大學(xué)物理--第四章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)課件

1、第四章 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)4-1 統(tǒng)計(jì)物理的基本概念一、物質(zhì)的微觀模型熱力學(xué)系統(tǒng)（熱力學(xué)研究的對象）：大量微觀粒子（分子、原子等）組成的宏觀體系。 外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。微觀粒子體系的基本特征(1)分子(或原子)非常小。(2)熱力學(xué)系統(tǒng)所包含的微觀粒子數(shù)非常巨大.(3)分子之間存在相互作用力-分子力.(4）分子或原子都以不同的速率不停地運(yùn)動。(3）分子之間存在相互作用力-分子力。為斥力且 增加時f急劇增加為平衡態(tài)，f=0為吸引力且增加時f先增再減少注意 d 可視為分子力程；數(shù)量級在10-10-10-8m數(shù)量級，可看為分子直徑（有效直徑）。分子力是電性力，遠(yuǎn)大于萬有引力。fd宏觀量狀態(tài)參量 描

2、寫熱力學(xué)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的參量。 如 壓強(qiáng) p、體積 V、溫度 T 等。微觀量 描述系統(tǒng)內(nèi)個別微觀粒子特征和運(yùn)動狀態(tài)的物理量。 如分子的質(zhì)量、 直徑、速度、動量、能量 等。微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫在這過程中，各點(diǎn)密度、溫度等均不相同，這就是非平衡態(tài)。但隨著時間的推移，各處的密度、壓強(qiáng)等都達(dá)到了均勻，無外界影響，狀態(tài)保持不變，就是平衡態(tài)。設(shè)一容器，用隔板將其隔開當(dāng)隔板右移時，分子向右邊擴(kuò)散平衡態(tài): 在無外界的影響下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。假想把箱子分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。例如：粒子數(shù)說明：平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)

3、 處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動，而且因?yàn)榕鲎玻?每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間 改變。平衡態(tài)是一種熱動平衡狀態(tài)方程理想氣體物態(tài)方程(狀態(tài)方程)當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，三個狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：三、分子熱運(yùn)動的無序性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statistical regularity)大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來的必然性。例. 扔硬幣從入口投入小球與釘碰撞落入狹槽為清楚起見 , 從正面來觀察。( 偶然 )隔板鐵釘統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法 伽爾頓板 大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律 統(tǒng)計(jì)規(guī)律。再投入小球： 經(jīng)一定段時間后 , 大量小球落入狹槽。分布情況：中間多，兩邊少。重復(fù)幾次 ，

4、結(jié)果相似。 單個小球運(yùn)動是隨機(jī)的 ,大量小球運(yùn)動分布是確定的。統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法 伽爾頓板小球數(shù)按空間位置 分布曲線四、 統(tǒng)計(jì)的基本概念1. 概率如果N次試驗(yàn)中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為NA,當(dāng)N時，比值NA/N稱為出現(xiàn)A事件的概率。概率的性質(zhì):(1) 概率取值域?yàn)?統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn): （1）只對大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變). (3) 大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。 (2) 各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.幾率歸一化條件(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之積2. 概率分布函數(shù)隨機(jī)變量在一定條件下, 變量以確定

5、的概率取各種不相同的值。1. 離散型隨機(jī)變量取值有限、分立表示方式2. 連續(xù)型隨機(jī)變量取值無限、連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度變量取值在xx+dx間隔內(nèi)的概率概率密度等于隨機(jī)變量取值在單位間隔內(nèi)的概率。又稱為概率分布函數(shù)（簡稱分布函數(shù)）。3. 統(tǒng)計(jì)平均值算術(shù)平均值為統(tǒng)計(jì)平均值為對于離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值等于一切可能狀態(tài)的概率與其相應(yīng)的取值 乘積的總和。對于連續(xù)型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)平均值為“漲落”現(xiàn)象-測量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏離 處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng)P，不隨時間改變， 但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣， 分子數(shù)越多，漲落就越小。布朗運(yùn)動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。例：氧

6、氣瓶的壓強(qiáng)降到106Pa即應(yīng)重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強(qiáng)為1.3107Pa，若每天用105Pa的氧氣400L，問此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時溫度不變。解: 根據(jù)題意，可確定研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為使用時的溫度為T設(shè)可供 x 天使用原有每天用量剩余分別對它們列出狀態(tài)方程，有4-2 理想氣體的壓強(qiáng) 溫度和內(nèi)能一、理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)1 . 理想氣體微觀模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。除碰撞外，分子之間的作用可忽略不計(jì)。分子間的碰撞是完全彈性的。分子所受重力忽略不計(jì)理想氣體的分子模型

