課時教學(xué)計劃表-瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院

1、 課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號 第二章01課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）21 導(dǎo)數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：會用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);會求曲線上一點處的切線方程和法線方程。教學(xué)重點和難點：重點：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義難點：可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、導(dǎo)數(shù)定義2、導(dǎo)函數(shù)定義3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義4、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系5、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習(xí)題21 1，2（1），4，9課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分1.引入提問（1）怎樣求變速運動的瞬時速度呢？（2

2、）怎樣求平面曲線在一點的切線斜率呢？（1）設(shè)物體作變速直線運動，它的運動方程(即路程s與時間 SKIPIF 1 0 的函數(shù)關(guān)系)是 SKIPIF 1 0 從而可以求得物體在時段 SKIPIF 1 0 內(nèi)的平均速度 SKIPIF 1 0 很明顯，當(dāng) SKIPIF 1 0 無限變小時，平均速度 SKIPIF 1 0 無限接近于物體在 SKIPIF 1 0 時刻的瞬時速度 SKIPIF 1 0 因此，平均速度的極限值就是物體在 SKIPIF 1 0 時刻的瞬時速度 SKIPIF 1 0 ，即可定義 SKIPIF 1 0 （2）如圖21所示, 設(shè)曲線 SKIPIF 1 0 所對應(yīng)的函數(shù)為 SKIPIF

3、 1 0 , SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 點的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 ), SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )，則 SKIPIF 1 0 割線 SKIPIF 1 0 的斜率是 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 是割線 SKIPIF 1 0 的傾斜角當(dāng) SKIPIF 1 0 時,點 SKIPIF 1 0 沿著曲線無限趨近于點 SKIPIF 1 0 ,而割線 SKIPIF 1 0 就無限趨近于它的極限位置 SKIPIF 1 0 .因此,切線的傾斜角 SKIPIF 1 0 是割線傾斜角 SKIPIF 1 0 的極

4、限，切線的斜率 SKIPIF 1 0 是割線斜率的極限，即 SKIPIF 1 0 以上兩例，雖然實際意義不同，但從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，都可歸結(jié)為計算函數(shù)增量與自變量增量之比的極限問題，也就是下面我們要研究的導(dǎo)數(shù)問2導(dǎo)數(shù)定義 (板書) SKIPIF 1 0 討論:該極限一定存在嗎?結(jié)論: 存在稱函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處具有導(dǎo)數(shù)，稱可導(dǎo);不存在導(dǎo)數(shù)就不存在, 稱不可導(dǎo)注：（1）如果極限為無窮大，這時函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 不可導(dǎo)，但為了方便，也稱函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)是無窮大 （2）上述導(dǎo)數(shù)的定義式

5、還有以下幾種常用的形式： = 1 * GB3 令 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 = 2 * GB3 令 SKIPIF 1 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 0 時，有 SKIPIF 1 0 ，于是有 SKIPIF 1 0 例3 求函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義先計算 SKIPIF 1 0 再計算 SKIPIF 1 0 最后由導(dǎo)數(shù)定義得: SKIPIF 1 0 思考:函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的導(dǎo)數(shù)怎樣求?例4 設(shè) SKIPIF 1 0 ,求： SKIPIF 1 0 分

6、析:先求出 SKIPIF 1 0 ,再把x=2,x=-1帶入 SKIPIF 1 0 即得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3.導(dǎo)函數(shù)定義如果函數(shù) SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 內(nèi)的每一點 SKIPIF 1 0 都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù) SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 內(nèi)可導(dǎo)這時，對于區(qū)間 SKIPIF 1 0 內(nèi)每一點 SKIPIF 1 0 ,都有一個導(dǎo)數(shù)值 SKIPIF 1 0 與它對應(yīng)因此 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的函數(shù)，稱為函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)函數(shù)，記作 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0

7、 由于函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù),就是導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的函數(shù)值， 即 SKIPIF 1 0 因此，求函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù),可以先求它的導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 ，再將 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 中，求得函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 注： 通常情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)提示：該題的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)解： SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 所以，常數(shù)的

