江蘇省高中數(shù)學(xué)學(xué)案：1《求函數(shù)的解析式》(蘇教版必修1)

1、第11課時(shí)求函數(shù)的解析式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.掌握求函數(shù)解析式的基本方法；.培養(yǎng)抽象概括能力和分析解決問題的能力.【課前導(dǎo)學(xué)】.函數(shù)表示的方法有哪三種方法？最常用的方法是什么?答：函數(shù)表示方法有解析式法.列表法.圖象法三種.解析式法是最常用的表示方法.二次函數(shù)的形式有幾種？解：(1)一般式：fxax2bxca,b,cR,a0；(2)交點(diǎn)式：fxaxX1xX2,其中，k,X2分別是fx的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；.2(3)頂點(diǎn)式：fxaxx1y，其中x1，y1是拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；.已知函數(shù)類型，求函數(shù)解析式，常用什么方法？答案：待定系數(shù)法.例如，求二次函數(shù)解析式的基本步驟是：(1)設(shè)出函數(shù)的一般式(

2、或頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式)；(2)代入已知條件，列方程(組)；(3)通過解方程(組)確定未知系數(shù)；.分別求滿足下列條件的二次函數(shù)f(x)的解析式：(1)圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)10;(2)圖象的頂點(diǎn)是(1,2),且經(jīng)過原點(diǎn).2_一答案：(1)f(x)x7x10；2一(2)f(x)2x4x.【課堂活動】一.建構(gòu)數(shù)學(xué)：根據(jù)題設(shè)的條件選擇相應(yīng)的方法求函數(shù)解析式.【據(jù)條件定方法】二.應(yīng)用數(shù)學(xué)：1,求f(x)的解析式.例1已知f(x)是一次函數(shù)，且ff(x)=4x解：設(shè) f(x)=kx+b 則k(kx+b)+b=4x 1則k24(k1)bf(x) 2xf(x)2x【解后反思】已知函

3、數(shù)類型求函數(shù)的解析式時(shí)常用待定系數(shù)法.例2設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(2x)且f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,圖象過點(diǎn)(0,3),求f(x)的解析式.解：設(shè) f (x) ax2 bx c(a又f(x)滿足 f (x 2) f (222，得對稱軸x=2且x1x22即2 且 與 6 10,2a a a0)J.圖象過點(diǎn)(0,3),.有 f(0)=c=3,故 c=3;x)且f (x) =0的兩實(shí)根平方和為10,2(xx2)2x1x2=10,2 .a=1, b=-4, f(x) x2 4x 3.例3若f(%及1)x2+反,求忖解法一(換元法)：令t=Jx1則x=t21,t1代入原式有-2_2f

4、(t)(t1)2(t1)t1,2f(x)x1(x1).解法二(配湊法)：x2jx(Jx1)21,-f(Jx1)(Jx1)21由Vx11,f(x)x21(x1).【解后反思】1.已知f(g(x)表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式常用換元法.配湊法;2.用換元法時(shí)要注意新元范圍.例4已知f(x)滿足2f(x)f(1)3x，求f(x).x TOC o 1-5 h z 解：已知2f(x)f(-)3xx將中x換成1得2f(1)f(x)-xxx0)31X2-彳3f(x)6x1-f(x)2x.(xxx【解后反思】當(dāng)作用對象互為相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)時(shí)，常用方程組法求函數(shù)的解析式.例5已知f(x)=x21,g(x)=J

5、x1求fg(x)解：fg(x)=(&1)21=x+2x.【解后反思】求復(fù)合函數(shù)解析式，注意整體思想的應(yīng)用.例6一直角三角形ABCAC=3,BC=4,動點(diǎn)P從直角頂點(diǎn)C出發(fā)沿CB.BAAC運(yùn)動回到C,設(shè)路程PC=x,寫出線段AP的長度與x的函數(shù)式F(x). TOC o 1-5 h z 、x290 x4解：y9x4x9x99x12【解后反思】注意分類討論思想的應(yīng)用三.理解數(shù)學(xué)2,1已知:f(x)=xx+3,求f(x+1),f(一).x解：f(1)=(1)21+3;f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3.xxx,1x,2.若f(-)求f(x).x1x111斛：令t一則x-(t0)則f

6、(t)t-xt1t11一t.f(x)=(x0且x1)x13.函數(shù)f (x)在閉區(qū)間1,2上的圖象如下圖所示，則求此函數(shù)的解析式.【解】由圖象可知，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x1;1當(dāng)0 x2時(shí)，f(x)1x,2x1,1x0,所以f(x)1ccx,0 x2.2【課后提升】1.已知a,b為常數(shù)，若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10 x+24,貝U5ab=答案：5或1.2，、fg(x), gf(x), gg(x).已知函數(shù)f(x)=4x+3,g(x)=x，求ff(x)gg(x)=g(x) 2=(x2)2=x4 .解：ff(x)=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15;fg(x)

7、=4g(x)+3=4x2+3;gf(x)=f(x)2=(4x+3)2=16x2+24x+9;.根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：(1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0,f(x1)f(x)x1,求f(x);1(2)若f(x)滿足f(x)2f(-)ax,求f(x).x解：(1)本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解.22設(shè)f(x)=axbxc(a0),由于f(0)0得，f(x)axbx,又由f(x 1)2一一2f(x)x1,a(x1)b(x1)axbxx1,即 ax2 (2 a b)x a b2ax (b 1)x 1 .2a b b 1 HYPERLINK l bookmark41 o Curr

8、ent Document 11 c 1a 0a b -,因此：f (x) = x x.222a b 1(2)由于f(x)為抽象函數(shù)，可以用消參法求解.e 1 八 一,111用一代 x 可得：f (-) 2f (x) a-,xxx一1與 f (x) 2 f ( ) axx聯(lián)列方程組可消去 f (-)#： f (x) = 2a 空.x3x 3【點(diǎn)評】求函數(shù)解析式(1)若已知函數(shù)f (x)的類型，常采用待定系數(shù)法;(2)若已知fg(x)表達(dá)式,常采用換元法或采用湊合法；(3)若為抽象函數(shù)，常采用代換后解方程組法4.某人開汽車以60km/h的速度從A地到150km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后，再以50

9、km/h的速度返回A地，把汽車離開 A地的路程x km表示為時(shí)間t h(從A地出發(fā)是開始)的函數(shù)，再把車速v km/h表示為時(shí)間t h的函數(shù).，150解：從A地到B地所需時(shí)間為 2.5(h),60從B地到A地所需時(shí)間為150503(h),所以，當(dāng)0t2.5時(shí)，x60t;當(dāng)2.5t3.5時(shí)，x150;當(dāng)3.5t6.5時(shí)，x15050(t3.5)50t325;60t,所以，x 150, 50t0t2.5,2.5t3.5,v60, 0 t 2.5,0, 2.5 t 3.5,50, 3.5 t 6.5.5.設(shè)f(x)是R上的函數(shù)，且滿足 f(0)1,并且對任意的實(shí)數(shù) x, y都有325,3.5t6.5.f(xy)f(x)y(2xy1),求f(x)的表達(dá)式.解法一：由f(0)1,f(xy)f(x)y(2xy1),設(shè)xy,得f(0)f(x)x(2xx1),所以f(x)=x2x1.解法二：令x0,得f(0y)f(0)y(y1),即f(y)1y(y1),又將y用x代換到上式中得f(x)=x2x1.【