斷裂力學第三講斷裂力學理論

1、1Shanghai University斷裂力學理論Fracture Mechanics斷裂力學第三講2裂紋尖端附近的應力場和位移計算34(平面應力) (平面應變) 用張量標記可縮寫成型裂紋求解5平面應變 平面應力 平面應力平面應變型裂紋求解6需要注意的是，推導過程中，使用了這個條件，所以。對于稍遠處，應該用 所示的來確定應力分量和位移分量。前面得到的應力場和位移場公式只適用于裂紋尖端附近區(qū)域，即要求型裂紋求解7型裂紋求解 設無限大板含長2a的中心裂紋，無窮遠受剪應力作用8第一步：解II型Westergaard應力函數(shù)求解方法與I型基本相同，主要差別是無窮遠處邊界上受力條件不同。選取應力函數(shù)

2、所以因為型裂紋求解 9得到II型裂紋問題各應力分量表達式為 進而可得到位移分量平面應變 型裂紋求解 10第二步：選II型裂紋的 邊界條件： ， 在 處在處選取 能夠滿足全部邊界條件。型裂紋求解 11在裂紋表面 處 虛數(shù) 只有實部且為一常數(shù) 滿足平板周圍的邊界條件 滿足裂紋表面處的邊界條件 型裂紋求解 12將坐標原點移到右裂尖，采用新坐標 當 趨于常數(shù),設: ， 右裂尖附近, 在很小范圍內(nèi)時 用解析函數(shù)求解II型裂紋尖端應力強度因子的定義式 型裂紋求解 13第三步：用 求II型裂尖附近的應力場和位移場 應力強度因子是在裂尖時 存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，則有：若以極坐標表示復變量 則

3、可得到型裂紋求解 14平面應變 平面應力 把上面兩式代入前面應力表達式中，應力和位移場得表達式型裂紋求解 15對于I型和II型裂紋來說，是屬于平面問題。但對于III型裂紋，由于裂紋面是沿z方向錯開，因此平行于xy平面的位移為零，只有z方向的位移不等于零 型裂紋求解對于此類反平面問題，前面給出的平面問題的基本方程已不適用，因此不能沿用Airy應力函數(shù)求解，需要從彈性力學的一般（空間）問題出發(fā)，推導公式。彈性力學一般問題的基本方程，可以仿照平面問題的方法導出 16反平面(縱向剪切)問題, 其位移 根據(jù)幾何方程和物理方程:型裂紋求解問題描述:無限大板,中心裂紋(穿透) ,無限遠處受與 方向平行的 作

4、用.17單元體的平衡方程:位移函數(shù)滿足Laplace方程,所以為調(diào)和函數(shù). 解析函數(shù)性質(zhì):任意解析函數(shù)的實部和虛部都是解析的.邊界條件:型裂紋求解非零應力分量18選取函數(shù) 滿足邊界條件 型裂紋求解在裂紋表面 處， 只有實部而無虛部，有 滿足裂紋表面處的邊界條件 當或，都有，即由非零應力分量公式知，滿足平板周圍的邊界條件。 19取新坐標 型裂紋求解同樣，為計算方便，將坐標原點從裂紋的中心移到裂紋的右尖端 當 趨于常數(shù),設: ， 右裂尖附近, 在很小范圍內(nèi)時 用解析函數(shù)求解III型裂紋尖端應力強度因子的定義式 20 應力強度因子是在裂尖時 存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，則有：若以極坐標表

5、示復變量 則可得到這就是III型裂紋問題在裂紋尖端附近的應力場表達式 型裂紋求解21則可得到這就是III型裂紋問題在裂紋尖端附近的位移場表達式 型裂紋求解22應力強度因子注意：以上三種類型求解方法，僅適用于含貫穿裂紋的無限大板在載荷或位移對裂紋中點的坐標軸對稱或反對稱的情況。23值得指出的是，上述三種裂紋問題的應力場表達式，雖然是根據(jù)無限大半具有中心穿透裂紋且在均勻外加應力作用下獲得的。進一步的分析表明，這些解具有普遍的意義，也就是說，對于其他有限尺寸板的穿透裂紋（包括中心裂紋和邊裂紋），在非均勻受力條件下，裂紋尖端附近的應力場（更確切地說是應力場的奇異項）表達式也是相同的，其不同之處僅僅是應