8、導(dǎo)數(shù)等于零小結(jié)：用定義求導(dǎo)數(shù)，可分為以下三個步驟： (1)求增量 給自變量 SKIPIF 1 0 以增量 SKIPIF 1 0 ,求出對應(yīng)的函數(shù)增量 SKIPIF 1 0 (2)算比值 計算出兩個增量的比值 SKIPIF 1 0 (3)取極限 對上式兩端取極限 SKIPIF 1 0 例6 求函數(shù) SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0， SKIPIF 1 0 0)的導(dǎo)數(shù)解 (1)求增量： SKIPIF 1 0 (2)算比值： SKIPIF 1 0 (3)取極限：令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 0 時 SKIPIF 1 0 由此得 SKIP

9、IF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 特別地，當(dāng) SKIPIF 1 0 =e時， ln e=1，則 SKIPIF 1 0 上式表明，以e為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它自己，這是以e為底的指數(shù)函數(shù)的一個重要特性要求同學(xué)課后論證： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （參考書上例7，例8）4導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖21，函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 是曲線 SKIPIF 1 0 的點 SKIPIF 1 0 處的切線的斜率由點斜式得曲線 SKIPIF 1 0 上點 SKIPI

10、F 1 0 處切線方程： SKIPIF 1 0 法線方程為 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 o）求曲線 SKIPIF 1 0 在點(1,1)處的切線方程和法線方程分析：關(guān)鍵是求出曲線 SKIPIF 1 0 在點(1,1)處的切線的斜率，而法線與切線垂直即知法線斜率與切線斜率互為負倒數(shù)關(guān)系，從而求出法線斜率，再用點斜式分別得切線方程和法線方程解 因為 SKIPIF 1 0 ,所以曲線 SKIPIF 1 0 在點(1,1)處的切線的斜率為 SKIPIF 1 0 所以，所求切線方程為 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 所求法線的斜率為 SKIPIF 1 0 于是所求法線

11、方程為 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 5函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系提問:函數(shù) SKIPIF 1 0 處連續(xù)與可導(dǎo)嗎?(畫圖分析, 連續(xù)則不可導(dǎo))定理 如果函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，則函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處連續(xù)證：因 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，所以 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 于是函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處連續(xù)6、小結(jié)本次課內(nèi)容: 本次課主要講解了：（1）導(dǎo)數(shù)的概念（2）

12、導(dǎo)數(shù)幾何意義：k= SKIPIF 1 0 （3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:可導(dǎo) SKIPIF 1 0 連續(xù)課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號： 第二章02課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)， 2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.能熟練,靈活應(yīng)用法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點和難點： 重點：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.及其相應(yīng)滿足的條件難點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2、復(fù)合函

13、數(shù)的求導(dǎo)法則3、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習(xí)題22 1（1），（2），（7），2（2），4 習(xí)題23 1（1）(2)(4)(6), 2(1)(3)課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分引入:大家知道,用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是比較困難的,我們能否尋求更簡便的求導(dǎo)數(shù)的方法呢?在本次學(xué)習(xí)中將學(xué)習(xí)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則由導(dǎo)數(shù)定義，可以推導(dǎo)出函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則假設(shè) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)均存在,則法則一 法則二 法則三這里僅證法則二證 設(shè)自變量增量 SKIPIF 1 0 ,則函數(shù) SKIPIF 1 0 , SKIPI

14、F 1 0 及 SKIPIF 1 0 的對應(yīng)增量分別為 SKIPIF 1 0 (1) SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 (3)由(1)、(2)式得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，將它們代人(3)式，得 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 因為u= SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 )在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，即 SKIPIF 1 0 且由于在點 SKIPIF 1 0 可導(dǎo)的函數(shù) SKIPIF 1 0 在該點必須連續(xù)，即 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 即函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF

15、 1 0 處可導(dǎo)，且 SKIPIF 1 0 簡記為 SKIPIF 1 0 由此得函數(shù)積的求導(dǎo)法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子再加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)特別地，當(dāng) SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 為常數(shù))時，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，則得 SKIPIF 1 0 積的求導(dǎo)法則可以推廣到有限多個函數(shù)之積的情形如， SKIPIF 1 0 例1設(shè) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 分析:該函數(shù)可看成三個函數(shù)u= SKIPIF 1 0 v= SKIPIF 1 0 w= SKIPIF 1 0 和

