建筑識(shí)圖教案-第二章：投影原理

1、泉州市建筑工程技術(shù)學(xué)校PAGE PAGE 37Creat by MR. Zheng第二章 投影原理基本要求：建立投影的概念，掌握 正投影的基本性質(zhì)；掌握點(diǎn)線面的投影特性；根據(jù)投影能判斷出點(diǎn)、線、面的關(guān)系。熟練掌握基本形體的三面投影的特性、平面和立體的截交線的性質(zhì)和畫法、立體相貫線的性質(zhì)和畫法；能判斷出立體表面的點(diǎn)、線，會(huì)求線與立體的交點(diǎn)。主要內(nèi)容：投影的基本概念；三面正投影圖以及點(diǎn)的投影直線的投影；平面的投影；立體（平面體、曲面體）的投影；平面與立體相交；組合體的投影。課時(shí)安排 1+5+6+6+6+6+5+1（復(fù)習(xí)）=36課時(shí)2.1 投影的基本概念一、內(nèi)容：投影的基本概念；投影的類型；工程中常

2、用的投影圖。二、要求及重點(diǎn)：要求掌握投影的基本概念；了解投影的類型、用途。三、教學(xué)方式：通過實(shí)物及日常生活中的現(xiàn)象，使學(xué)生掌握投影的基本概念；了解投影的類型、用途。2.1 投影的基本概念投影的概念1、在日常生活中，經(jīng)?？吹娇臻g一個(gè)物體在光線照射下在某一平面產(chǎn)生影子的現(xiàn)象，抽象后的“影子”稱為投影。2、產(chǎn)生投影的光源稱為投影中心S，接受投影的面稱為投影面，連接投影中心和形體上的點(diǎn)的直線稱為投影線。形成投影線的方法稱為投影法（圖2-1）。 (a) (b)圖2-1 中心投影法 圖2-2 平行投影法二、投影的類型投影法分為中心投影法和平行投影法兩大類。1、中心投影法 光線由光源點(diǎn)發(fā)出，投射線成束線狀。

3、投影的影子（圖形）隨光源的方向和距形體的距離而變化。光源距形體越近，形體投影越大，它不反映形體的真實(shí)大小。2、平行投影法 光源在無限遠(yuǎn)處，投射線相互平行，投影大小與形體到光源的距離無關(guān)，如圖2-2所示。平行投影法又可根據(jù)投射線（方向）與投影面的方向（角度）分為斜投影（a）和正投影（b）兩種。(1)斜投影法：投射線相互平行，但與投影面傾斜，如圖2-2(a)所示。(2)正投影法：投射線相互平行且與投影面垂直，如圖2-2(b)所示。用正投影法得到的投影叫正投影。三、工程上常用的投影圖1、透視圖 用中心投影法將空間形體投射到單一投影面上得到的圖形稱為透視圖，如圖2-3。透視圖與人的視覺習(xí)慣相符，能體現(xiàn)

4、近大遠(yuǎn)小的效果，所以形象逼真，具有豐富的立體感，但作圖比較麻煩，且度量性差，常用于繪制建筑效果圖。圖2-3 透視圖 圖2-4 軸測(cè)圖2、軸測(cè)圖 將空間形體正放用斜投影法畫出的圖或?qū)⒖臻g形體斜放用正投影法畫出的圖稱為軸測(cè)圖。如圖 2-4所示，形體上互相平行且長(zhǎng)度相等的線段，在軸測(cè)圖上仍互相平行、長(zhǎng)度相等。軸測(cè)圖雖不符合近大遠(yuǎn)小的視覺習(xí)慣，但仍具有很強(qiáng)的直觀性，所以在工程上得到廣泛應(yīng)用。3、標(biāo)高投影圖用正投影法將局部地面的等高線投射在水平的投影面上，并標(biāo)注出各等高線的高程，從而表達(dá)該局部的地形。這種用標(biāo)高來表示地面形狀的正投影圖，稱為標(biāo)高投影圖，如圖2-5所示。圖2-5 標(biāo)高投影圖 圖2-6 正投

5、影圖 4.正投影圖根據(jù)正投影法所得到的圖形稱為正投影圖。如圖2-6所示為房屋（模型）的正投影圖。正投影圖直觀性不強(qiáng)，但能正確反映物體的形狀和大小，并且作圖方便，度量性好，所以工程上應(yīng)用最廣。繪制房屋建筑圖主要用正投影，今后不作特別說明，“投影”即指“正投影”。2.2 三面正投影、點(diǎn)的投影一、內(nèi)容：1、點(diǎn)在三投影面體系中第一分角的投影；2、兩點(diǎn)的相對(duì)位置。二、要求及重點(diǎn)：要求了解三投影面體系；掌握投影的特性；根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，判定點(diǎn)的類型。掌握點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系；了解重影點(diǎn)概念，判斷重影點(diǎn)的可見性。三、教學(xué)方式：1、利用教具、模型使學(xué)生在頭腦中形成空間印象，做到平面投影與實(shí)際空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、利用