6、力強度因子的不同，因此，對于特定的含裂紋結構只需要確定相應的應力強度因子就可以了。24通過前面的推導，各種類型裂尖應力和位移場可表示為若上標寫成II、III，代表II型或III型裂紋。裂紋尖端應力場是漸進解，僅僅適合于裂紋尖端附近25線彈性裂尖場特點三種變形情況下裂紋尖端應力場和應變場都具有奇異性，即在裂紋尖端處，應力和應變?yōu)闊o窮大，這種不真實的性質(zhì)是由于所采用的本構關系所決定的，即認為材料能承受無限大的應力，且應變與應力呈線性關系。另外，在上述的分析中，裂紋假設成理想的尖裂紋，即裂紋尖端曲率為無窮大。實際上，裂紋尖端不可避免地會出現(xiàn)塑性區(qū)，并且裂紋尖端地曲率是有限的，但是在塑性區(qū)很小的情況下

7、，在圍繞裂尖的一個環(huán)狀區(qū)域內(nèi)K場是適用的。K場內(nèi)的位移與 成線性比例關系。26線彈性裂尖場特點三種情況下的K場有相似的形式，分別由應力強度因子決定著其場的強度。SIF取決于外加載荷，而且與構件幾何、裂紋尺寸有關，但是與( )坐標無關。在K場范圍內(nèi)，應力和應變均正比于SIF，所以SIF是裂紋尖端附近應力、應變場強度的表征，是描述裂尖場強度的參數(shù)。裂尖場與角分布函數(shù)成比例。角分布函數(shù)僅與角 有關，而與r無關，對于同一種變形模式，角分布函數(shù)是相同的。所以，無論構件的形狀、尺寸以及裂紋的尺寸如何，裂尖場都是相同的。 27應力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學參量裂尖場應力具有奇異性，只要存在載荷，

8、應力就趨于無窮大。依照傳統(tǒng)強度理論，含裂紋結構必定破壞。即傳統(tǒng)的強度條件判斷準則失去意義。應力強度因子作為判定裂紋尖端應力場強度的物理參量引入。 線彈性斷裂力學的主要任務之一就是確定含裂紋構件的應力強度因子。應力強度因子是有限量，它是代表應力場強度的物理量，用其作為參量建立破壞條件是合適的。 應力強度因子28名義應力，即裂紋位置上按無裂紋計算的應力裂紋尺寸，即裂紋長或深 形狀系數(shù)，與裂紋大小、位置有關應力強度因子一般寫為：應力強度因子單位：-3/2應力強度因子29應力強度因子 鑒于應力強度因子的重要性，在斷裂力學這門科學近半個世紀的快速發(fā)展中，應力強度因子的分析計算一直是一個經(jīng)久不衰的研究課題

9、，這可從這方面的專著（如二十世紀七十年代Sih的專著和近期的專著）和專門的應力強度因子手冊可見一斑。從研究方法上，從解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及數(shù)值方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (邊界元法)。 30脆性斷裂

10、的K準則應力強度因子與應變能釋放率的關系 根據(jù)前面所述的應變能釋放率公式 與應力強度因子 可以發(fā)現(xiàn)它們之間應有一定關系。這關系將進一步揭示應力強度因子的物理意義。 以張開型裂紋為例，由于應變能釋放率代表裂紋擴展單位面積所釋放的應變能。那么逆向思維一下31左圖a所示裂紋原長為a，擴展微小長度 （圖b）后，釋放出的能量可用從圖b狀態(tài)閉合到圖c狀態(tài)所作的功來計算。閉合時作用在裂紋上表面上x位置的應力由圖b中的0值，逐漸增加到圖a中的 利用上節(jié)的裂尖附近應力和位移場，可以計算使裂紋閉合單位面積所作的功，顯然這部分功應該等于裂紋擴展單位面積所釋放的能量。32由I型裂紋的應力表達式， 當 ， 時 由圖b看