16、差，且該三個函數(shù)都可導(dǎo)，可以用法則一求導(dǎo)。解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例2 求 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)。分析：該函數(shù)可看成由兩個函數(shù)u= SKIPIF 1 0 ，v= SKIPIF 1 0 的乘積，且兩個函數(shù)都可導(dǎo)，于是可用法則二求導(dǎo)。解 根據(jù)積的求導(dǎo)法則，得 SKIPIF 1 0 例3.求 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解解:由乘法法則得： SKIPIF 1 0 例4 求曲線 SKIPIF 1 0 在點(1,2)的切線方程。分析：該題的關(guān)鍵是求出該曲線當(dāng)x=1時的斜率，即先求該函數(shù)當(dāng)x=1時的導(dǎo)數(shù)。 先化簡，再由法則一求導(dǎo)。解 在求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)先化簡再求導(dǎo)，可

17、以簡化求導(dǎo)過程。因為 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 于是，曲線在點（1，2）處的切線方程為，即 思考:該題還有其它方法媽? 也可將 該函數(shù)可看成u= SKIPIF 1 0 與v= SKIPIF 1 0 的商，再,由法則三求導(dǎo)。最后由點斜式求出切線方程。但該方法較難, 一般不用該方法.注：能用法則一，二求導(dǎo)的盡量不用法則三求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)分析:該題若用定義求導(dǎo)數(shù)難度比較大,若把它變形 SKIPIF 1 0 然后用法則三求其導(dǎo)數(shù)比較簡單即 SKIPIF 1 0 課后論證:正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式: SKIPIF 1 0 正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

18、式: SKIPIF 1 0 余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: SKIPIF 1 0 2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理 如果函數(shù) SKIPIF 1 0 在點x處可導(dǎo),而函數(shù) SKIPIF 1 0 在對應(yīng)點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 SKIPIF 1 0 證 略 由此得復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也稱為鏈?zhǔn)椒▌t，它可以推廣到多個變量的情形例如，如果 SKIPIF 1 0 , 且它們都可導(dǎo)，則 SKIPIF 1 0 例6 求函數(shù) SKIPIF

19、1 0 的導(dǎo)數(shù)分析: SKIPIF 1 0 可以看作由 SKIPIF 1 0 復(fù)合而成，又 SKIPIF 1 0 于是,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求導(dǎo)解: SKIPIF 1 0 例7 求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)分析: SKIPIF 1 0 可看作由 SKIPIF 1 0 復(fù)合而成，因為 SKIPIF 1 0 所以利用可以求復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求導(dǎo)出其導(dǎo)數(shù).解例8求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)分析: SKIPIF 1 0 可看作由 SKIPIF 1 0 復(fù)合而成，于是用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 法則即可求其導(dǎo)數(shù)解: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 從以上幾例可以看出，應(yīng)用復(fù)合

20、函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)時，關(guān)鍵是將函數(shù)分解為可以求導(dǎo)的若干個簡單函數(shù)的復(fù)合在熟練了以后，中間變量可以不寫出來，從外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，一直求到對自變量的導(dǎo)數(shù)為止例9 求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解 SKIPIF 1 0 例10 求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例11求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解 因為 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 補證冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： SKIPIF 1 0 證 因為 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 3、小結(jié)本次課內(nèi)容:(1)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則法則一 法則二 法則三(2)復(fù)合

21、函數(shù)的求導(dǎo)法則 SKIPIF 1 0 課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號： 第二章03課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：了解隱函數(shù)的概念,掌握求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法.教學(xué)重點和難點： 重點：隱函數(shù)概念難點：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、顯函數(shù)定義2、隱函數(shù)的定義3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則4、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習(xí)題24 1（1），2（1），3（1），4（1），5課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分引入: 前面從定義出發(fā)可以求出基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再用函

22、數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以求出簡單的初等函數(shù)的的導(dǎo)數(shù),推導(dǎo)出一些基本的求導(dǎo)數(shù)公式,例如 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 等.然而有些特殊形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以上的方法就不能求出其導(dǎo)數(shù)了.例如由方程 SKIPIF 1 0 確定的隱函數(shù)y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)。下面介紹隱函數(shù).顯函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.1、顯函數(shù)定義：前邊我們研究函數(shù)都是假設(shè)它可以表示為y = f (x) 的形式，能表達成這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù)。例如 SKIPIF 1 0 提問:不是所有的函數(shù)都可以表示為顯函數(shù)?例如：方程 SKIPIF 1 0 可化為顯函數(shù) SK

