數(shù)字信號(hào)處理課程總結(jié)(共15頁(yè))

1、第 PAGE 15 頁(yè)課程(kchng)總結(jié)時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)(xnho)的分析所謂隨機(jī)信號(hào)是指信號(hào)隨時(shí)間的變化沒有明確的變化規(guī)律，在任何時(shí)間的信號(hào)大小不能預(yù)測(cè)(yc)，不可能用一明確的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行描述。但這類信號(hào)存在著一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，它可以用概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行描述。實(shí)際中的隨機(jī)信號(hào)常有四種形式：（1）連續(xù)隨機(jī)信號(hào)，是時(shí)間變量和幅度均取連續(xù)值的隨機(jī)信號(hào)。（2）時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)，簡(jiǎn)稱隨機(jī)序列，是時(shí)間變量取離散值，而幅度取連續(xù)值的隨機(jī)信號(hào)。（3）幅度離散隨機(jī)信號(hào)，是幅度取離散值，而時(shí)間變量取連續(xù)值得隨機(jī)信號(hào)。（4）離散隨機(jī)序列也簡(jiǎn)稱隨機(jī)數(shù)字信號(hào)，幅度和時(shí)間變量均取離散值的

2、信號(hào)。對(duì)一個(gè)隨機(jī)序列進(jìn)行描述，通常是通過計(jì)算較容易得到的數(shù)字特征，如數(shù)學(xué)期望，方差和相關(guān)函數(shù)等。隨機(jī)序列的數(shù)學(xué)期望定義為： (1-1) 隨機(jī)序列的均方值定義為： (1-2)隨機(jī)序列的方差定義為： (1-3)隨機(jī)序列本身或者不同隨機(jī)序列之間，存在著關(guān)聯(lián)性，用自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行描述。自相關(guān)函數(shù)定義為：(1-4)自協(xié)方差函數(shù)(hnsh)定義為： (1-5)不同的隨機(jī)序列之間，使用(shyng)互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)描述?；ハ?h xing)關(guān)函數(shù)的定義為： (1-6)互協(xié)方差函數(shù)定義為： (1-7)隨機(jī)序列又可分為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列和寬平穩(wěn)隨機(jī)序列。嚴(yán)平穩(wěn)：N維概率密度函數(shù)與時(shí)間n的起始位置無關(guān)。

3、寬平穩(wěn)： 其均值和均方差卻不隨時(shí)間而改變，其相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)。（將這種隨機(jī)序列稱為平穩(wěn)隨機(jī)序列）在研究與分析問題中經(jīng)常會(huì)遇到的幾種隨機(jī)序列有正態(tài)(高斯)隨機(jī)序列、白噪聲序列和諧波過程。隨機(jī)序列的數(shù)字特征的估計(jì)采用估計(jì)準(zhǔn)則來判定，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)有三種即偏移性、估計(jì)量的方差和一致性。一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)如果輸入是平穩(wěn)隨機(jī)序列，則輸出也是平穩(wěn)隨機(jī)序列。對(duì)一個(gè)隨機(jī)序列進(jìn)行研究，主要采用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)。但也可以用時(shí)間序列信號(hào)模型法。時(shí)間序列模型分為三種：1）滑動(dòng)平均模型（MA） (1-8)2）自回歸模型（RA）(1-9)3）自回歸(hugu)滑動(dòng)平均(pngjn)模型（ARMA） (1-10

4、)自相關(guān)函數(shù)、功率譜與時(shí)間序列信號(hào)模型是對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)序列的三種不同方式的描述，它們(t men)從不同方面說明了信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。維納濾波和卡爾曼濾波維納濾波與卡爾曼濾波是用來解決從噪聲中提取信號(hào)的過濾或預(yù)測(cè)問題，并以估計(jì)的結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。維納濾波時(shí)域求解的方法設(shè)計(jì)維納濾波器實(shí)際就是選擇h（n），使其輸出信號(hào)y（n）與期望信號(hào)d（n）誤差的均方值最小，即維納濾波器是一個(gè)均方誤差最小準(zhǔn)則下的最佳濾波器。濾波器的輸出為與y(n)，(2-1)設(shè)期望信號(hào)為d（n），誤差信號(hào)e（n）及其均方值分別為 (2-2)要使均方差為最小，必須滿足 (2-3)均方誤差達(dá)到最小值的充要條

5、件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，即正交原理。這是一個(gè)判斷(pndun)線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)的數(shù)學(xué)方法。 (2-4)輸出信號(hào)(xnho)與誤差信號(hào)的互相關(guān)函數(shù) (2-5)假定(jidng)濾波器工作與最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號(hào)的誤差為，則 (2-6)對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解，因?yàn)檩斎胄盘?hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列，將因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最佳解得一般表達(dá)式為： (2-7)非相關(guān)因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為： (2-8)因果(yngu)維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為 (2