6、例題使學(xué)生掌握并知道如何利用這些原理、概念；3、通過課上實(shí)際繪制，使學(xué)生更加深理解繪圖過程及技巧。四、作業(yè)：布置點(diǎn)投影的作業(yè)。2.2 點(diǎn)的投影的三面投影三個(gè)互相垂直的投影面V、H、W，組成一個(gè)三投影面體系，將空間劃分為八個(gè)分角。V面稱為正立投影面，簡(jiǎn)稱正面；H面稱為水平投影面，簡(jiǎn)稱水平面；W面稱為側(cè)立投影面，簡(jiǎn)稱側(cè)面。規(guī)定三個(gè)投影軸OX 、OY、OZ向左、向前、向上為正，在三條投影軸都是正相的投影面之間的空間第一分角。 圖2-7 三投影面體系以及八個(gè)分角的劃分第一分角內(nèi)的空間點(diǎn)A分別向三個(gè)投影面H、V、W作水平投影（H面投影）、正面投影（V面投影）、側(cè)面投影（W面投影），用相應(yīng)的小寫字母a、小

7、寫字母加一撇a、小寫字母加兩撇a作為投影符號(hào)。 （a） 軸測(cè)圖 （b） 展開投影圖 （c） 投影圖圖2-8 點(diǎn)的三面投影的投影（例如A點(diǎn)）規(guī)律：（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。（2）點(diǎn)的投影與投影軸的距離，反映該點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)與相應(yīng)的投影面的距離。 （a） 軸測(cè)圖 （b） 投影圖圖2-9 點(diǎn)的投影特性例2-1 已知空間點(diǎn)B的坐標(biāo)為X=12，Y=10，Z=15，也可以寫成B（12、10、15）。單位為mm（下同）。求作B點(diǎn)的三投影。 1、分析 已知空間點(diǎn)的三點(diǎn)坐標(biāo)，便可作出該點(diǎn)的兩個(gè)投影，從而作出另一投影。 （a） （b） （c）圖2-10 由點(diǎn)的坐標(biāo)作三面投影 2、作圖 = 1 * GB

8、3 畫投影軸，在OX軸上由O點(diǎn)向左量取12，定出bX，過bX作OX軸的垂線，如圖2-10（a）。 = 2 * GB3 在OZ軸上由O點(diǎn)向上量取15，定出bZ，過bZ作OZ軸垂線，兩條線交點(diǎn)即為b，如圖2-10（b）。 = 3 * GB3 在bbX的延長(zhǎng)線上，從bX向下量取10得b；在bbZ的延長(zhǎng)線上，從bZ向右量取10得b?；蛘哂蒪和b用圖2-10（c）所示的方法作出b。點(diǎn)與投影面的相對(duì)位置有四類：空間點(diǎn)；投影面上的點(diǎn)；投影軸上的點(diǎn)；與原點(diǎn)O重合的點(diǎn)。 三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置 1、 兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指空間兩個(gè)點(diǎn)的上下、左右、前后關(guān)系，在投影圖中，是以它們的坐標(biāo)差來確定的。2、兩點(diǎn)的V面投影反映上下

9、、左右關(guān)系；兩點(diǎn)的H面投影反映左右、前后關(guān)系；兩點(diǎn)的W面投影反映上下、前后關(guān)系。 例2-2 已知空間點(diǎn)C（15，8，12），D點(diǎn)在C點(diǎn)的右方7，前方5，下方6。求作D點(diǎn)的三投影。 分析D點(diǎn)在C點(diǎn)的右方和下方，說明D點(diǎn)的X、Z坐標(biāo)小于C點(diǎn)的X、Z坐標(biāo)；D點(diǎn)在C點(diǎn)的前方，說明D點(diǎn)的Y坐標(biāo)大于C點(diǎn)的Y坐標(biāo)?？筛鶕?jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)差作出D點(diǎn)的三投影。作圖：如圖2-11。 （a） （b） （c） （d）圖2-11 求作D點(diǎn)的三投影 四、重影點(diǎn)及其可見性：若兩個(gè)點(diǎn)處于垂直于某一投影面的同一投影線上，則兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)投影面上的投影便互相重合，這兩個(gè)點(diǎn)就稱為對(duì)這個(gè)投影面的重影點(diǎn)。圖2-12 重影點(diǎn)的投影2.3 直線的

10、投影一、內(nèi)容：1、直線的類型；2、直線的投影特性；3、求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)與傾角；直線上點(diǎn)的投影；兩直線的相對(duì)位置；一邊平行與投影面的直角的投影。二、要求及重點(diǎn)：掌握上述幾部分內(nèi)容的基本概念、原理，并應(yīng)用。三、教學(xué)方式：1、通過教具、模型使學(xué)生在頭腦中形成空間概念，做到平面投影與空間的轉(zhuǎn)換；2、利用例題，使學(xué)生掌握、運(yùn)用這些原理、方法、技巧；3、通過繪制，使學(xué)生對(duì)點(diǎn)的投影有更加深刻的理解。四、作業(yè)：布置相關(guān)直線投影的作業(yè)，鞏固知識(shí)，靈活運(yùn)用。2.3 直線的投影空間直線與投影面的相對(duì)位置有三種：投影面平行線 特殊位置直線投影面垂直線一般位置直線特殊位置直線及其投影特性1、投影面平行線只平行于一個(gè)