7、是彈性的自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)。2 . 統(tǒng)計(jì)假設(shè) 分子數(shù)密度處處相等； 分子沿各個方向運(yùn)動的幾率均等。亦即：分子速度在各個方向上的分量的各種平均值相等。二理想氣體的壓強(qiáng)公式 一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m )平衡態(tài)下器壁各處壓強(qiáng)相同，選A1面求其所受壓強(qiáng)。i分子動量增量i分子對器壁的沖量i分子相繼與A1面碰撞的時間間隔單位時間內(nèi)i分子對A1面的碰撞次數(shù)單位時間內(nèi)i分子對A1面的沖量i分子對A1面的平均沖力所有分子對A1面的平均作用力壓強(qiáng)分子的平均平動動能平衡態(tài)下三、分子的平均平動動能與溫度的關(guān)系溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度例:（1）在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓

8、縮氣體并對它加熱，使它的溫度從270C升到1770C，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？ （2）這時氣體分子的平均平動動能變化多少？解：氣體分子的方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根 氣體分子的方均根速率與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，與氣體的摩爾質(zhì)量的平方根成反比。1. 自由度 確定一個物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。以剛性分子（分子內(nèi)原子間距離保持不變）為例四、能量按自由度均分定理 單原子分子平動自由度t=3雙原子分子平動自由度t=3轉(zhuǎn)動自由度r=2三原子或三原子以上的分子平動自由度t=3轉(zhuǎn)動自由度r=3實(shí)際氣體不能看成剛性分子，因原子之間還有振動二、能量均分定理氣體分子沿 x

9、,y,z 三個方向運(yùn)動的平均平動動能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動動能 均勻分配在每個平動自由度上。平衡態(tài)下，不論何種運(yùn)動，相應(yīng)于每一個可能自由度的平均動能都是能量按自由度均分定理如果某種氣體的分子有個 t 個平動自由度, r 個轉(zhuǎn)動自由度, s 個振動自由度.則分子具有：平均平動動能平均轉(zhuǎn)動動能平均振動動能注意：對應(yīng)分子的一個振動自由度，除有一份 振動的動能外，還有一份平均勢能。結(jié)論：分子的平均總能量 對剛性分子：氣體分子無振動，則分子的平均動能為五、理想氣體的內(nèi)能分子間相互作用可以忽略不計(jì)分子間相互作用的勢能=0理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動動能之總和1mol理想氣體的內(nèi)能為一定質(zhì)量理

10、想氣體的內(nèi)能為溫度改變，內(nèi)能改變量為例 就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40?？諝獾哪栙|(zhì)量為28.910-3kg，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解： 在1摩爾空氣中N2質(zhì)量摩爾數(shù)O2質(zhì)量摩爾數(shù)Ar質(zhì)量摩爾數(shù)1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能 平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。 溫度和壓強(qiáng)都涉及到分子的平均動能，即有必要研究一下分子速率的規(guī)律。這個規(guī)律早在1859年由麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念從理論上推導(dǎo)出耒，爾后被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。4-3 麥克斯韋

11、分子速率分布率一、分子速率分布的實(shí)驗(yàn)測定測定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在P處圓筒轉(zhuǎn)動，分子束的速率不同的分子將射在不同位置蘭媚爾實(shí)驗(yàn)（裝置置于真空之中）實(shí)驗(yàn)裝置淀積屏P速率篩SWW狹縫屏分子源下面列出了Hg分子在某溫度時不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比。90以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 面積大小代

12、表速率v附近dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速率分布函數(shù)速率分布曲線f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面積= 出現(xiàn)在vv+dv區(qū)間內(nèi)的概率分子出現(xiàn)在v1v2區(qū)間內(nèi)的概率曲線下的總面積恒等于1總分子數(shù)-體積元內(nèi)分子數(shù)-分子出現(xiàn)在此體積元里的概率為-歸一化條件麥克斯韋速度分布律分子的速度分量限制在 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 二、麥克斯韋分布律及三種統(tǒng)計(jì)速率麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布函數(shù)麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速度分布律一個分子處于vv+dv區(qū)間內(nèi)的概率單位速率間隔內(nèi)的概率麥克斯韋速率分布函數(shù)1、最可幾速率與分布函數(shù)f(v)的極大值相對應(yīng)的速率極值條