23、IPIF 1 0 .方程 SKIPIF 1 0 就無法將 SKIPIF 1 0 表示成 SKIPIF 1 0 的顯函數(shù)時變量之間的函數(shù)關(guān)系不能表示為 SKIPIF 1 0 的形式，而是由某個方程確定。2、隱函數(shù)的定義：我們把由方程 SKIPIF 1 0 =0所確定的函數(shù)叫作隱函數(shù)思考：有時可以將隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式，但通常將隱函數(shù)化為顯函數(shù)是比較困難的，甚至無法將隱函數(shù)化為顯函數(shù)怎樣求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?在實際問題中，有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此，我們希望有一種方法，無論隱函數(shù)能否化為顯函數(shù)的形式，都能直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來3隱函數(shù)的求導(dǎo)法則下面以例子說明求導(dǎo)法則例1 求由方程

24、SKIPIF 1 0 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 解 在方程中,將 SKIPIF 1 0 看作 SKIPIF 1 0 的函數(shù),則 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的復(fù)合函數(shù).因此,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，方程兩端同時對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 從上式中解出 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 注意 上述結(jié)果中的 SKIPIF 1 0 仍然是由方程戈 SKIPIF 1 0 所確定的隱函數(shù)習(xí)慣上對隱函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果允許用帶有 SKIPIF 1 0 的式子表示 例1表明，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只需在方程

25、 SKIPIF 1 0 中,將 SKIPIF 1 0 看作 SKIPIF 1 0 的函數(shù), SKIPIF 1 0 的表達式看作 SKIPIF 1 0 的復(fù)合函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，方程兩端同時對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo),得到一個關(guān)于 SKIPIF 1 0 ，y， SKIPIF 1 0 ，的方程，從中解出 SKIPIF 1 0 ，即得所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2 求方程 SKIPIF 1 0 確定的隱函數(shù)y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)。解 等式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得， SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，）解得 SKIPIF 1 0 .例3 求由方程 SKIPIF 1 0 所確定的隱

26、函數(shù)的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 解 方程兩端對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 例4求橢圓 SKIPIF 1 0 在點( SKIPIF 1 0 )處的切線方程解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線斜率為 SKIPIF 1 0 .橢圓方程兩邊對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)，得 SKIPIF 1 0 解出 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 將 SKIPIF 1 0 =2， SKIPIF 1 0 代入上式,得 SKIPIF 1 0 ，于是所求切線方程為 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 例5 求冪指函數(shù) SKIPIF 1

27、 0 ( SKIPIF 1 0)的導(dǎo)數(shù)解 兩邊取對數(shù)，得 SKIPIF 1 0 兩邊對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)，得 SKIPIF 1 0 . 整理，得 SKIPIF 1 0 . 上題中，先取對數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求導(dǎo)，這種方法叫作對數(shù)求導(dǎo)法一般地，冪指函數(shù) SKIPIF 1 0 可以用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，也可以將冪指函數(shù)寫成 SKIPIF 1 0 ，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)例6 求 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0)的導(dǎo)數(shù)解 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 對數(shù)求導(dǎo)法，對由多個因子通過乘、除、乘方或開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)也是很方便的例 7 求函數(shù) SK

28、IPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解 兩邊取對數(shù)，得 SKIPIF 1 0 兩邊對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 例8 求函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)解 根據(jù)反正弦函數(shù)的定義，函數(shù) SKIPIF 1 0 可化為 SKIPIF 1 0 兩邊對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 因為當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0，所以 SKIPIF 1 0 于是，得 SKIPIF 1 0 課后要求：證明 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 4、小結(jié)本次課內(nèi)容: (1)

29、顯函數(shù)定義 y=f(x)(2)隱函數(shù)的定義 F(x,y)=0(3)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)特殊題型要先變形用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求解課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號： 第二章04課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.5初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：能熟練計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點和難點： 重點：導(dǎo)數(shù)的基本公式, 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則, 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等的靈活應(yīng)用難點：應(yīng)用復(fù)合函求導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、導(dǎo)數(shù)的基本公式2、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4

30、、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1）（9），2（1），3(1),4(1), 5課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分引入: 前雖然學(xué)習(xí)了基本的求導(dǎo)公式和基方法,但還需要練習(xí)熟悉,靈活應(yīng)用,歸納總結(jié)1 請學(xué)生上黑板寫公式:導(dǎo)數(shù)的基本公式2請學(xué)生上黑板寫公式:函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè) SKIPIF 1 0 是可導(dǎo)函數(shù)， SKIPIF 1 0 是常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè) SKIPIF 1 0 都是可導(dǎo)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)為例1 設(shè) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 .分析:該題要用冪