6、-9)因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法(fngf)步驟： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率(gngl)譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。具體方法為Sxx(z)=2B(z)B(z-1)，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給B(z)，單位圓外的零極點(diǎn)分配給B(z-1)，系數(shù)分配給2。(2)求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得 。(3) 積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算Hopt(z), E|e(n)|2min。 維納濾波還可以運(yùn)用維納-霍夫方程在已知期望信號(hào)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，通過矩陣求逆運(yùn)算，

7、得到維納濾波器的最佳解，還可以運(yùn)用維納濾波進(jìn)行預(yù)測(cè)，在預(yù)測(cè)的過程中，期望的輸出信號(hào)與實(shí)際的輸出信號(hào)之間有誤差，利用維納濾波最佳解得到互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，在進(jìn)一步計(jì)算得到預(yù)測(cè)誤差均方值最小，就可以達(dá)到預(yù)測(cè)的目的?？柭臓顟B(tài)方程和量測(cè)方程為： （2-10）卡爾曼濾波是采用遞推的算法，即先不考慮輸入信號(hào)和觀測(cè)噪聲的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào)的估計(jì)值，在用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值，使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小。因此，卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最佳值。不考慮觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為： (2-11)為提高狀態(tài)估計(jì)(gj)的質(zhì)量，用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差來

8、校正(jiozhng)狀態(tài)變量 (2-12)為增益矩陣(j zhn)，實(shí)質(zhì)是一加權(quán)矩陣。 (2-13)卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到Pk與Hk的關(guān)系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值?？柭f推公式： (2-14)卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波的，但維納濾波是在信號(hào)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進(jìn)行濾波。自適應(yīng)數(shù)字濾波自適應(yīng)數(shù)字濾波器和維納濾波器一樣，都是符合某種準(zhǔn)則的最佳濾波器。維納濾波器的參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的最佳濾波，但要設(shè)計(jì)這種濾波器，必須要求輸入信號(hào)是平穩(wěn)的，且具有信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的先驗(yàn)知識(shí)。在實(shí)際中， 常常

9、無法知道這些先驗(yàn)知識(shí)，且統(tǒng)計(jì)特性還會(huì)變化，因此實(shí)現(xiàn)最佳濾波是困難的。自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)是：濾波器的參數(shù)可以自動(dòng)地按照某種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，尤其(yuq)當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來滿足最佳濾波的需要。圖 STYLEREF 1 s 3 SEQ 圖 * ARABIC s 1 1 自適應(yīng)(shyng)濾波器原理圖自適應(yīng)濾波器的矩陣(j zhn)表示為： （3-1）誤差信號(hào)表示為： （3-2）誤差信號(hào)被用來作為權(quán)系數(shù)的控制信號(hào)，采用均方誤差最小的準(zhǔn)則，求最佳權(quán)系數(shù)。 （3-3） （3-4） （3-5）為與的互相關(guān)矩陣，是一個(gè)(y

10、 )維列矩陣(j zhn)；是輸入(shr)信號(hào)的自相關(guān)矩陣，特點(diǎn)如下：1）是對(duì)稱矩陣，即；2）是正定或者半正定的，因?yàn)閷?duì)于任意矢量滿足： （3-6）自相關(guān)矩陣的主對(duì)角線是輸入信號(hào)的均方值，交叉項(xiàng)是輸入信號(hào)的自相關(guān)值。在自適應(yīng)信號(hào)處理中是一個(gè)重要的函數(shù)，稱它為性能函數(shù)。為選擇權(quán)系數(shù)，使性能函數(shù)到達(dá)它的最小點(diǎn)，自適應(yīng)方法都是基于梯度法的。 （3-7）當(dāng)時(shí)，得到最小均方誤差， （3-8）利用最陡下降法求最佳全系數(shù)最陡下降法權(quán)的改變表示式： (3-9）是調(diào)整步長(zhǎng)的常數(shù)，控制著系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自適應(yīng)的收斂速度。一個(gè)權(quán)矢量等于現(xiàn)在的權(quán)矢量加一個(gè)正比于負(fù)梯度的變化量，因?yàn)樘荻鹊姆较蚴切阅芎瘮?shù)增加最快的方向，

