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1、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)正比例一次函數(shù)例題講解八年級(jí) 數(shù)學(xué)第十一章 函數(shù)一般地,形如y=kx(k為常數(shù),且k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。 當(dāng)b =0 時(shí),y=kx+b 即為 y=kx,所以正比例函數(shù),是一次函數(shù)的特例.一般地,形如y=kx+b(k,b為常數(shù),且k0)的函數(shù)叫做一次函數(shù). 一、一次函數(shù)的概念: 思 考y=k xn +b為一次函數(shù)的條件是什么?一. 指數(shù)n=1二. 系數(shù) k 01.下列函數(shù)中,哪些是一次函數(shù)?m =2答:(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是2:函數(shù)y=(m +2)x+( -4)為正比例函數(shù),則m為何值3、題型舉例:一次函數(shù)的定義【思考題1】關(guān)于x的函 數(shù)y=
2、(m-2)x +2+m是一次函數(shù),則m=_-2要注意考查全面,既要滿足自變量x的最高次數(shù)為1;同時(shí)要滿足自變量一次項(xiàng)系數(shù)不能為0。4、 沖擊中考演練:1、求m為何值時(shí),關(guān)于x的函數(shù)y=(m+1)x2-+3是一次函數(shù),并寫(xiě)出其函數(shù)關(guān)系式。(點(diǎn)評(píng):本題在考查一次函數(shù)的定義,由定義可得 且 ,解得: 解析式為:2-=1m+10m=1y=2x+3解 由題意得: 2-=1 m+10 解之得:m=1把m=1代入 Y=(m+1)x2-+3得解析式:y=2x+3書(shū)寫(xiě)格式二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì): 1、 圖象的形狀:(1)正比例函數(shù)y= kx (k 是常數(shù),k0) 的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)和(1,k)的一條直
3、線,我們稱(chēng)它為直線y= kx 。(2)一次函數(shù)y=kx+b(k不等于0)的是經(jīng)過(guò)(0,b)和(- ,0)的一條直線,我們把他稱(chēng)為直線y=kx+b。 一次函數(shù)y=kx+b(b0)圖象k,b的符號(hào)經(jīng)過(guò)象限增減性正比例函數(shù)y=kxxyobxyobxyobxyoby隨x的增大而增大y隨x的增大而增大y隨x的增大而減少y隨x的增大而減少一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四、圖象是經(jīng)過(guò)(,)與(,k)的一條直線、當(dāng)k0時(shí),圖象過(guò)一、三象限;y隨x的增大而增大。當(dāng)k0b0k0b0k0k0b02、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)總結(jié):、直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、四象限,則K 0, b 0此時(shí),直線y=bxk的圖象只
4、能是( ) D練習(xí):2、根據(jù)下列一次函數(shù)y=kx+b(k 0)的草圖回答出各圖中k、b的符號(hào):k_0, k_0 k_0, k_0 b_0, b_0 b_0, b_04、一次函數(shù)y=ax+b與y=ax+c(a0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( )xyoxyoxyoxyoABCD3、已知一次函數(shù)y=kx+b,y隨著x的增大而減小,且kb0 ,b0b0a0 ,b0b0, a0 ,b0b0, a0 ,b0b0, a0D6. 一支蠟燭長(zhǎng)20厘米,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5厘米,燃燒時(shí)剩下的高度h(厘米)與燃燒時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)關(guān)系的圖象是( ) 選一選ACBDD3、 已知一次函數(shù) y=(1-2m)x+m-1 ,
5、求滿足下列條件的m的值:(1)函數(shù)值y 隨x的增大而增大;(2)函數(shù)圖象與y 軸的負(fù)半軸相交;(3)函數(shù)的圖象過(guò)第二、三、四象限;(4)函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)。 一次函數(shù)y=b 3x,y隨x的增大而一次函數(shù)y= 2x+b圖象過(guò)(1, 2),則b=一次函數(shù)y= x+4的圖象經(jīng)過(guò) 象限直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、三象限,那么y=bx k經(jīng)過(guò) 象限函數(shù)y=(m 2)x中,已知x1x2時(shí),y1y2,則m的范圍是直線y=3x+b與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則這條直線一定不過(guò) 象限減小一、二、四0一、三、四m2二 若直線L1和L2的解析式為yk1xb1和yk2xb2則它們的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定:(1)k1k2