31、函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),常函數(shù)求導(dǎo)公式,再用求導(dǎo)四則運算公式解 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 例2設(shè) SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 .分析:該題要分析結(jié)構(gòu),它是由 SKIPIF 1 0 復(fù)合而成解 (1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 SKIPIF 1 0 代回還原得 SKIPIF 1 0 在基本掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例3 設(shè) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 例4 設(shè)

32、 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 分析:該題是由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 復(fù)合而成解 4、小結(jié)本次課內(nèi)容1）、導(dǎo)數(shù)的基本公式 共16個2）、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 3）、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號： 第二章05課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2. 高階導(dǎo)數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求高階導(dǎo)數(shù)的方法教學(xué)重點和難點： 重點：高階導(dǎo)數(shù)的概念難點：求高階導(dǎo)數(shù)的方法教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、二階導(dǎo)數(shù)2、 SKIPIF 1 0

33、階導(dǎo)數(shù)3、高階導(dǎo)數(shù)4、例題分析講解5、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1）（3），2（1），4（1），6（1）課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 引入: 有的函數(shù)可以多次求導(dǎo),下面介紹有關(guān)概念,學(xué)習(xí)高階導(dǎo)數(shù).1.二階導(dǎo)數(shù): 一般地，如果函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 仍然可導(dǎo)，則我們把 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 叫作函數(shù) SKIPIF 1 0 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 SKIPIF 1 0 或，即 SKIPIF 1 0 2. SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù): 類似地，函數(shù) SKIPIF 1 0 的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作 SKIPIF 1

34、 0 的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作四階導(dǎo)數(shù),一般地, SKIPIF 1 0 的( SKIPIF 1 0 -l)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)，分別記作 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 3. 高階導(dǎo)數(shù): 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) 例如，若質(zhì)點的運動方程 SKIPIF 1 0 ，則物體的運動速度為 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ，而加速度 SKIPIF 1 0 是速度 SKIPIF 1 0 對時間 SKIPIF 1 0 的變化率，即 SKIPIF 1 0 是速度 SKIPIF 1 0

35、 對時間 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，由上可見，加速度 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的二階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。提問:怎樣求高階導(dǎo)數(shù)呢? 由高階導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù) SKIPIF 1 0 的高階導(dǎo)數(shù)，只需多次連續(xù)地求導(dǎo)數(shù)即可，因此仍可應(yīng)用前面的求導(dǎo)方法進行計算下面通過對例題的分析講解學(xué)會求高階導(dǎo)數(shù)的方法4例題分析講解例1 求函數(shù) SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，c為常數(shù))的二、三、四階導(dǎo)數(shù) 解 對 SKIPIF 1 0 依次求導(dǎo)，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP

36、IF 1 0 例2 設(shè) SKIPIF 1 0 解: SKIPIF 1 0 例3 驗證函數(shù) SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 為常數(shù))滿足關(guān)系式： SKIPIF 1 0 證 因為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 例4 求由方程 SKIPIF 1 0 所確定的隱函數(shù) SKIPIF 1 0 的二階導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 解 方程兩端對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)，并注意到 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的函數(shù)，得 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 式兩端同時對 SKIPIF 1 0 求導(dǎo)，得 SKIPIF 1

37、 0 從解出二階導(dǎo)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 再將代入，得 SKIPIF 1 0 下面介紹幾個初等函數(shù)的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)例5 求 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)解 SKIPIF 1 0 一般地，可得 SKIPIF 1 0 例6 求 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)解 一般地，可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 類似 可求 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)為 SKIPIF 1 0 例7 求 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)解 SKIP

38、IF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 一般地，可得： SKIPIF 1 0 例8 求 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 為任意常數(shù))的 SKIPIF 1 0 階導(dǎo)數(shù)解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 一般地，可得 SKIPIF 1 0 特殊地，當(dāng) SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 為正整數(shù))時，得到 SKIPIF 1 0 注:求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵是尋找規(guī)律 例9 已知物體作直線運動的方程 SKIPIF 1 0 是( SKIPIF 1 0 都是常數(shù)),求物體運動的加速度 解 因為 SKIPIF 1 0 所以，物體運動的加速度 SKIPIF