11、負(fù)梯度方向是性能函數(shù)減小最快的方向。權(quán)系數(shù)的遞推公式： (3-10)最陡下降法的收斂條件：當(dāng)滿足上式時(shí)，才能得到。最小均方（LMS）算法LMS(Least Mean Square)算法的梯度估計(jì)公式： (3-11)LMS算法加權(quán)矢量的平均值的變化規(guī)律與最陡下降(xijing)法的加權(quán)矢量一樣，均方誤差(wch)也按照(nzho)最陡下降的均方誤差變化規(guī)律變化。由于權(quán)矢量變化過程是隨機(jī)的，使得均方誤差大于最小均方誤差，為此將引入失調(diào)系數(shù)。失調(diào)系數(shù)定義為： (3-12)也可以表示為：，是濾波器的階數(shù)，是輸入信號(hào)功率。和輸入功率加大都會(huì)增加失調(diào)系數(shù)。在保證收斂的情況下加大，會(huì)提高收斂速度，也說明為了

12、減小失調(diào)系數(shù)，應(yīng)該適當(dāng)選擇收斂速度，以保證收斂速度和失調(diào)系數(shù)都滿足要求。 HYPERLINK /s?q=LMS算法&ie=utf-8&src=wenda_link LMS算法的主要優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、易于實(shí)現(xiàn)；其主要缺點(diǎn)是收斂速度較慢，另外，在具體實(shí)現(xiàn)權(quán)系數(shù)調(diào)整時(shí)，要求很高的運(yùn)算精度，增加了成本，降低了運(yùn)算速度。自適應(yīng)格型濾波器收斂速度快，節(jié)數(shù)容易改變，一個(gè)節(jié)的格型濾波器可以產(chǎn)生相當(dāng)于從1階到階的個(gè)橫向?yàn)V波器的輸出。預(yù)測(cè)誤差格型濾波器三個(gè)重要性質(zhì)：各階后向預(yù)測(cè)誤差相互正交，2）平穩(wěn)隨機(jī)序列可以由自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)表征。3）前向預(yù)測(cè)誤差濾波器是最小相位濾波器，其全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。最小二

13、乘自適應(yīng)濾波器和LMS濾波相比，LS濾波對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的適應(yīng)性要強(qiáng)，這是由于LS濾波總采用新的準(zhǔn)則，在每一個(gè)時(shí)刻對(duì)所有已輸入信號(hào)而言，重新評(píng)估使其誤差的平方和最小。自適應(yīng)濾波技術(shù)在各學(xué)科領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。如自適應(yīng)對(duì)消、陷波、逆濾波、預(yù)測(cè)和信號(hào)分離等。功率(gngl)譜估計(jì)對(duì)于(duy)隨機(jī)信號(hào)的頻域研究(ynji)，由于其傅里葉變換不存在，所以轉(zhuǎn)向研究它的功率譜。信號(hào)的功率譜和其自相關(guān)函數(shù)服從一對(duì)傅里葉變換關(guān)系： (4-1)功率譜的估計(jì)方法分為經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)兩類。經(jīng)典功率譜估計(jì)是建立在傳統(tǒng)的傅里葉變換的基礎(chǔ)上，經(jīng)典譜估計(jì)又可以分為兩種，一種是BT法，另一種是周期圖法。經(jīng)典譜估計(jì)中的B

14、T法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，然后通過傅里葉變換得到功率譜。 (4-2)周期圖法是直接對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT，取模的平方，再除以N得到功率譜。周期圖法定義： (4-3)比較這兩種方法，周期圖法簡(jiǎn)單，不用估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，且可以用FFT進(jìn)行計(jì)算，因此周期圖法得到了廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典功率譜估計(jì)致命的缺點(diǎn)是頻率分辨率低，其原因是傅里葉變換域無限大，而觀測(cè)數(shù)據(jù)只能得到有限個(gè)，觀測(cè)不到的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是0.如果只有N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，而對(duì)于N以外的數(shù)據(jù)，信號(hào)仍有較強(qiáng)的相關(guān)性，這樣估計(jì)出的功率譜會(huì)出現(xiàn)很大的偏差。經(jīng)典估計(jì)有三種改進(jìn)方法：平均周期圖法，窗函數(shù)(hnsh)法和修正周期圖平均法。平均周期圖法(t f)是對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量

15、進(jìn)行觀察，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個(gè)均值加起來求平均.這樣得到的均值，其方差將用一組數(shù)據(jù)得到均值的方差的1/L （4-4）窗函數(shù)(hnsh)法是用一適當(dāng)?shù)墓β首V函數(shù)與周期圖進(jìn)行卷積，來達(dá)到使周期圖平滑的目的。 (4-5)修正的周期圖平均法和平均周期圖法一樣，首先把數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N的信號(hào)x(n)分成L段，每一段數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為M，N=LM。然后把窗函數(shù)w(n)加到每一個(gè)數(shù)據(jù)段上，求出每一段的周期圖，形成修正的周期圖，再對(duì)每一個(gè)修正的周期圖進(jìn)行平均。 (4-6)現(xiàn)代譜估計(jì)可分成三個(gè)步驟（1）選擇合適的信號(hào)模型。 選擇模型的主要考慮是模型能夠表示譜峰、譜谷和滾降的能力。對(duì)于具有尖峰