11、投影面，而對(duì)另外兩個(gè)投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。投影面平行線又有三種位置：水平線：平行于水平面正平線：平行于正平面?zhèn)绕骄€；平行于側(cè)面 投影面平行線的投影特性見表2-1。直線對(duì)投影面所夾的角即直線對(duì)投影面的傾角，、分別表示直線對(duì)H面、V面和W面的傾角。表2-1 投影面平行線的投影特性名稱軸 測(cè) 圖投 影 圖投影特性正平線1、/ b/ 反映真長(zhǎng)和、角。2、b / OX，/ b/ / OZ，且長(zhǎng)度縮短。水平線1、cd 反映真長(zhǎng)和、角。2、c/d/ / OX，c/d/ OYW，且長(zhǎng)度縮短。側(cè)平線1、e/ /f / /反映真長(zhǎng)和、角。2、ef/ OYH，e/ f / / OZ，且長(zhǎng)度縮短。2、投影

12、面垂直線垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面平行的直線，稱為投影面垂直線。投影面垂直線也有三種位置：鉛垂線：垂直于水平面的直線正垂線：垂直于正面的直線側(cè)垂線：垂直于側(cè)面的直線投影面垂直線的投影特性見表2-2。 表2-2 投影面垂直線的投影特性名稱軸 測(cè) 圖投 影 圖投影特性正垂線1、/ b/積聚成一點(diǎn)。2、b / OYH，/ b/ / OYW，且反映真長(zhǎng)。鉛垂線1、cd積聚成一點(diǎn)。2、c/d/ / OZ，c/d/ OZ，且反映真長(zhǎng)。側(cè)垂線1、e/ /f / /積聚成一點(diǎn)。2、ef/ OX，e/ f / / OX，且反映真長(zhǎng)。 二、一般位置直線及其真長(zhǎng)與傾角1、一般位置直線既不平行也不垂直于任何一

13、個(gè)投影面，即與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的直線。2、一般位置直線的投影特性：三個(gè)投影都傾斜于投影軸，長(zhǎng)度縮短，不能直接反映直線與投影面的真實(shí)傾角。 （a） （b）圖2-13 一般位置直線 求作一般位置直線的真長(zhǎng)和傾角，可用圖2-14所示的直角三角形法。 （a）作圖原理 （b）求真長(zhǎng)和角 （c）求真長(zhǎng)和角圖2-14 用直角三角形法求直線的真長(zhǎng)和傾角三、直線上的點(diǎn)的投影特性直線上的點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上；若直線不垂直于投影面，則點(diǎn)的投影分割直線線段投影的長(zhǎng)度比，都等于點(diǎn)分割直線線段的長(zhǎng)度比。 例2-3 如圖2-15a所示，已知直線AB求作AB上的C點(diǎn)，使AC：CB=2：3。 （a） 已知條件

14、 （b）作圖過程圖2-15 作分割A(yù)B成2：3的C點(diǎn) 解 根據(jù)直線上的點(diǎn)的投影特性，作圖過程見圖2-15b所示： = 1 * GB2 自a任引一直線，以任意直線長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，從a順次量5個(gè)單位，得點(diǎn)1、2、3、4、5。 = 2 * GB2 連5與b，作2c/5b，與ab交于c。 = 3 * GB2 由c引投影連線，與ab交得c。c與c即為所求的C點(diǎn)的兩面投影。 例2-4 如圖2-16a所示，試判斷K點(diǎn)是否在側(cè)平線MN上？解 可按直線上點(diǎn)的投影特性，用方法一或方法二進(jìn)行判斷。方法一的判斷過程如圖2-16b所示： = 1 * GB2 加W面，即過O作投影軸OYH、OYW、OZ。 = 2 * GB

15、2 由mn、mn和k、k作出mn和k。 = 3 * GB2 由于k不在mn上，所以K點(diǎn)不在MN上。方法二的判斷過程如圖2-16c所示： = 1 * GB2 過m任作一直線，在其上取mk0 =mk、k0 n0 =kn。 = 2 * GB2 分別將k和k0、n和n0連成直線。 = 3 * GB2 由于k k0 n n0，于是mk：knmk：kn，從而就可立即判斷出K點(diǎn)不在MN上。 （a） 已知條件 （b）方法一 （c）方法二圖2-16 判斷K點(diǎn)是否在側(cè)平線MN上 四、兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行 相交 共面直線交叉 異面直線它們的投影特性列在表2-3中。當(dāng)兩直線處于交叉位置時(shí)，

16、有時(shí)需要判斷可見性，即判斷它們的重影點(diǎn)的重合投影的可見性。確定和表達(dá)兩交叉線的重影點(diǎn)投影可見性的方法是：從兩交叉線同面投影的交點(diǎn)，向相鄰?fù)队耙怪庇谕队拜S的投影連線，分別與這兩交叉線的相鄰?fù)队案鹘坏靡粋€(gè)點(diǎn)，標(biāo)注出交點(diǎn)的投影符號(hào)。按左遮右、前遮后、上遮下的規(guī)定，確定在重影點(diǎn)的投影重合處，是哪一條直線上的點(diǎn)的投影可見 。表2-3 不同相對(duì)位置的兩直線的投影特性相對(duì)位置平 行相 交交 叉軸測(cè)圖投影圖相對(duì)位置平 行相 交交 叉投影特性同面投影相互平行同面投影都相交，交點(diǎn)符合一點(diǎn)的投影特性，同面投影的交點(diǎn)，就是兩直線的交點(diǎn)的投影兩直線的投影，既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性。同

