等差數(shù)列，即所以，（2）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q0 因?yàn)樗员碇械?行至第12行共含有數(shù)列an的前78項(xiàng)，故 a81在表中第13行第三列，因此又所以 q=2記表中第k(k3)行所有項(xiàng)的和為S，則（k3）【新題備選】1在數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)（1）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；（2）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）是等比數(shù)列 證明：設(shè)的公比為，的公比為，則，故為等比數(shù)列（2）數(shù)列，分別是公差為和的等差數(shù)列由條件得，即故對(duì)，于是將代入得，從而有所以數(shù)列的前項(xiàng)和為2蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六

9、邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第個(gè)圖的蜂巢總數(shù)（1） 試給出的值，并求的表達(dá)式（不要求證明）；（2）證明：解：（1） 由于因此，當(dāng)時(shí)，有所以又，所以 （2）當(dāng)時(shí)， 所以3已知分別以和為公差的等差數(shù)列和滿足，（1）若=18，且存在正整數(shù)，使得，求證：；（2）若，且數(shù)列，的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，令，且，問(wèn)不等式 是否對(duì)一切正整數(shù)恒成立？請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）依題意， 即， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)不成立原命題成立（2）由得，即，解得，（3）在（2）的條件下，要使成立，只要0成立當(dāng)

10、時(shí)，數(shù)列單調(diào)減；單調(diào)增當(dāng)正整數(shù)時(shí)，；當(dāng)正整數(shù)時(shí)，；當(dāng)正整數(shù)時(shí)，則不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立同理，當(dāng)時(shí)，也有不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立綜上所述，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立4已知（其中為中的最小值），若數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和Sn；（3）求使對(duì)一切的恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍解：（1）由已知得 ，（2）由（1）及可得，Sn（3）當(dāng)當(dāng)當(dāng)故命題恒成立，由知符合題意的k的取值范圍為【專題訓(xùn)練】一、填空題1已知等差數(shù)列中則n的值為 _ 2在等比數(shù)列中，它的前n項(xiàng)和是時(shí)，則公比的值為 3已知等差數(shù)列的首項(xiàng)是，且從第10項(xiàng)開始比1大，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍

11、是_4數(shù)列an中，a1=2，a2=1，則an= 5等差數(shù)列的公差且，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的= 6某人為了購(gòu)買商品房，從2001年起，每年1月1日到銀行存入a元一年定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款及利息均自動(dòng)轉(zhuǎn)存為新的一年定期存款，到2008年1月1日（當(dāng)日不存只?。⑺械拇婵罴袄⑷咳』?不計(jì)利息稅)，則可取回的錢的總數(shù)為 元7若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 8已知數(shù)列，前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿足，則_ 9設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= 10依次寫出數(shù)列：從第二項(xiàng)起由如下法則確定：如果為自然數(shù)且未出現(xiàn)過(guò)，則用遞推公式，否則用遞推公式，則 11在數(shù)列中

12、，均為正實(shí)數(shù)，則與的大小關(guān)系是 12數(shù)列中，若為等差數(shù)列，則_13數(shù)列滿足，則 14已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，有下列四個(gè)命題：（1）；（2）；（3） ；（4）數(shù)列中的最大項(xiàng)為其中正確命題的序號(hào)是_ 二、解答題 15設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，已知它的前10項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列 （1）求證：； （2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式 16設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記，求數(shù)列前n項(xiàng)和 17某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造需向銀行貸款，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增

13、加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（取） 18已知是公差為的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為, （1）求公差的值； （2）若，求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； （3）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍 19數(shù)列滿足， （1）求，的值； （2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，且數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)和 20已知二次函數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：不等式的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證： 【專題訓(xùn)練參考答案】150 2 3 4 55或6 6 787 94 101 11 12 13 14（1）（2） 15解：（1）因成等比數(shù)列，故 又是等差數(shù)列，于是即，又，（2）由（1）代入上式得， 因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為16解：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)之和當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，而n=1時(shí)，滿足，故（2），所以數(shù)列的前n項(xiàng)和17解：甲方案獲利：（萬(wàn)元），銀行貸款本息：（萬(wàn)元），故甲方案純利：（萬(wàn)元）乙方案獲利：（萬(wàn)元），銀行本息和：（萬(wàn)元），故乙方案純利：（萬(wàn)元）綜上可知，甲方案更好18解：（1），解得（2），數(shù)列的通項(xiàng)公式為函數(shù)在和上分別是