6、L1和L2相交(2)k1= k2,b1b2 L1和L2平行(3)k1k2 = -1 L1和L2垂直三、兩條直線的位置關(guān)系 : 一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象可以看作是直線y=kx (k0)平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的。(0,b)xyob直線平移中我們遵循的原則是:上加下減。左加右減。(這里指的是用常數(shù)項(xiàng)b來(lái)相加減)(這里指的是用自變量x來(lái)相加減)y=2x+1xyoy=2xxyoy=2x-1y=2x-2直線y=2x+1是由直線y=2x向 平移 個(gè)單位得到。1直線y=2x-2是由直線y=2x-1向 平移 個(gè)單位得到。下1上 一次函數(shù)y=kx+b中k、b的作用特性:xyoy = k1x+b1y = k
7、2x+b2y = k3x+b3 k1=k2=k3 , b1b2b3互相平行的三條直線xyoy = k2x+b2y = k3x+b3b k1k2k3 , b1=b2=b3過(guò)同一點(diǎn)(0,b)的三條直線y=kx+by = k1x+b1K的正負(fù)決定直線的上升和下降(從左往右看)k 越大,直線越陡。即與x軸夾角越大。b決定直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。b的正負(fù)性決定直線與y軸的交點(diǎn)在正半軸還是負(fù)半軸。四、怎樣畫(huà)一次函數(shù)y=kx+b的圖象?1、兩點(diǎn)法y=x+12、平移法求一次函數(shù)解析式一般步驟:(1)、先設(shè)出函數(shù)解析式;(2)、根據(jù)條件(一般是已知兩個(gè)條件)列關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);(3)、解方
8、程(組)求出解析式中未知的系數(shù);(4)把求出的系數(shù)代入設(shè)的解析式,從而具體寫(xiě)出這個(gè)解析式。這種求解析式的方法叫待定系數(shù)法五、一次函數(shù)解析式的求法:1.若一次函數(shù)y=x+b的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,-1),則b=_。 -22.根據(jù)如圖所示的條件,求直線的表達(dá)式。 練習(xí):另外根據(jù)定義求解析式的類(lèi)型:例:已知y-1與x成正比例,且x=2時(shí),y=4,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)。 3、柴油機(jī)在工作時(shí)油箱中的余油量Q(千克)與工作時(shí)間t(1)寫(xiě)出余油量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.解:()設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為:ktb。把t=0,Q=40;t=3.5,Q=22.5分別代入上式,得解得解析式為:Qt+40(0t8)()、
9、取t=0,得Q=40;取t=,得Q=。描出點(diǎn)(,40),B(8,0)。然后連成線段AB即是所求的圖形。注意:(1)求出函數(shù)關(guān)系式時(shí),必須找出自變量的取值范圍。 (2)畫(huà)函數(shù)圖象時(shí),應(yīng)根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍來(lái)確定圖象的范圍。圖象是包括兩端點(diǎn)的線段.204080tQ.AB 4、柴油機(jī)在工作時(shí)油箱中的余油量Q(千克)與工作時(shí)間t(1)寫(xiě)出余油量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.(2)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象。Qt+40(0t8)5、某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)了一種新藥,在實(shí)際驗(yàn)藥時(shí)發(fā)現(xiàn),如果成人按規(guī)定劑量服用,那么每毫升血液中含藥量y(毫克)隨時(shí)間x(時(shí))的變化情況如圖所示,當(dāng)成年人按規(guī)定劑量服藥后。(1)服藥后_時(shí),血液
10、中含藥量最高,達(dá)到每毫升_毫克,接著逐步衰弱。(2)服藥5時(shí),血液中含藥量為每毫升_毫克。x/時(shí)y/毫克6325O、某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)了一種新藥,在實(shí)際驗(yàn)藥時(shí)發(fā)現(xiàn),如果成人按規(guī)定劑量服用,那么每毫升血液中含藥量y(毫克)隨時(shí)間x(時(shí))的變化情況如圖所示,當(dāng)成年人按規(guī)定劑量服藥后。(3)當(dāng)x2時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是_。(4)當(dāng)x2時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是_。(5)如果每毫升血液中含藥量3毫克或3毫克以上時(shí),治療疾病最有效,那么這個(gè)有效時(shí)間是_時(shí)。x/時(shí)y/毫克6325Oy=3xy=-x+84求ax+b=0(a,b是常數(shù),a0)的解 x為何值時(shí)函數(shù)y= ax+b的值 為0 從“數(shù)”的角度看求a