17、面投影的交點(diǎn)，就是兩直線上各一點(diǎn)形成的對(duì)這個(gè)投影面的重影點(diǎn)的重合的投影。 （a） 已知條件 （b）加W面投影檢驗(yàn) （c）用直線上的點(diǎn)的投影特性檢驗(yàn) 圖2-17 檢驗(yàn)側(cè)平線AB和一般位置直線CD的相對(duì)位置五、一邊平行于投影面的直角的投影 當(dāng)直角的一邊為投影面平行線時(shí)，則在它所平行的投影面上的投影，仍為直角。 例2-5 如圖2-18a所示，已知交叉兩直線AB、CD，作出它們的公垂線MN（M、N分別是公垂線與AB、CD的交點(diǎn)），并求出這兩條交叉直線之間的距離。 （a）已知條件 （b）解題分析 （c）作圖過程圖2-18 作交叉線AB、CD的公垂線MN和距離解 如圖2-18b所示，先進(jìn)行幾何分析和投影分

18、析：公垂線MN是與交叉兩直線AB、CD都垂直的直線，垂足M與N之間的距離，即為這兩條交叉直線之間的距離。由于圖2-18a中給出的直線AB是鉛垂線，MN與AB垂直，MN必為水平線。既然MN是水平線，MN與CD垂直，按一邊平行于投影面的直角的投影特性，mn也應(yīng)與cd垂直。由于AB是鉛垂線，MN在AB上的垂足M的H面投影m，必積聚在ab上，于是就可由此開始，按上述的幾何分析和投影分析逐步進(jìn)行作圖，作圖過程如圖2-18c所示。 = 1 * GB2 點(diǎn)m積聚在ab上，從m引cd的垂線，得交點(diǎn)n，即為MN與CD的垂足N的H面投影。 = 2 * GB2 由n作投影連線，與cd交得n，就是MN與CD的垂足N的

19、V面投影。 = 3 * GB2 由n作OX軸的平行線，與ab交得m，即為MN與AB的垂足M的V面投影。于是mn、mn即為所求的公垂線MN的兩面投影。 = 4 * GB2 由于MN是水平線，則其H面投影mn的長(zhǎng)度，即為真長(zhǎng)，也就是交叉兩直線AB與CD之間的距離，用引出線在圖中注明。2.4 平面的投影一、內(nèi)容：1、平面對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特性；2、平面上點(diǎn)、線、圖形的投影特性及判斷方法；3、最大斜度線；4、換面法。二、要求及重點(diǎn)：掌握平面及平面上點(diǎn)、線、圖形的投影特性，知道如何判定平面上點(diǎn)、線、圖形；了解最大斜度線的原理，能應(yīng)用最大斜度線求出平面與投影面夾角、；掌握換面法的基本用法。三、教學(xué)方

20、式：1、通過教具、模型使學(xué)生在頭腦中形成空間概念，做到平面投影與空間的轉(zhuǎn)換；2、利用例題，使學(xué)生掌握、運(yùn)用這些原理、方法、技巧；3、通過繪制，使學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、圖形的投影有更加深刻的理解。四、作業(yè)：布置相關(guān)平面投影的作業(yè)，鞏固知識(shí)，靈活運(yùn)用。2.4 平面的投影一、各種位置的平面及其投影特性平面對(duì)投影面的相對(duì)位置有三種：投影面平行面 特殊位置平面投影面垂直面 一般位置平面平面與投影面H、V、W的傾角，分別用、表示。投影面垂直面 垂直于一個(gè)投影面，而傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。正垂面：垂直于正面的平面鉛垂面：垂直于水平面的平面?zhèn)却姑妫捍怪庇趥?cè)面的平面 投影面垂直面的投影特性見表2-4

21、。表2-4 投影面垂直面的投影特性名稱軸 測(cè) 圖投 影 圖投影特性正垂面1、V面投影積聚成一直線，并反映與H、W面的傾角、。2、其它兩個(gè)投影為面積縮小的類似形。鉛垂面1、H面投影積聚成一直線，并反映與V、W面的傾角、。2、其它兩個(gè)投影為面積縮小的類似形。側(cè)垂面1、W面投影積聚成一直線，并反映與H、V面的傾角、。2、其它兩個(gè)投影為面積縮小的類似形投影面平行面平行于一個(gè)投影面，而垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面 。水平面：平行于水平面的平面正平面：平行于正面的平面?zhèn)绕矫妫浩叫杏趥?cè)面的平面投影面平行面的投影特性見表2-5。表2-5 投影面平行面的投影特性名稱軸 測(cè) 圖投 影 圖投影特性正平

22、面1、V面投影反映真形。2、H面投影、W面投影積聚成直線，分別平行于投影軸OX、OZ。水平面1、H面投影反映真形。2、V面投影、W面投影積聚成直線，分別平行于投影軸OX、OYW。側(cè)平面1、W面投影反映真形。2、V面投影、H面投影積聚成直線，分別平行于投影軸OZ、OYH。一般位置平面在三面投影體系中，立體的平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面 。 一般位置平面的三個(gè)投影既不反映實(shí)形，又無積聚性。均為縮小的類似圖形。二、平面上的點(diǎn)、直線和圖形（一）特殊位置平面上的點(diǎn)、直線和圖形 特殊位置上的點(diǎn)、直線和圖形，在該平面的有積聚性的投影所在的投影面上的投影，必定積聚在該平面的有積聚性的投影上。利