11、出，閉合時的位移最初為 其中 ， 注意：圖b與圖a的坐標原點不同。由I型裂紋的位移表達式： 閉合后，位移為0。 閉合過程中，應力在 段所作的功為 33閉合單位面積所作的功裂紋擴展單位面積所釋放的能量=由于：其中， （平面應力）， （平面應變） 可見，應力強度因子與應變能釋放率有對應關系： 不僅表示裂尖附近彈性應力場的強度，也可確定裂紋擴展釋放的能量率，故：對于線彈性斷裂問題， 與 等價34 同理，對于II型和III型裂紋同樣可得到類似關系 需要注意：對于I型和II型裂紋問題可分為平面應力和平面應變問題，而對于三型裂紋問題只是一種反平面問題。脆性斷裂的K準則我們已經(jīng)講了脆性材料裂紋失穩(wěn)擴展的臨界

12、條件為：35可以得到以應力強度因子表示的裂紋失穩(wěn)擴展的臨界條件為：表示裂尖的應力強度因子 達到 時，裂紋失穩(wěn)擴展。 與 都是材料常數(shù)，稱為材料的平面應變斷裂韌度。在線彈性條件下強調(diào)： 與 概念不同， 是表示裂尖應力場強度的一個參量，可用彈性理論方法進行計算，由載荷及裂紋體形狀和尺寸決定， 斷裂韌度，材料具有的一種機械性能，表示材料抵抗脆性斷裂的能力，由試驗測定。脆性斷裂的K準則36注意：對于線彈性斷裂問題，采用G準則和K準則所得的結果是一樣的。但是由于利用彈性理論可直接計算應力強度因子，而且試驗測定 比 測定方便，故工程一般常用K準則。 根據(jù)K準則，可以計算剩余強度（臨界應力）和臨界裂紋長度，

13、進行斷裂安全分析。 例如：對具中心裂紋無限大板，受雙軸拉應力 對于其它結構， 表達式不同?？傻?37 根據(jù)實驗和理論分析，斷裂韌度隨試件厚度增加而下降，如下圖。這是由于：1）薄板的裂尖處于平面應力狀態(tài)，斷裂韌度較高，裂紋不易擴展，用 表示；2）隨板厚增加，裂尖處于平面應變狀態(tài)的部分增加，裂紋較易擴展，斷裂韌度降低，當厚度降至一定值后，斷裂韌度降至最小，稱為平面應變斷裂韌度，用 表示。斷裂韌度與板厚的關系需要注意：金屬在平面應力條件下裂尖產(chǎn)生較大塑性變形，K準則（建立在線彈性斷裂力學基礎上）不適用，而要采用第三章的彈塑性斷裂力學的斷裂準則。但是當裂尖塑性變形區(qū)較小時，通過下一節(jié)的修正后，仍可用K

14、準則。38線彈性斷裂力學在小范圍屈服時的推廣39屈服條件單向拉壓：薄壁圓筒扭轉：在應力空間 在主應力空間謂之屈服條件或屈服面方程單向應力復雜應力c塑性約束系數(shù)有效屈服應力，材料屈服點40特雷斯卡（Tresca）假設最大剪應力是屈服的控制因素 材料屈服，屈服函數(shù)為：在主應力空間是六棱柱，在平面是六邊形 時，41在 平面是六角形 CCC-C-C42 米澤斯 （Mises）假設控制因素是形狀改變比能（歪形能、畸變能） Mises屈服條件為：即：或：即Mises屈服條件或屈服方程。43在主應力空間，屈服面是圓柱 是橢圓方程（屈服曲線） Mises屈服條件44在主應力空間屈服面是圓柱 C可由簡單實驗求出

15、 與六棱柱外接CC-C-C45 C可由簡單實驗求出 如：由Mises屈服條件：單向拉伸屈服時，即：或：46純剪切屈服如由Mises屈服條件：純剪切屈服時，即：47 線彈性裂紋尖端場，其應力場具有 r -1/2 的奇異性， 該奇異性的幅值大小可用應力強度因子來表征。 但從物理學的角度來看，真正奇異的應力是不存在的，也就是說在裂紋尖端附近很小的范圍內(nèi)，K場是不適用的。在裂紋尖端附近的材料必定發(fā)生屈服。在外加載荷作用下裂紋尖端的應力有限有兩種原因。其一是裂尖附近由于應力集中,裂尖的材料會發(fā)生不同程度的塑性變形，其二是裂紋尖端并不是理想的曲率無窮大的形狀，而總是有鈍化的。 Irwin 小范圍屈服理論4