11、x+b=0(a, b是常數(shù),a0)的解 求直線y= ax+b與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 從“形”的角度看六、一次函數(shù)與一元一次方程:練習(xí):(1)根據(jù)下列圖象,你能說(shuō)出哪些一元一次方程并說(shuō)出相應(yīng)方程的解?xxxxyyyy000022-21-15x=0X=0 x+2=0X=-2-3x+6=0X=2x-1=0X=1利用圖像法求方程6x-3=x+2的解方法二:方程6x-3=x+2可以轉(zhuǎn)化為y=6x-3與y=x+2在自變量x為何值時(shí)函數(shù)值相等?即從圖象上可以看出y=6x-3與y=x+2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程6x-3=x+2的解由圖像可以看出y=6x-3與y=x+2的交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3)即原方程的解為:x=
12、1y=6x-3y=x+2(1,3)y0 x在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=6x-3與y=x+2的圖象(2)利用圖像法求方程6x-3=x+2的解方法一:將方程6x-3=x+2變形為5x-5=0畫(huà)出y=5x-5的圖像由圖像可知y=5x-5與x軸的交點(diǎn)為(1,0)所以x=11-5y=5x-5yx0解不等式ax+b0(a,b是常數(shù),a0) x為何值時(shí)函數(shù)y= ax+b的值 大于0 從“數(shù)”的角度看解不等式ax+b0(a,b是常數(shù),a0) 求直線y= ax+b在 x 軸上方的部分(射線)所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍 從“形”的角度看七、一次函數(shù)與一元一次不等式:例題解不等式:5x+42x+10解法一:利用解不等
13、式的方法(略)解法二: 把5x+42x+10整理為:3x-6 0解法三:畫(huà)出y=3x-6的圖像2- 6y=3x-6由圖像可以看出:當(dāng)x 2時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸的下方,這時(shí)y=3x-6 0即:此不等式的解集為x 2解法三:把5x+42x+10看做兩個(gè)一次函數(shù)y=5x+4和y=2x+10畫(huà)出y=5x+4和y=2x+10的圖像410-5y=2x+10y=5x+42由圖像可知:它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。當(dāng)x 2時(shí)直線y=2x+10上的點(diǎn)都在直線y=5x+4的下方,即5x+42x+10所以:此不等式的解集為: x 2其實(shí):兩種解不等式的方法都是把不等式轉(zhuǎn)化為比較直線上點(diǎn)的位置的高低練習(xí):1、函數(shù) y2x
14、3 的圖象如圖 3,根據(jù)圖象回答:(1)x 取什么值時(shí),函數(shù)值 y 等于 0?(2)x 取什么值時(shí),函數(shù)值 y 大于 0?(3)x 取什么值時(shí),函數(shù)的圖象在 x 軸下方?圖 32小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時(shí),在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象 l1、l2如圖 4,他解的這個(gè)方程組是()D圖 4點(diǎn)撥:由圖象知,l1、l2 的 x 的系數(shù)都應(yīng)為負(fù)數(shù),排除 A、C.又 l1、l2的交點(diǎn)為(2,2),代入驗(yàn)證可知只有 D 符合3、直線y=kx+b與直線y=2x+3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則關(guān)于x的不等式kx+b24、直線y=kx+b與直線y=mx+n交A點(diǎn)(-1,2),直線y=mx+n
15、與x軸交于(3,0)則關(guān)于x的不等式組xy0y=kx+by=mx+n-1 mx+nmx+n0的解集為_(kāi)3解方程組自變量(x)為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等并求出這個(gè)函數(shù)值 從“數(shù)”的角度看解方程組確定兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).從“形”的角度看八、一次函數(shù)與二元一次方程組:1、以方程2x-y=1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在 一次函數(shù) _的圖像上。2、方程組 的解是 ,由此可知一次函數(shù) 與 的圖像必有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)坐標(biāo)是 。x-y=43x-y=16鞏固練習(xí)y=2x-1x=6y=2y=x+4 y=-3x+16(6,2)2x+y=42x-3y=123、用圖象法解方程組:解:由得:由得:作出圖象:觀察圖象得:交點(diǎn)為(3,-2