23、用這個(gè)投影特性，可以求做特殊位置平面上的點(diǎn)、直線和圖形的投影。 例2-6 如圖2-19a所示，ABC為水平面，已知它的H面投影abc和頂點(diǎn)A的V面投影a，求作ABC的V面投影和W面投影，并求作ABC的外接圓圓心D的三面投影。解 因?yàn)樗矫娴腣面投影和W面投影有積聚性，并且分別平行于OX軸和OYW軸，所以按已知條件就可作出這個(gè)三角形分別積聚成直線的V面投影和W面投影。又因水平面的H面投影反映真形，所以就能直接用平面幾何的作圖方法在H面投影中作出ABC的外接圓圓心D的H面投影d；然后，由d引投影連線，分別在已作出的ABC的有積聚性的V面投影和W面投影上，作出D點(diǎn)的V面投影d和W面投影d。圖2-19

24、作水平的ABC的V面投影和W面投影，并求外接圓圓心D 具體的作圖過程如圖2-19b所示： = 1 * GB2 分別由a、a引投影連線，交得a。 = 2 * GB2 分別過a、a引OX、OYW軸的平行線，再分別由b、c引投影連線，與上述平行線交得頂點(diǎn)B、C的V面投影b、c和W面投影b、c，從而就作出了ABC的有積聚性的V面投影abc和W面投影abc。 = 3 * GB2 在H面投影中，分別作abc的任意兩條邊（例如ab和ca）的中垂線，就交得ABC的外接圓圓心D的H面投影d。 = 4 * GB2 由d分別作投影連線，與ABC的有積聚性的V面投影abc和W面投影 abc交得D點(diǎn)的V面投影d和W面投

25、影d。（二）一般位置平面上的點(diǎn)、直線和圖形點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件（1）平面上的點(diǎn)，必在該平面的直線上。平面上的直線必通過平面上的兩點(diǎn)；（2）通過平面上的一點(diǎn)，且平行于平面上的另一直線。例2-7 如圖2-20a所示，已知 ABCD和K點(diǎn)的兩面投影， ABCD上的直線MN的H面投影mn，試檢驗(yàn)K點(diǎn)是否在 ABCD平面上，并作出直線MN的V面投影mn。圖2-20檢驗(yàn)K點(diǎn)是否在 ABCD上，并作 ABCD上的直線MN的V面投影解 如圖2-20b所示，可按點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件作圖。檢驗(yàn)K點(diǎn)的作圖過程如下： = 1 * GB2 連a和k，延長(zhǎng)后，與bc交于e。由e引投影連線，與BC交得e。連a和

26、e。 = 2 * GB2 若k在ae上，則K點(diǎn)在 ABCD的直線AE上，K點(diǎn)便在 ABCD上。但圖中的k不在ae上，就表明K點(diǎn)不在 ABCD上。求作mn的作圖過程如下： = 1 * GB2 延長(zhǎng)mn，與ad交得s，與bc交得f。 = 2 * GB2 由s、f作投影連線，分別在ad、bc上交得s、f，連s與f。 = 3 * GB2 由m、n作投影連線，分別與st交得m、n，mn即為所求。2.平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線不僅應(yīng)滿足直線在平面上的幾何條件，它的投影又符合投影面平行線的投影特性。 例2-8 如圖2-21a所示，已知ABC，在ABC上求作一條距V面為13mm正平線。解 作圖過

27、程如圖2-21b所示： = 1 * GB2 在OX軸之下（即OX軸之前）13mm處，作OX軸的平行線，即為這條正平線的H面投影，與ab、bc分別交得d、e，de即為所求作的正平線DE的H面投影。 = 2 * GB2 由d、e作投影連線，分別與ab、bc交得d、e，連d和e，de即為所求的正平線DE的V面投影。 （a）已知條件 （b）作圖過程圖2-21 在ABC上求作正平線3.平面上的最大斜度線平面上垂直于該平面的某一投影面平行線的直線，是平面上對(duì)這個(gè)投影面的最大斜度線，它與這個(gè)投影面的傾角，也就是平面與這個(gè)投影面的傾角，如圖2-22所示。PAGE PAGE 39圖2-22 平面上對(duì)H面的最大斜

28、度線及其幾何意義 例2-9 如圖2-23a所示，已知ABC，求作ABC與H面的傾角。 解 只要在ABC平面上作一條對(duì)H面的最大斜度線，再求出它與H面的傾角，也就是ABC與H面的傾角。為了在ABC平面上作對(duì)H面的最大斜度線，先要在ABC平面上作一條水平線。（a）已知條件 （b）作圖過程圖2-23作ABC與H面的傾角 作圖過程如圖2-23b所示： = 1 * GB2 過A點(diǎn)作ABC平面上的水平線AD：先作adOX，再由ad作出ad。 = 2 * GB2 在ABC平面上作對(duì)H面的最大斜度線BE：過b作bead，與ad交得e，再由be作出be。 = 3 * GB2 作BE與H面的傾角：用直角三角形法作