16、8那么線彈性斷裂力學能否繼續(xù)使用呢？如果裂紋尖端的塑性區(qū)（或者說偏離K場的區(qū)域）很?。ㄟ@種情況我們稱為小范圍屈服），從而對裂紋尖端場的總體影響不大。Irwin 通過研究認為在該情況下應力強度因子K 仍有意義，仍然可以認為是K場主導著裂紋的行為。如塑性區(qū)尺寸比裂紋長度小一個數(shù)量級，工程中一般仍用線彈性理論計算應力強度因子，不過要對應力強度因子進行修正。4950小范圍屈服條件 在線彈性情況下，裂紋尖端場完全由應力強度因子K來主導，稱為K主導區(qū)，其尺寸 取決于裂紋和構件的幾何形狀。但如果考慮裂紋尖端的彈塑性性質(zhì)，則在裂紋尖端存在一個塑性區(qū)，其尺寸記為 ，顯然，隨著載荷的增大，越來越多的材料發(fā)生屈服，

17、即 越來越大。 Kr51塑性區(qū)的存在會改變其相鄰區(qū)域的場，使之偏離K場，這一明顯偏離K場，但仍屬于線彈性的區(qū)域?qū)⒘鸭獾乃苄詤^(qū)和K場連接起來，稱為過渡區(qū)。如果這一過渡區(qū)的尺寸與 相當，同樣就不能再將K作為主導參數(shù)，K場即失去了其主導地位。因此，要認為K仍然是裂紋斷裂形為的主導參數(shù)，必須滿足：建議的小范圍屈服條件 52Irwin 小范圍屈服理論53K主導區(qū)大小即 是與載荷沒有明顯關系的，而塑性區(qū)尺寸 是載荷的單調(diào)函數(shù)。隨著外載的增大，塑性區(qū)不斷長大，并使K場失去其主導地位。工程處理上,一般認為，當外加載荷P小于0時可以認為是小范圍屈服,其中是P0裂紋體達到全面屈服時的載荷。對于理想塑性材料，P0即

18、是塑性極限載荷。因此，當 時認為裂紋尖端場仍由 K場所主導，所有外載及幾何信息仍可通過K來反映，它決定著裂尖附近的塑性區(qū)尺寸和塑性變形的大小。54前面已指出，裂紋尖端應力場是漸進解，僅僅適合于裂紋尖端附近： 小范圍屈服是指： 塑性區(qū)形狀的估算： 作下列假定： （1）忽略裂紋尖端材料屈服后對塑性區(qū)外K場的影響； （2）材料為理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服條件。 Irwin 小范圍屈服理論55CRACK TIP PLASTICITYFirst approximation:Better approachesselected shape: better size estimationIrw

19、inDugdaleBetter shape but first order approximation for the sizeIrwin approach: stress redistribution; elastic plastic; plane stress56確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論 在不考慮裂紋尖端塑性影響的情況下，線彈性裂紋尖端的K場分布為：K場的表達式先假設裂紋尖端塑性區(qū)的存在不致改變其周圍的應力場，不引起應力松馳，即沒有過渡區(qū)的存在。則只要將上式代入屈服條件，即可以得到塑性區(qū)的尺寸和形狀。57Von Mises屈服條件 幾種最常用形式為一般形式：平面應力：平面應變：為偏斜

20、應力為主應力屈服應力58根據(jù)材料力學主應力求解公式得到型裂紋的應力公式 平面應力 59Irwin 小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp 為： 對平面應力情況 對平面應變情況 在裂紋延長線上塑性區(qū)尺寸ro為： 對平面應力情況對平面應變情況據(jù)上式畫出 曲線，如下圖中實線所示。這條閉合曲線表示裂尖附近塑性區(qū)的周邊形狀，曲線上各點的相當應力等于屈服極限，內(nèi)部各點超出屈服極限，未考慮應力松弛效應。60Irwin 小范圍屈服理論由圖可見，平面應變的塑性區(qū)遠比平面應力的小，原因是：平面應變狀態(tài)下，沿厚度方向約束所產(chǎn)生的 是拉應力，在三向拉伸應力狀態(tài)下，材料不易屈服而變脆。 61確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論

