-第三章第二節(jié)冪級(jí)數(shù)-DAI-PPT課件

1、3.2 冪級(jí)數(shù)(一) 冪級(jí)數(shù)定義(二) 冪級(jí)數(shù)收斂的判別法 重要概念：收斂圓、收斂半徑(三) 收斂?jī)缂?jí)數(shù)的性質(zhì)(一) 冪級(jí)數(shù)定義通項(xiàng)是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。以z0為中心的冪級(jí)數(shù)：其正項(xiàng)級(jí)數(shù)為：以z0為中心的冪級(jí)數(shù)：(二) 冪級(jí)數(shù)收斂的判別法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法(達(dá)朗貝爾判別法)如果則(3.2.2收斂) 引入R, 收斂圓，收斂半徑以Z0為圓心，R為半徑畫(huà)圓周 ， 則有在圓內(nèi) 以Z0為圓心，R為半徑畫(huà)圓周 ， 則在圓外因此，圓 叫收斂圓，R叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)或收斂或發(fā)散。以Z0為圓心，R為半徑畫(huà)圓周 ， 其中R 與冪級(jí)數(shù)的收斂有關(guān)因此，圓 叫收斂圓，R叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，

2、冪級(jí)數(shù)或收斂或發(fā)散。2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法收斂半徑R的另一公式(三) 收斂?jī)缂?jí)數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1：冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂CR1R1Z0根據(jù)上一節(jié)最后的內(nèi)容：對(duì)于上式右邊的級(jí)數(shù)：可以證明其收斂，因?yàn)椋菏諗?，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B (或曲線 l )上絕對(duì)且一致收斂。如果對(duì)于某個(gè)區(qū)域B (或某根曲線 l )所有的點(diǎn)z，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)(3.1.6)的各項(xiàng)的模 而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可得冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂。例一 求冪級(jí)數(shù) 的收斂圓，t 為復(fù)變數(shù)。解：下面舉例說(shuō)明：冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂收斂圓是以t=0為圓心，以1為半徑的圓。因?yàn)樵谑諗繄A內(nèi)部，即即，在收斂圓內(nèi)部，級(jí)數(shù)是收斂的，且收斂于基本公式：例二，求冪級(jí)數(shù)的收斂圓，z為復(fù)變數(shù)。解： 性質(zhì)2：冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)部可以表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分、可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次為了應(yīng)用柯西公式，將(3.2.1)中的z改為柯西公式:取收斂圓內(nèi)的任一內(nèi)點(diǎn)z，用有界函數(shù)遍乘上式為了應(yīng)用柯西公式，將(3.2.1)中的z改為 這就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)(3.2.1)可以表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分。 這就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)(