29、出BE對(duì)H面的傾角，即為ABC與H面的傾角。 三、換面法以及用換面法做垂直于投影面的平面圖形的真形 （一）換面法 換面法：求解幾何元素的定位和度量問題時(shí)，用垂直于一個(gè)投影面的新投影面去替換兩投影面體系中的另一投影面，使幾何元素對(duì)新投影面處于有利于解題的特殊位置，從而作出求解結(jié)果的方法，稱為變換投影面法。換面法不僅可以更換一個(gè)投影面，還可按需連續(xù)交替更換兩次，甚至更多次。 （二）換面法的基本作圖 1.求直線實(shí)長(zhǎng) 如圖2-24a所示，一般位置直線在H、V面上的投影不反映實(shí)長(zhǎng)，如果用一個(gè)平行于AB直線的新投影面V1代替原來的投影面V，則AB在V1面上就能反映實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角。 （a） （b）圖2

30、-24 將一般位置直線變換成投影面平行線 必須注意：新投影面必須垂直于被保留的投影面H，V1面與H面的交線X1為新投影軸。用換面法求一般位置直線實(shí)長(zhǎng)和投影面的傾角的步驟如圖2-24（b）所示。 = 1 * GB3 在適當(dāng)位置作新投影軸X1ab。 = 2 * GB3 分別過a、b作新投影軸X1的垂線aaX1、bbX1，并在其延長(zhǎng)線上分別量取aX1a1=aaX，bX1b1=bbX。 = 3 * GB3 連a1b1即為AB直線的實(shí)長(zhǎng)，a1b1與X1軸的平行線所夾的角度即AB直線對(duì)H面的傾角。 如果要求AB直線的實(shí)長(zhǎng)對(duì)V面的傾角，請(qǐng)自行思考作圖方法。2.求投影面垂直面的實(shí)形 用換面法求投影面垂直面的實(shí)

31、例，可如圖2-25所示，作新投影面V1平行于ABC，則ABC在V面上的投影反映實(shí)形。由于已知平面垂直于H面，因此所作新投影軸X1必與已知平面的積聚性投影平行。 如圖2-26（a）所示，已知正垂面ABC的兩面投影，求作其實(shí)形。圖2-25 用換面法求平面的實(shí)形PAGE PAGE 56圖2-26 用換面法求正垂面的實(shí)形 由于ABC是正垂面，所以平行于正垂面的新投影面H1垂直于V面，代替H面。作圖步驟如下。 = 1 * GB3 在適當(dāng)位置作新投影軸X1abc，由a、b、c分別作X1軸的垂線，如圖2-26（b）。 = 2 * GB3 分別量取a1、b1、c1到X1軸的距離等于a、b、c到X軸的距離，連a

32、1、b1、c1，a1b1c1即為ABC的實(shí)形。2.5立體的投影一、內(nèi)容：平面立體的投影特性、作圖方法；曲面立體的投影特性、作圖方法。二、要求及重點(diǎn)：要求掌握平面立體、曲面立體的投影特性、作圖方法，并能綜合運(yùn)用。三、教學(xué)方式：通過模型、教具、例題及實(shí)際繪制，使學(xué)生掌握并能綜合運(yùn)用。四、作業(yè)：布置相應(yīng)的立體投影作業(yè)。2.5立體的投影基本形體： 平面體曲面體一、平面立體的投影 1、平面立體：表面由平面所圍成的幾何體。 2、平面立體的投影：就是圍成它的表面的所有平面圖形的投影。3、常見的平面立體有棱柱和棱錐。 （一）棱柱棱柱的棱線互相平行。常見的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。 以圖3-1（a

33、）所示正五棱柱為例，分析其投影特性和作圖方法。 (a) (b) (c) (d) 圖3-1 五棱柱三面投影的作圖步驟 1、投影分析 圖示正五棱柱的頂面和底面平行于水平面，后棱面平行于正面，其余棱面均垂直于水平面。在這種位置下，五棱柱的投影特征是：頂面和底面的水平投影重合，并反映實(shí)形正五邊形。五個(gè)棱面的水平投影分別積聚為五邊形的五條邊。正面和側(cè)面投影上大小不同的矩形分別是各棱面的投影，不可見的棱線畫虛線。 2、作圖步驟：如圖3-1b、c。 3、棱柱表面上點(diǎn)的投影：如圖3-1d。 （二）棱錐 棱錐的棱線交于一點(diǎn)。常見的棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。以圖3-2所示四棱錐為例，分析其投影特性和作圖方法

34、。 (a) (b ) (c )圖3-2 四棱錐三面投影的作圖步驟1、投影分析圖示四棱錐的底面平行于水平面，水平投影反映實(shí)形。左、右兩棱面垂直于正面，它們的正面投影積聚成直線。前、后兩棱面垂直于側(cè)面，它們的側(cè)面投影積聚成直線。與錐頂相交的四條棱線既不平行、也不垂直與任何一個(gè)投影面，所以它們?cè)谌齻€(gè)投影面上的投影都不反映實(shí)長(zhǎng)。2、作圖步驟：如圖3-2b。3、棱錐表面上點(diǎn)的投影：如圖3-2c。二、曲面立體的投影曲面立體：由曲面或曲面與平面所圍成的幾何體。常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體：由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體，常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、球、環(huán)等。回轉(zhuǎn)體的投影就是圍成它的回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面和平面的