16、)方程組的解為x=3y=-2xoyy=-2x+4y=2/3x - 4八年級(jí) 數(shù)學(xué)二元一次方程組的解與以這兩個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。由此可得: 二元一次方程組的圖象解法.寫(xiě)函數(shù),作圖象,找交點(diǎn),下結(jié)論議 一 議yoxx-y=02x+y=5作出圖象:觀察圖象得:交點(diǎn)(1.7,1.7)方程組的解為x=1.7y=1.7精確!圖象法:你有哪些方法?4、解方程組代數(shù)法:x=5/3y=5/3方程組的解為用作圖象的方法可以直觀地獲得問(wèn)題的結(jié)果,但有時(shí)卻難以準(zhǔn)確.為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果,我們一般用代數(shù)方法.近似!5、應(yīng)用:老師為了教學(xué),需要在家上網(wǎng)查資料。電信公司 提供了兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式: 方式
17、 1 :按上網(wǎng)時(shí)間以每分鐘 0.1 元計(jì)費(fèi); 方式 2 :月租費(fèi) 20 元,再按上網(wǎng)時(shí)間 以每分鐘 0.05 元計(jì)費(fèi)。 請(qǐng)同學(xué)們幫老師選擇:以何種方式上網(wǎng)更合算?乘坐智慧快車(chē)oy/元x /分20400200y1y 2=0.05x+204030在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像當(dāng) x = 400 時(shí), y1 = y2當(dāng) x400 時(shí), y1 y2當(dāng) 0 x400 時(shí), y1 y2 y1=0.1x y2=0.05x+20解:解法一:設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為 x 分,若按方式 1 則收 元; 若按方式 2 則收 元。 y1 y2=0.05x+20由函數(shù)圖像得:當(dāng) 時(shí),y0, 即選方式 省錢(qián);當(dāng) 時(shí),y=0,
18、 即選方式A、B ;當(dāng) 時(shí),y0, 即選方式 省錢(qián);400y=0.05x+20 200yx解法2:設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為 x 分,方式 B與方式 A兩種計(jì)費(fèi)的差額為 y元,則 y 隨 x 變化的函數(shù)關(guān)系式為 . 化簡(jiǎn)得 。在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像。y=(0.05x+20) y=0.05x +200 x400X=400X400AB 一樣ABCDOy/km90012x/h43、(2008年南京市)一列快車(chē)從甲地駛往乙地,一列慢車(chē)從乙地駛往甲地,兩車(chē)同時(shí)出發(fā),設(shè)慢車(chē)行駛的時(shí)間為x(h) ,兩車(chē)之間的距離為y(km) ,圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究:(1)甲、乙兩地之間的距離為
19、 km;(2)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義;(3)求慢車(chē)和快車(chē)的速度;(4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;4)y=225x-900 3) 75km/h,150km/h2)兩車(chē)相遇9004x66450挑戰(zhàn)1、已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)(-1,-5),且與正比例函數(shù)y= X的圖象相交于點(diǎn)(2,a),求:(1)a的值; (2)一次函數(shù)的解析式;(3)這兩個(gè)函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形面積.九、一次函數(shù)圖像中的面積有關(guān)問(wèn)題:2、直線y=kx+3與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為9,求k的值y=kx+3 -3/k3解:(如圖)當(dāng)x=0時(shí),y=3 y=kx+3與y軸的
20、交點(diǎn)為(0,3) 當(dāng)y=0時(shí),x=-3/k y=kx+3與x軸的交點(diǎn)為(-3/k,0) k=-1/2或k=1/2SAB0= AOBO=9 3|-3/k|=9答:k的值為-1/2或1/2 。 B A OyxAO=3 ,BO=|-3/k|3、如圖,A,B分別是x軸上位于原點(diǎn)左,右兩側(cè)的點(diǎn),點(diǎn)P(2,P)在第一象限,直線PA交y軸于點(diǎn)C(0,2),直線PB交y軸于點(diǎn)D, (1)求 的面積;(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及P的值;(3)若 ,求直線BD的函數(shù)解析式.xyOABP(2,p)CD4、直線 分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),O為原點(diǎn).(1)求AOB的面積;(2)過(guò)AOB的頂點(diǎn),能不能畫(huà)出直線把AOB分成面積