13、件2、平均速率大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值分子速率的三個統(tǒng)計(jì)值對于連續(xù)分布3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根都與 成正比，與 （或 ）成反比f(v)v1、溫度與分子速率溫度越高，分布曲線中的最可幾速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。麥克斯韋分布曲線的性質(zhì)f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T21273K273K73Kf (v)50010001500vO2氧氣分子分布函數(shù)和溫度的關(guān)系2、質(zhì)量與分子速率分子質(zhì)量越大，分布曲線中的最可幾速率vp越小，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度減小，高度升高。f(v)f(

14、vp3)vvpf(vp1)f(vp2)Mmol1Mmol2Mmol3( n為分子數(shù)密度)說明下列各量的物理意義：？思考題解： 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。 分布在有限速率區(qū)間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 分布在有限速率區(qū)間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)。 分布在 0 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件） v2 的平均值。例：設(shè)想有N個氣體分子，其速率分布函數(shù)為試求: (1)常數(shù)A；(2

15、)最可幾速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0v0/3之間的分子數(shù)；(4)速率介于0v0/3之間的氣體分子的平均速率。解： (1)氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件(2)最可幾速率由決定，即平均速率方均速率方均根速率為(3)速率介于0v0/3之間的分子數(shù)(4)速率介于0v0/3之間的氣體分子平均速率為討論速率介于v1v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算對于v的某個函數(shù)g(v)，一般地，其平均值可以表示為例2 : 導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動可看作類似于氣體分 子的運(yùn)動(故稱電子氣). 設(shè)導(dǎo)體中共有 N 個自 由電子, 其中電子的最大速率為 (稱為費(fèi)米 速率), 電子在速率 之間的概率(1)畫出分布

16、函數(shù)的示意圖.(2)用N , 定常數(shù)A(3)求 , ,(4)求 速 率 區(qū) 間 的電子數(shù)(1)畫出分布函數(shù)的示意圖.(2)用N , 定常數(shù)A由分布函數(shù)的歸一化條件可定出A0(3)求 , ,與 最大值對應(yīng)的最可幾速率就是0(4)求 速 率 區(qū) 間 的電子數(shù)玻爾茲曼分布玻耳茲曼分布奧地利物理學(xué)家 玻耳茲曼（1844-1906）4-4 玻耳茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場（如重力場）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何一 、 玻耳茲曼分布律如氣體分子處于外力場中，分子能量 E = Ep+ Ek分子勢能在麥克斯韋速度分布律中，因子分子動能理想氣體分子僅有動能麥克斯韋速度分布可以看

17、作是無外場中分子數(shù)按能量的分布玻耳茲曼將麥?zhǔn)戏植纪茝V為： 在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子（經(jīng)典粒子）按能量分布都與 成正比。玻耳茲曼因子經(jīng)典粒子按能量的分布函數(shù)為：麥克斯韋玻耳茲曼分布（MB分布）外力場中，粒子分布不僅按速率區(qū)間vv+dv分布，還應(yīng)按位置區(qū)間xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布該區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)為：玻耳茲曼分布律能量越低的粒子出現(xiàn)的概率越大，隨著能量升高，粒子出現(xiàn)的概率按指數(shù)率減小。對速度區(qū)間積分可得分布在位置區(qū)間的分子數(shù)為：+則分子數(shù)密度粒子數(shù)按勢能分布為勢能等于零處的分子數(shù)密度+ 按近代理論，粒子所具有的能量在有些情況下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei

18、,EN 能級處于Ei狀態(tài)的粒子數(shù)常數(shù)對于兩個任意能級在正常狀態(tài)下，粒子總是優(yōu)先占據(jù)低能級狀態(tài)。粒子數(shù)分布服從玻爾茲曼分布二、重力場中粒子按高度的分布由氣體狀態(tài)方程重力場中粒子按高度的分布規(guī)律式中P0為h=0處的大氣壓強(qiáng)，P為h處的大氣壓強(qiáng)，m是大氣分子質(zhì)量。大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減?。ǜ呖湛諝庀”。瑲鈮旱停﹥蛇吶?shù)測知地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，可估算所在高空離地面的高度。恒溫氣壓公式例 氫原子基態(tài)能級E1=-13.6eV，第一激發(fā)態(tài)能級E2=-3.4eV，求出在室溫T=270C時原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。解：在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。4-7 范徳瓦爾斯方程范徳瓦爾斯

