人教版導與練總復習數(shù)學一輪教學課時作業(yè)：第一章第4節(jié)　基本不等式及其應用

1、第4節(jié)基本不等式及其應用知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)新練利用基本不等式求最值1,2,3,4,610,11,14,15基本不等式的應用5,7,8,912,13,16171.(2021河南天一高二期末聯(lián)考)當x1時,f(x)=xx2+4的最大值為(A)A.14 B.12 C.1 D.2解析:因為x1,故f(x)=xx2+4=1x+4x12x4x=14,當且僅當x=4x,即x=2時取等號,故f(x)=xx2+4的最大值為14.故選A.2.(2021重慶高三調研)已知x2,y1,(x-2)(y-1)=4,則x+y的最小值是(C)A.1B.4C.7D.3+17解析:因為x2,y1,(x-2)(

2、y-1)=4,所以x+y=(x-2)+(y-1)+32(x-2)(y-1)+3=7,當且僅當x=4,y=3時等號成立.故選C.3.(2021全國乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是(C)A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+4|sinx|C.y=2x+22-xD.y=ln x+4lnx解析:y=x2+2x+4=(x+1)2+33,所以函數(shù)的最小值為3,故選項A錯誤;因為0|sin x|1,所以y=|sin x|+4|sinx|2|sinx|4|sinx|=4,當且僅當|sin x|=4|sinx|,即|sin x|=2時取等號,因為04,故選項B錯誤;因為2x0,所以y=2x+22-x=2x

3、+42x22x42x=4,當且僅當2x=2,即x=1時取等號,所以函數(shù)的最小值為4,故選項C正確;對于D,y=ln x+4lnx,函數(shù)的定義域為(0,1)(1,+),而ln xR且ln x0,如當ln x=-1時,y=-5,故選項D錯誤.故選C.4.(2021江蘇無錫模擬)設實數(shù)x滿足x0,則函數(shù)y=2+3x+4x+1的最小值為(A)A.43-1B.43+2C.42+1D.6解析:因為x0,所以x+11,所以y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-123(x+1)4x+1-1=43-1,當且僅當3(x+1)=4x+1,即x=233-10時,等號成立,所以

4、函數(shù)y=2+3x+4x+1的最小值為43-1.故選A.5.(2021湖南高三模擬)由于近年來,冬季氣候干燥,冷空氣頻繁襲來.為提高公民的取暖水平,某社區(qū)決定建立一個取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費與供熱站到社區(qū)的距離成反比,每月供熱費與供熱站到社區(qū)的距離成正比,如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站,這兩項費用分別為5千元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,供熱站應建在離社區(qū)多遠處(A)A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米解析:設供熱站應建在離社區(qū)x千米處,則自然消費y1=k1x,供熱費y2=k2x,由題意得,當x=20時,y1=0.5,y2=8,所以k1=xy1=10,k2=y2x=25

5、,所以y1=10 x,y2=25x.所以兩項費用之和為y1+y2=10 x+2x5210 x2x5=4,當且僅當10 x=2x5,即x=5時,等號成立,所以要使這兩項費用之和最小,供熱站應建在離社區(qū)5千米處.故選A.6.已知a0,b0,且2a+3b=ab,則ab的最小值是.解析:因為ab=2a+3b22a3b,所以ab26,當且僅當2a=3b時,取等號.答案:267.若兩個正實數(shù)x,y滿足4x+y=xy且存在這樣的x,y使不等式x+y4m2+3m有解,則實數(shù)m的取值范圍是.解析:由4x+y=xy1x+4y=1知(x+y4)( 1x+4y) =1+4xy+y4x+12+24xyy4x=4,當且僅

6、當x=2,y=8時,等號成立,則使不等式x+y44即可,解得m(-,-4)(1,+).答案:(-,-4)(1,+)8.已知m0,xy0,當x+y=2時,不等式2x+my4恒成立,則m的取值范圍是.解析:因為m0,xy0,x+y=2,所以2x+my=12(x+y)(2x+my)=12(mxy+2yx+m+2)12(22m+m+2),因為不等式2x+my4恒成立,所以12(22m+m+2)4.整理得(m+32)(m-2)0,解得m2,即m2.答案:2,+)9.證明下列各題:已知a,b,c為正數(shù).(1)若abc=1,求證:a+b+c1a2+1b2+1c2;(2)若a+b+c=9,求證:1a+1b+1

7、c1.證明:(1)由條件abc=1得1a2+1b22ab=2c,當且僅當a=b時等號成立,1b2+1c22bc=2a,當且僅當b=c時等號成立,1c2+1a22ca=2b,當且僅當c=a時等號成立,以上三個不等式相加可得2(1a2+1b2+1c2)2(a+b+c),當且僅當a=b=c時等號成立,因此a+b+c1a2+1b2+1c2.(2)(a+b+c)(1a+1b+1c)=3+(ab+ba)+(cb+bc)+(ac+ca),因為a,b,c為正數(shù),所以(a+b+c)(1a+1b+1c)3+2abba+2cbbc+2acca=3+2+2+2=9,當且僅當a=b=c=3時取等號,所以1a+1b+1c