21、相等的兩部分?寫(xiě)出這樣的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式5、現(xiàn)在老師如果給每個(gè)交點(diǎn)標(biāo)出字母,你能否求得四邊形OABC的面積?方法一:利用大三角形減小三角形方法二:把四邊形分割成梯形和三角形方法三:把四邊形分割成兩個(gè)小三角形-2412(1,1.5)1 某農(nóng)戶種植一種經(jīng)濟(jì)作物,總用水量y(米3)與種植時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖(1)第20天的總用水量為多少米?(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 (3)種植時(shí)間為多少天時(shí),總用水量達(dá)到7000米3?O(天)y(米3)400010003020 x注意點(diǎn):(1)從函數(shù)圖象中獲取信息(2)根據(jù)信息求函數(shù)解析式十、一次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題:2“512”汶川地震發(fā)生后,某天
22、廣安先后有兩批自愿者救援隊(duì)分別乘客車(chē)和出租車(chē)沿相同路線從廣安趕往重災(zāi)區(qū)平武救援,下圖表示其行駛過(guò)程中路程隨時(shí)間的變化圖象(1)根據(jù)圖象,請(qǐng)分別寫(xiě)出客車(chē)和出租車(chē)行駛過(guò)程中路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫(xiě)出自變量的取值范圍);(2)寫(xiě)出客車(chē)和出租車(chē)行駛的速度分別是多少?(3)試求出出租車(chē)出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間趕上客車(chē)? 1 2 3 4 5 x(小時(shí))y(千米)20015010050O 出租車(chē)客車(chē) 1、某學(xué)校計(jì)劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi),租用汽車(chē)送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動(dòng),每輛汽車(chē)上至少要有1名教師,現(xiàn)有甲、乙兩種大客車(chē),它們的載客量和租金如下表:甲種客車(chē)乙種客車(chē)載客量(單位:人/輛)4530租
23、金(單位:元/輛)400280(1)(1)共需租多少輛汽車(chē)?(2)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車(chē)方案?十一、一次函數(shù)中方案選擇問(wèn)題:要求:(1)要保證240名師生有車(chē)坐。(2)要使每輛車(chē)至少要有1名教師。解:(1)共需租6輛汽車(chē).(2)設(shè)租用x輛甲種客車(chē).租車(chē)費(fèi)用為y元,由題意得y=400 x+280(6-x)化簡(jiǎn)得y=120 x+1680 x是整數(shù),x 取4,5k=120Oy 隨x的增大而增大當(dāng)x=4時(shí),Y的最小值=2160元2、已知雅美服裝廠現(xiàn)有A種布料70米,B種布料52米,現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號(hào)的時(shí)裝共80套已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝需用A種布料1.1米,B種布料0.4米,可獲利50元
24、;做一套N型號(hào)的時(shí)裝需用A種布料0.6米,B種布料0.9米,可獲利45元設(shè)生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝套數(shù)為x,用這批布料生產(chǎn)兩種型號(hào)的時(shí)裝所獲得的總利潤(rùn)為y元(1)求y(元)與x(套)的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;(2)當(dāng)M型號(hào)的時(shí)裝為多少套時(shí),能使該廠所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多?1.如圖,在邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD的一邊BC上,有一點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)BP=X,四邊形APCD的面積 為y。 (1)寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式,并畫(huà)出它的圖象。(2)當(dāng)x為何值時(shí),四邊形APCD的面積等于3/2。ABCDP十二、一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題:2如圖1,在矩形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD,DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,(1)求ABC的面積;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;yxO49圖 2C圖 1ABDPBC=4AB=510(2) y
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