35、投影。圓柱圓柱體由圓柱面與上、下兩端面圍成。圓柱面可看作由一條母線繞平行于它的軸線回轉(zhuǎn)而成，圓柱面上任意一條平行于軸線的直母線稱為圓柱面的素線。 （a） （b） （c）圖3-3 圓柱的投影分析與作圖1、投影分析如圖3-3所示，當(dāng)圓柱軸線垂直于水平面時(shí)，圓柱上、下端面的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩端面的水平投影重合。在正面投影中，前、后兩半圓柱面的投影重合為一矩形，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最左、最右素線的投影，也是圓柱面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。在側(cè)面投影中，左、右兩半圓柱面的投影重合為一矩形，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最前、最后素線的投影，也是

36、圓柱面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。2、作圖方法：如圖3-3b。3、圓柱表面上點(diǎn)的投影：如圖3-3c。（二）圓錐圓錐體由圓錐面和底面圍成。圓錐面可看作由一條直母線繞與它斜交的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓錐面上任意一條與軸線斜交的直母線，稱為圓錐面上的素線。1、投影分析如圖3-4所示，當(dāng)圓錐軸線垂直于水平面時(shí)，錐底面平行于水平面，水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓錐面的三面投影都沒有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合，全部可見。正面投影由前、后兩個(gè)半圓錐面的投影重合為一等腰三角形，三角形的兩腰分別是圓錐最左、最右素線的投影，也是圓錐面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的側(cè)面投影由左、右兩半圓錐面的投影重

37、合為一等腰三角形，三角形的兩腰分別是圓錐最前、最后素線的投影，也是圓錐面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。 （a） （b） （c）圖3-4 圓錐的投影分析與作圖2、作圖方法：如圖3-4b。圓錐表面上點(diǎn)的投影：圖3-4c。如圖3-5，為輔助緯圓法。（三）圓球圓球的表面可看作由一條圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)而成。投影分析從圖3-6可看出，圓球的三個(gè)投影都是等徑圓，并且是圓球表面平行于相應(yīng)投影面的三個(gè)不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球可見與不可見的分界線；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面可見與不可見的分界線；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右兩半球面可見與不可見的分界線。 （a） （b） （c）圖3-5 用輔

38、助緯圓法求圓錐表面上點(diǎn)的投影（a） （b） （c）圖3-6 圓球的投影分析與作圖2、作圖方法：如圖3-6b。3、圓球表面上點(diǎn)的投影：圖3-6c所示。2.6平面與立體相交一、內(nèi)容：1、平面與平面立體相交；2、平面與回轉(zhuǎn)體相交。二、要求及重點(diǎn)：要求掌握平面與平面立體、曲面立體相交的截交線的特點(diǎn)，會(huì)作特殊平面與立體的截交線。三、教學(xué)方式：通過模型、教具、例題及具體繪制，使學(xué)生掌握并能綜合運(yùn)用前面所學(xué)點(diǎn)、線、面、體的投影。四、作業(yè)：布置相應(yīng)的特殊平面與立體的截交線作業(yè)。2.6平面與立體相交平面與平面立體相交圖3-7 平面與平面立體相交截平面：平面與平面立體相交，可看作平面立體被平面所截，該平面稱為截平

39、面；截交線：截平面與立體表面的交線；斷面：截交線所圍成的平面圖形；截交點(diǎn)：截交線的頂點(diǎn)。常見的平面立體是棱柱和棱錐。平面體是由平面圍成，所以平面體的截交線是封閉的平面折線，即平面多邊形。平面切割四棱錐（棱錐的截交線） （a） （b）圖3-8 平面與四棱錐相交分析：圖3-8（a）由于截平面P是正垂面，所以截交線的正面投影積聚成直線，水平投影和側(cè)面投影都是四邊形（類似形），只要求得四棱錐的四條棱線與P面的交點(diǎn)，依次連接即可完成作圖，如圖3-8（b）。注意：側(cè)面投影中四棱錐右棱線的一段虛線不要漏畫。（二）平面切割四棱柱（棱柱的截交線）分析：圖3-9（a）截平面P與四棱柱的四個(gè)棱面及上底面相交，截交線

40、是五邊形，如圖3-9所示。五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)分別是P面與四棱柱三條棱線以及底面兩條邊線的交點(diǎn)。由于P為正垂面，所以截交線的正面投影與P重合。四棱柱的各棱柱為鉛垂面，截交線的水平投影與四棱柱的各棱柱的水平投影重合。截交線與棱柱上底面的交線為正垂線，其正面投影積聚為一點(diǎn)，水平投影反映實(shí)長(zhǎng)。 （a） （b）圖3-9平面與四棱柱相交作圖：圖3-9（b）。二、平面與回轉(zhuǎn)體相交1、平面與曲面立體的截交線，也是截平面與圍成這個(gè)曲面立體的表面的交線。2、截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)（截交點(diǎn)）是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，截交線所圍成的平面圖形就是斷面。3、求截交線的投影需要先求出這些共有點(diǎn)的