39、 1 0 例10 已知物體的運動方程為 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 都是常數(shù).求物體運動的加速度解 因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以，物體運動的加速度為 SKIPIF 1 0 5小結(jié):本次課主要講解了高階導(dǎo)數(shù),要求了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求高階導(dǎo)數(shù)的方法.課時教學(xué)計劃表授課日期： 教案編號： 第二章06課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學(xué)課程類型：理論授課形式：講授教學(xué)資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.7 函數(shù)的微分教材和主要參考書高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的與要求：解微分的概念及幾何意義,掌握微分公式及微分運算法則和微分在近似值中的應(yīng)用教學(xué)重點和難點： 重點：微

40、分公式及微分運算法則難點：微分在近似值中的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、微分的定義2、微分的幾何意義3、微分公式與微分運算法則4、微分在近似計算中的應(yīng)用5、小結(jié)本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1），2（3），3，4，6（1），7課后體會： 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分引入: 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，即 SKIPIF 1 0 存在根據(jù)有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系，得 其中 SKIPIF 1 0 是當(dāng) SKIPIF 1 0 時的無窮小將上式兩端同乘以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是當(dāng) SKIPIF 1 0 時比 SKIPI

41、F 1 0 高階的無窮小量從而有近似公式 我們 把 SKIPIF 1 0 稱為 SKIPIF 1 0 的線性主部，并叫作函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的微分1. 微分的定義: 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可導(dǎo)，則 SKIPIF 1 0 叫作函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的微分， 記作 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 此時，也稱函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處可微 例如，函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的微分是 SKIPIF 1 0 函數(shù) S

42、KIPIF 1 0 的微分是 SKIPIF 1 0 很明顯，函數(shù)的微分 SKIPIF 1 0 的值由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 兩個獨立變化的量確定例1 求函數(shù) SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時的增量及微分解 函數(shù)的增量為 SKIPIF 1 0 0.120 601因為函數(shù)在點 SKIPIF 1 0 的微分是 SKIPIF 1 0 所以，將 SKIPIF 1 0 代入上式，得 SKIPIF 1 0 由上例結(jié)果可以看出， SKIPIF 1 0 ,誤差是0.000 601思考:函數(shù) SKIPIF 1 0 的微分? SKIPIF 1 0 ,規(guī)定:自變量的微分 S

43、KIPIF 1 0 于是，函數(shù) SKIPIF 1 0 的微分又可寫成 SKIPIF 1 0 從而有因此,導(dǎo)數(shù)也叫作微商 可以看出，如果已知函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 ，則由 SKIPIF 1 0 可求出它的微分 SKIPIF 1 0 ;反之，如果已知函數(shù) SKIPIF 1 0 的微分 SKIPIF 1 0 ，則由 SKIPIF 1 0 可求得它的導(dǎo)數(shù)因此，可導(dǎo)與可微是等價的我們把求導(dǎo)數(shù)和求微分的方法統(tǒng)稱為微分法 注意 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運算雖然可以互通，但它們的含義不同一般地說，導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，微分反映了自變量微小變化時函數(shù)的改變量2.微分的幾何意義如圖

44、23所示，從圖中可以看出 SKIPIF 1 0 設(shè)過點 SKIPIF 1 0 的切線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相交于點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的斜率 SKIPIF 1 0 所以，函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的微分 SKIPIF 1 0 因此，函數(shù) SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 的微分就是曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )處的切線 SKIPIF 1 0 的縱坐標(biāo)對應(yīng)于 SKIPIF 1 0 的增量 由圖23還可以看出，當(dāng) SKIPIF 1 0 且

45、SKIPIF 1 0 很小時, SKIPIF 1 0 比 SKIPIF 1 0 小得多因此，在點 SKIPIF 1 0 的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段3微分公式與微分運算法則 從函數(shù)微分的定義 SKIPIF 1 0 可以知道，計算函數(shù)的微分，只要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后乘以自變量的微分即可因此，從導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則，就可以直接推出微分的基本公式和運算法則 微分的基本公式函數(shù)和、差、積、商的微分法則其中 SKIPIF 1 0 都是x的函數(shù)， SKIPIF 1 0 為常數(shù)下面只證乘積的微分法則證 根據(jù)微分的定義，有 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 又因為 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 類似地，可證明其他法則注：上述公式必須記牢，對以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處。復(fù)合函數(shù)的微分法則 與復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下：設(shè) SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) SKIPIF 1 0 的微分為 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，所以，復(fù)合函數(shù) SKIPIF 1 0 的微分公式也可以寫成 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 。由此可見，無論是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分形式 SKIPIF 1 0