21、 62說明平面應力與平面應變的塑性區(qū)形狀不同。這樣的形狀容易從其應力狀態(tài)的差異想象出來。 平面應變的塑性區(qū)尺寸（在同樣的 下）小于平面應力的塑性區(qū)尺寸。例如， 平面應變情況下的 僅是平面應力的16%。這是因為在平面應變情況下，裂尖材料承受的是三軸拉伸應力狀態(tài)，而Von Mises屈服條件（以及Tresca條件）認為靜水應力不影響屈服。63確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論 64First Order Aproximations of Plastic Zone Shapes Plastic zone shape from Von Mises yield criterionThrough-thickn

22、ess plastic zone in a plate of intermediate thicknessEmpirical Rules to estimating Plane Stress vs. Plane Strain conditions: y B y 1/10 B65利用Tresca屈服條件 在復雜受力下,當最大切應力等于材料彈性拉伸時的屈服切應力,材料即屈服.比較發(fā)現(xiàn):平面應變塑性區(qū)尺寸小,平面應變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應變的有效屈服應力 比 高 塑性區(qū)中的最大應力 平面應變 平面應力 Tresca屈服條件下的塑性區(qū)尺寸66Irwin 小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp

23、為： 67平面應力平面應變68Plastic zone shapes for sliding mode and tearing modes69It was mentioned that it is extremely difficult to properly describe size and shape of the plastic zone at the same time.Plastic zone appearance on the front surface, back surface and a normal section of a notched silicon iron sp

24、ecimen in plane stress70應力松弛的修正在上面的分析中，我們假設塑性區(qū)不影響其周圍的應力分布。即未考慮塑性區(qū)內(nèi)塑性變形引起的應力松弛，即應力再分布影響。這樣，就相當于將奇異的K場在裂紋前的塑性區(qū)的簡單地用Von Mises屈服應力代替。因此，上面給出的塑性區(qū)尺寸的解顯然無法滿足總體靜力平衡方程。Irwin認為，我們可以將塑性區(qū)尺寸的增大到某一值，使總體的靜力平衡方程得到滿足。71如圖所示，虛線 表示線彈性裂紋尖端場即K場，曲線 表示考慮塑性區(qū)引起應力松馳后的應力分布，其中近似認為 是 段的簡單平衡。在小范圍屈服條件下，認為 下方的面積等于 下方的面積。因此，要使裂紋前方延

25、長線上的應力與外載相平衡，就要求應力松馳后的曲線 與線彈性的K場下面 的面積相等，即： 應力松弛的修正72對于平面應力情況，當 跟據(jù)Mises條件 ，即單向拉伸時的屈服極限。 把 ， 代入上面的積分，得到在考慮應力可見，應力松弛使塑性區(qū)尺寸增加一倍。松馳條件下，平面應力I型裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸應力松弛的修正73同理，對于平面應變情況，當 ， 據(jù)Mises條件 ，把 代入上面的積分，可以得到在考慮應力松馳時，平面應變 I型可見，平面應變狀態(tài)下，若考慮塑性區(qū)應力松弛影響，塑性區(qū)尺寸同樣增加一倍。上述結果，是偏安全的近似解。裂紋的尖端塑性區(qū)尺寸為應力松弛的修正74關于塑性區(qū)的尺寸和形狀，兩點補充說明