41、投影，然后再連成截交線的投影。（一）圓柱的截交線當(dāng)平面與圓柱相交時(shí)，由于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同，將得到不同形狀的截交線。如表3-1所示。表3-1 圓柱面上的截交線與圓柱的斷面截平面位置垂直于圓柱的軸線傾斜于圓柱的軸線平行于圓柱的軸線示意圖投影圖截交線圓橢 圓兩條直線斷 面圓橢 圓矩 形圖3-10所示為圓柱被正垂面P斜切，截交線為橢圓的作圖過程。分析由于截平面P是正垂面，所以橢圓的正面投影積聚在P上，水平投影與圓柱面的水平投影重合為圓，側(cè)面投影為橢圓。 （a） （b） （c）圖3-10 作平面切割圓柱的截交線和截面的實(shí)形作圖（1）求特殊點(diǎn) （2）求中間點(diǎn) （3）依次光滑連接各點(diǎn)，即為所求

42、截交線橢圓的側(cè)面投影。用換面法作出橢圓實(shí)形，如圖3-10（c）。必須注意：隨著截平面P與圓柱軸線的變化，所得截交線橢圓的長(zhǎng)、短軸的投影也相應(yīng)變化。當(dāng)P面與軸線成45角時(shí)，橢圓長(zhǎng)、短軸的側(cè)面投影相等，即為圓。（二）圓錐的截交線當(dāng)平面與圓錐相交時(shí)，由于截平面與圓錐的相對(duì)位置不同，截交線的形狀也不同。如表3-2所示。分析：由于截平面為正平面，所以截交線的水平投影積聚為直線?？捎山亟痪€的水平投影用輔助緯圓法或輔助素線法求作正面投影，如圖3-11所示。表3-2 圓錐面上的截交線與圓錐的斷面截平面位置垂直于圓錐的軸線傾斜于圓錐的軸線，與素線都相交平行于一條素線平行于兩條素線通過錐頂示意圖投影圖截交線圓橢

43、圓拋物線雙曲線兩條直線斷 面圓橢 圓拋物線和直線組成的封閉的平面圖形雙曲線和直線組成的封閉的平面圖形三角形作圖： 圖3-11 正平面切割圓錐（三）球的截交線平面截割球時(shí)，截交線總是圓。截平面平行于投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影反映真形；截平面垂直于投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影積聚成一條長(zhǎng)度等于截交線圓的直徑的直線；截平面傾斜與投影面時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影為橢圓，這時(shí)，在作截交線圓的特殊點(diǎn)中，應(yīng)作出投影橢圓的長(zhǎng)短軸頂點(diǎn)。例3-1已知網(wǎng)球館球殼屋面的跨度和球半徑R，如圖3-12（a），作球殼屋面的投影。分析：球殼屋面是半徑為R的半球，被兩對(duì)對(duì)稱的、相距為的正平面和側(cè)平面切割，

44、如圖3-12（a）。球面被正平面切割后截交線的正面投影反映圓弧的實(shí)形，側(cè)面投影成為兩條鉛垂線。球面被側(cè)平面切割后截交線的側(cè)面投影反映圓弧的實(shí)形，正面投影成為兩條鉛垂線。作圖：如圖3-12b所示。 （a） （b）圖3-12 球殼屋面上的截交線2.7組合體的投影一、內(nèi)容：1、組合體的類型；2、組合體投影圖的畫法；組合投影圖的識(shí)讀。二、要求及重點(diǎn)：要求了解組合體的概念、組合體投影圖的畫法。三、教學(xué)方式：利用模型、教具、例題，使學(xué)生了解組合體的概念、組合體投影圖的畫法。2.7組合體的投影我們?nèi)粘Ｒ姷降慕ㄖ锘蚱渌こ绦误w，都是由簡(jiǎn)單的基本形體所組成。一、 組合體投影圖的畫法 (1)疊加式 把組合體看成

45、由若干個(gè)基本形體疊加而成，如圖2-43所示。 (2)切割式 組合體是由一個(gè)大的基本形體經(jīng)過若干次切割而成，如圖2-44所示。 (3)混合式 把組合體看成既有疊加又有切割所組成，如圖2-45所示。 組合體的表面連接關(guān)系 圖 2.7.1所示組合體的三面投影圖 。 圖2.7.1所謂連接關(guān)系，就是指基本形體組合成組合體時(shí)，各基本形體表面間真實(shí)的相互關(guān)系。兩表面相互平齊、相切、相交和不平齊，如圖2.7.2所示。組合體是由基本形體組合而成的，所以基本形體之間除表面連接關(guān)系以外，還有相互之間的位置關(guān)系。圖2.7.3所示為疊加式組合體組合過程中的幾種位置關(guān)系。 圖2.7.3 圖2.7.2二、組合體投影圖的畫法一個(gè)組合體，可以看作由若干個(gè)基本形體所組成。對(duì)組合體中基本形體的組合方式、表面連接關(guān)系及相互位置等進(jìn)行分析，弄清各部分的形狀特征，這種分析過程稱為形體分析。1、確定組合體在投影體系中的安放位置 (1) 符合平穩(wěn)原則 (2) 符合工作位置 (3) 擺放的位置要顯示盡可能多的特征輪廓 2、確定組合體的投影圖數(shù)量 (1) 根據(jù)表達(dá)基本形體所需的投影圖來確定組合體的投影圖數(shù)量 (2) 抓住組合體的總體輪廓特征或其中某基本體的明顯特征來選擇投影圖數(shù)量 (3) 選擇投影圖與減少虛線相結(jié)合 3、 選擇作圖的比例和圖幅 工程物體有大有小，無法按實(shí)際大小作圖，所以必須選擇適當(dāng)?shù)谋壤鲌D。當(dāng)比例