8、1.10.(2021浙江嵊州高考模擬)已知x0,y0,且x+y=xy-1,則(D)A.xy的最大值為3+22B.xy的最大值為6C.2x+y的最小值為3+32D.2x+y的最小值為7解析:x0,y0,且x+y=xy-12xy,當且僅當x=y時取等號,解得xy1+2或xy1-2(舍去),故xy3+22,即xy的最小值為3+22,沒有最大值,A錯誤,B錯誤;因為x+y=xy-1,所以x=y+1y-10,故y1,2x+y=2y+2y-1+y=2+4y-1+y=4y-1+y-1+324y-1(y-1)+3=7,當且僅當y-1=4y-1,即y=3,x=2時取等號,所以2x+y的最小值為7,C錯誤,D正確

9、.故選D.11.(2021山西運城模擬)若a,b,c均為正實數(shù),則ab+bca2+2b2+c2的最大值為(A)A.12 B.14 C.22 D.32解析:ab+bca2+2b2+c2=ab+bc(a2+b2)+(c2+b2).由a2+b22ab,b2+c22bc可知(a2+b2)+(b2+c2)2(ab+bc).因此ab+bc(a2+b2)+(c2+b2)ab+bc2(ab+bc)=12(當且僅當a=b=c時取等號).故選A.12.(多選題)對于正數(shù)a,b,且a+b=4,若abmb+3a+4恒成立,則m可以為(BCD)A.3 B.52 C.2 D.1解析:因為對于正數(shù)a,b,滿足a+b=4,所

10、以abmb+3a+4恒成立化為,mb+3a+4ab=b+3a+a+bab=2a+4b恒成立,又因為2a+4b=14(2a+4b)(a+b)=14(6+2ba+4ab)14(6+22ba4ab)=32+2,當a=42-4,b=8-42 時等號成立,所以m32+2,選項BCD都符合題意.故選BCD.13.(多選題)(2021福建南平模擬)已知a0,b0,a2+b2-ab=2,則下列不等式恒成立的是(BC)A.1a+1b 2 B.ab2C.a+b22 D.a2+b24解析:對于A,B,由a0,b0,利用基本不等式a2+b22ab,可得ab+22ab,解得ab2.又1a+1b2ab(當且僅當a=b=2

11、時,等號成立),而ab2,所以2ab2,所以1a+1b2,故B正確,A錯誤;由a0,b0,利用基本不等式ab(a+b)24,變形a2+b2-ab=2,得(a+b)2-2=3ab3(a+b)24(當且僅當a=b=2時,等號成立),解得(a+b)28,即a+b22,故C正確;由a0,b0,利用基本不等式aba2+b22,化簡a2+b2-ab=2,得a2+b2-2=aba2+b22(當且僅當a=b=2時,等號成立),解得a2+b24,故D錯誤.故選BC.14.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=3,則S=x2y2-4xy的最大值為.解析:x2+y2-xy=32|xy|-xy,當xy0時,2xy-xy

12、=xy3,當xy0)萬元,且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼?1+0.25x)倍.現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的x萬元全部投資網(wǎng)店,進行農產(chǎn)品銷售,則每萬元創(chuàng)造的利潤為0.15(a-0.875x)萬元,其中a0.(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤,求x的取值范圍;(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤,求a的最大值.解:(1)由題意,得0.15(1+0.25x)(10-x)0.1510,整理得x2-6x0,解得0 x6,又x0,故0 x6.(2)由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為0.15(a-0.875x)x萬元,技術指導后,養(yǎng)羊的利潤為0.15(1+0.25x)(10-x)萬元,則0.15

13、(a-0.875x)x0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立,又0 x10,所以a5x8+10 x+1.5恒成立,又5x8+10 x5,當且僅當x=4時等號成立,所以0a6.5,即a的最大值為6.5.17.汽車智能輔助駕駛已開始得到應用,其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離(并集合車速轉化為所需時間),當此距離等于報警距離時就開始報警提醒,等于危險距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段,分別為準備時間t0,人的反應時間t1,系統(tǒng)反應時間t2,制動時間t3,相應的距離分別為d0,d1,d2,d3,如圖所示.當車速為v(單位:m/s),且v(0,33.3時,通過大數(shù)據(jù)

14、統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化,k1,2).階段0.準備1.人的反應2.系統(tǒng)反應3.制動時間t0t1=0.8 st2=0.2 st3距離d0=10 md1d2d3=v220k m(1)請寫出報警距離d(單位:m)與車速v(單位:m/s)之間的函數(shù)關系式d(v);(2)當k=2時,求在汽車達到報警距離時,若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施,仍以此速度行駛的情況下汽車撞上固定障礙物的最短時間;(3)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛,報警距離均小于50 m,則汽車的行駛速度應限制在多少米/秒?解:(1)由題意得d(v)=d0+d1+d2+d3,所以d(v)=10+0.8v+0.2v+v220k=10+v+v220k.(2)當k=2時