19、方程是對理想氣體的模型的修正1摩爾理想氣體的狀態(tài)方程V0分子自由活動空間.理想氣體分子是沒有體積的質(zhì)點(diǎn)，故v0等于容器的體積。(1)考慮分子體積引起的修正,理想氣體狀態(tài)方程的修正為可估算V0為氣體所占容積,V0-b為分子自由活動空間(2)進(jìn)一步考慮分子間引力引起的修正r r0 斥力r r0 引力r R 幾乎無相互作用 R稱為分子力的有效作用距離R= r0 無相互作用. r0稱為平衡距離 當(dāng)兩個分子彼此接近到r r0時斥力迅速增大，阻止兩個分子進(jìn)一步靠近，宛如兩個分子都是具有一定大小的球體。d0fRrr0設(shè)想：氣體中任一分子都有一個以其為中心，以R為半徑的力作用球，其它分子只有處于此球內(nèi)才對此分

20、子有吸引作用。 處于容器當(dāng)中的分子 ,平衡態(tài)下，周圍的分子相對于球?qū)ΨQ分布，它們對的引力平均說來相互抵消。Rd處于器壁附近厚度為R的表層內(nèi)的分子, 的力作用球被器壁切割為球缺，周圍分子的分布不均勻，使平均起來受到一個指向氣體內(nèi)部的合力，這層氣體分子由于受到指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個指向內(nèi)部的壓強(qiáng)，叫內(nèi)壓強(qiáng) P。所以，考慮引力作用后，氣體分子實(shí)際作用于器壁并由實(shí)驗(yàn)可測得的壓強(qiáng)為Rd所有運(yùn)動到器壁附近要與器壁相碰的分子必然通過此區(qū)域，則指向氣體內(nèi)部的力，將會減小分子撞擊器壁的動量，從而減小對器壁的沖力。 P的相關(guān)因素 P表面層分子受到內(nèi)部分子的通過單位面積的作用力與表面層分子（類似

21、）的數(shù)密度 n 成正比與施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度 n 成正比 或?qū)怏w分子視為有吸引力剛球時1摩爾氣體范德瓦爾斯方程a、 b由實(shí)驗(yàn)確定。實(shí)際氣體在很大范圍內(nèi)近似遵守范德瓦爾斯方程。如果氣體質(zhì)量為M , 則其體積為質(zhì)量為M氣體的范德瓦爾斯方程為: 當(dāng)系統(tǒng)各部分的宏觀物理性質(zhì)如密度、溫度或流速不均勻時，系統(tǒng)就處于非平衡態(tài).在不受外界干擾時,系統(tǒng)總是要從非平衡態(tài)自發(fā)地過渡到平衡態(tài).這種過渡稱為輸運(yùn)過程.4-7 氣體的輸運(yùn)過程輸運(yùn)過程有三種熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、內(nèi)摩擦.氮?dú)夥肿釉?70C時的平均速率為476m.s-1.矛盾氣體分子熱運(yùn)動平均速率高，但氣體擴(kuò)散過程進(jìn)行得相當(dāng)慢?？藙谛匏怪赋觯簹怏w分子的速度雖然

22、很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。氣體分子平均速率一、平均碰撞頻率和平均自由程在相同的t時間內(nèi)，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多擴(kuò)散速率(位移量/時間)平均速率(路程/時間)分子自由程:氣體分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程。分子碰撞頻率:在單位時間內(nèi)一個分子與其他分子碰撞的次數(shù)。 大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律?？梢郧蟪銎骄杂沙毯推骄鲎泊螖?shù)。假定每個分子都是有效直徑為d 的彈性小球。只有某一個分子A以平均速率 運(yùn)動，其余分子都靜止。平均碰撞次數(shù)Adddvv運(yùn)動方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與

23、分子A 碰撞球心在圓柱體內(nèi)的分子一秒鐘內(nèi):分子A經(jīng)過路程為相應(yīng)圓柱體體積為圓柱體內(nèi)分子數(shù)一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)Adddvv一切分子都在運(yùn)動一秒鐘內(nèi)分子A經(jīng)過路程為一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)平均自由程與分子的有效直徑的平方和分子數(shù)密度成反比當(dāng)溫度恒定時,平均自由程與氣體壓強(qiáng)成反比平均自由程在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，幾種氣體分子的平均自由程氣體氫 氮 氧 空氣例 計(jì)算空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和平均碰撞頻率。取分子的有效直徑d=3.510-10m。已知空氣的平均分子量為29。解：已知空氣摩爾質(zhì)量為2910-3kg/mol空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均速率二、三種輸運(yùn)過程1. 內(nèi)摩擦流體內(nèi)各部分流動速度不同時,就發(fā)生內(nèi)摩擦現(xiàn)象.相鄰流體層之間由于速度不同引起的相互作用力稱為內(nèi)摩擦力,也叫粘滯力.流體沿x方向流速