26、：分析沒有考慮材料強化,材料強化使裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小,對于設計是偏于安全的.一種非常簡化的分析，實際上裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸和形狀與上面的結果都有所偏差。在平面應力情況下，還有其他的塑性區(qū)形狀，如窄條屈服區(qū)。在三維情況下，例如核電站的壓力容器和管道中的一個穿透裂紋，塑性區(qū)是一個三維的復雜形狀。75考慮應力松弛修正后的K在考慮塑性區(qū)修正后，裂紋前方的應力場變成了的 分布，也就是說在塑性區(qū)以外的應力場相等于向前移動了（ ）的距離。因為 ，所以Irwin建議將裂紋尺寸進行如下的修正:等效裂紋的尖端在屈服區(qū)的中心，它由修正裂尖的K場所包圍。如果在線彈性情況下，K表示為: 等效裂紋尺寸或當量裂紋尺寸

27、 處稱為物理裂紋尖端， 處稱為虛設裂紋尖端 修正后76 稱為等效裂紋長度等效裂紋模型法指以 代替原裂紋長，對應力強度因子進行修正。這說明，塑性區(qū)的存在相當于裂紋長度增加，即裂紋體的柔度增加，因而裂紋的應變能釋放率也增加。在引入小范圍屈服情況下等效裂紋長度的概念后，線彈性斷裂力學中的應力強度因子理論仍然有效。只要將應力強度因子K中的裂紋長度用等效裂紋長度代替即可等效裂紋長度與應力強度因子77等效裂紋長度與應力強度因子應力強度因子 裂紋尖端應力場強弱的標志。 取等效裂紋長度 ，令等效裂尖附近應力場的線彈性理論分布曲線在原裂紋塑性區(qū)邊界C1 即在 處的應力等于 又因為 ，所以有 應力松弛后的應力強度

28、因子。 78平面應力下 ，有代入上式，并近似設 得 平面應變下，按 則 等效裂紋長度與應力強度因子裂紋的計算邊界正好在塑性區(qū)的中心 79另外，若按一般采用的公式 則： 繼而按等效裂紋長度計算等效應力強度因子 ，一般工程應用中，取 ，又因 ，用等效裂長 代替 ，則有：對于平面應力情況，代入相應的 ，得等效裂紋長度與應力強度因子80同理可得平面應變狀態(tài)下應力強度因子 可見兩種狀態(tài)下應力強度因子都擴大。上述結論都是近似的，我們假設了 ，且未考慮等效裂長對形狀因子Y的影響。對于復雜問題要用逐次逼近法求 ，具體步驟見書。等效裂紋長度與應力強度因子81前面我們已經(jīng)有 I 型裂紋應力強度因子 KI 的表達式

29、 其中Y(g，a) 稱為幾何影響因子。引入小范圍屈服情況下的等效裂紋長度， 由于而塑性區(qū)長度 ro又依賴于應力強度因子 KI，所以，考慮小范圍屈服修正后的應力強度因子需要迭代計算。 Irwin的上述理論是在小范圍屈服的條件下建立的，即要求:等效裂紋長度與應力強度因子82如何而來？因為平面應變下，沿板厚在第三向拉應力 ,三向拉伸應力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服應力 比單向拉伸屈服應力要高,而平面應力條件下,有效屈服應力 . 下面進行證明：設 是最大主應力, , ,代入mises準則設塑性約束系數(shù) ,代入上式有83對型裂紋平面應變: 在x軸上, 若取 ,則 ,即對平面應力84把塑性區(qū)中最

30、大應力 叫做有效屈服應力用 表示,表面平面應變在 的平面上,屈服區(qū)內(nèi)最大應力 是 的三倍.實際一般試件表面是處于平面應力,只有中心部分才是平面應變,故平均約束系數(shù) ,實驗測定 ,用環(huán)形切口圓棒試件所做的拉伸試驗,在三向拉伸狀態(tài)下：一般取 ,85復習-線彈性斷裂力學 線彈性材料的斷裂準則-應力強度因子斷裂準則： 條件：塑性區(qū)比K場區(qū)小得多，而K場區(qū)又比裂紋長度小得多86用柔度法確定臨界應變能釋放率 柔度：變形與載荷的比值 總應變能柔度： 應變能釋放率： 臨界應變能釋放率：復習-線彈性斷裂力學87Linear Elastic Crack-tip Fields Mode I:(general case)88Mode III:Mode II:89Angular distributions of crack-tip stresses for the three modes (rectangular: left; polar:right)Details of the applied loading enters only