16、的譜，應(yīng)該選用具有極點(diǎn)的模型，如AR和ARMA模型；對(duì)于具有平坦的譜峰和深谷的信號(hào)，可以選用MA模型；既有極點(diǎn)也有零點(diǎn)的譜應(yīng)選用ARMA模型。此外，選擇模型還需要考慮盡量減少模型階數(shù)。（2）根據(jù)x(n)有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)，或者它的有限個(gè)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，估計(jì)模型的參數(shù)。（3）計(jì)算模型輸出功率譜。 (4-7)AR譜估計(jì)常用(chn yn)方法(fngf)有自相關(guān)(xinggun)法列文森（Levenson）遞推法、伯格法、最大熵譜估計(jì)。自相關(guān)法的出發(fā)點(diǎn)是選擇AR模型的參數(shù)使預(yù)測(cè)誤差功率最小，也是基于解Yule-Walker方程的一種方法。 首先由信號(hào)的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)出其自相關(guān)函數(shù)，再解該方程，得到模型

17、參數(shù)，便可求出信號(hào)的功率譜。 伯格遞推法借助格形預(yù)測(cè)誤差濾波器，求前向、后向預(yù)測(cè)誤差平均功率，選擇k p 使其最小，求出k p以后，再利用列文森遞推公式求出模型系數(shù)和輸入噪聲方差，進(jìn)而可求得功率譜。最大熵譜估計(jì)采用最大熵原則外推自相關(guān)函數(shù)方法估計(jì)信號(hào)功率譜。最大熵外推等價(jià)于已知N+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)，匹配一個(gè)N階AR信號(hào)模型的系數(shù)。求解公式為 (4-8)時(shí)域分析一般將時(shí)域分析方法分為線性和非線性兩種，典型的線性分析方法有：短時(shí)傅里葉變換，小波變換和戈勃變換，非線性分析方法是一種二次時(shí)域表示方法，它表示的是信號(hào)的能量密度分布。短時(shí)傅里葉變換的基本思想是用一個(gè)窗函數(shù)乘時(shí)間信號(hào)，該窗函數(shù)的時(shí)寬足夠窄，使

18、取出的信號(hào)可以被看成是平穩(wěn)的，然后進(jìn)行的傅里葉變換可以反映該時(shí)寬中的頻譜變化規(guī)律，如果讓窗函數(shù)沿時(shí)間軸移動(dòng)，可以得到信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的規(guī)律。短時(shí)傅里葉變換定義有兩種，定義一： (5-1)定義(dngy)二： (5-2)從傅里葉變換和線性濾波(lb)兩個(gè)角度，有兩種不同(b tn)的物理解釋。從傅里葉變換角度解釋是把STFT看作n是參變量，x(m)w(n-m)對(duì)m的傅里葉變換；從線性濾波角度解釋是將短時(shí)傅里葉變換看成x(n)e-jn與w(n)的線性卷積。定義一和定義二從線性濾波角度的物理解釋可以用下圖描述。圖 5 SEQ 圖 * ARABIC s 1 1 定義一的物理解釋 圖 5 SEQ 圖 * ARABIC s 1 2 定義二的物理解釋短時(shí)傅里葉變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)： (5-3)頻移性質(zhì)(xngzh)： (5-4)時(shí)移特性(txng)： (5-5)共軛對(duì)稱性： (5-6)由短時(shí)傅里葉變換恢復(fù)(huf)信號(hào)： (5-7)當(dāng)窗函數(shù)取極端情況，時(shí)， （5-8）此時(shí)，STFT退化為信號(hào)的傅里葉變換，沒有任何時(shí)間分辨率，卻有最好的頻域分辨率。當(dāng)窗函數(shù)取極端情況，時(shí)， （5-9）此時(shí)，STFT退化為信號(hào)，有理想的時(shí)間分辨率，但不提供任何頻率分辨率。STFT的時(shí)間分辨率和頻率分辨率不能同時(shí)任意提高，這種時(shí)域分辨率和頻域分辨率相互制約的性質(zhì)，反映了不確定原理： （5-10）對(duì)于窗函數(shù)，其時(shí)間寬