廣東省百合外國語學(xué)校九年級上冊期末精選試卷檢測題

1、廣東省百合外國語學(xué)校九年級上冊期末精選試卷檢測題一、初三數(shù)學(xué)一元二次方程易錯題壓軸題（難）1.如圖，在平面直角坐標系中，A（-4,0）, 8（0,4）,四邊形43C。為平行四邊形，（4 ）D ,0在X軸上一定點，。為x軸上一動點，且點P從原點O出發(fā)，沿著戈軸正半軸I 34方向以每秒彳個單位長度運動，己知。點運動時間為1.點C坐標為，0點坐標為：（直接寫出結(jié)果，可用，表示）（2）當(dāng)/為何值時，兇。尸為等腰三角形：2點在運動過程中，是否存在7,使得NABD = NOBP，若存在，請求出，的值，若不 存在，請說明理由！【答案】（1）（4, 4） , （5, 0） ； （2） 1, x/10-l, 4

2、；（3）存在，/=3、/尸【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和根據(jù)P點的運動速度，利用路程公式求解即可；（2）分三種情況：當(dāng)8。= 6P時，當(dāng)8O = 0P時，當(dāng)利=6時，分別討論求 解，即可得出結(jié)果；（3）過 D 點作。尸 _L8P 交 BP 于點 F,設(shè) OP = X,則可得 8P =JF+42，OP = g + x,OF = ,利用&即可求出OP的長，利用路程公式可求得/JJJ的值?！驹斀狻拷猓海?）4（T,0）, B（0,4）,四邊形48co為平行四邊形，點C坐標為（4, 4）,4又尸為X軸上一動點，點。從原點。出發(fā)，沿著X軸正半軸方向以每秒M個單位長度運 動，尸點運動時間為（

3、2）, B. D的坐標分別為/、4：5(0,4), D -,0 ,4.OB = 4QD = ,3由勾股定理有：DB !OB2 +OD2卜。+|寸/ 當(dāng)也印為等腰三角形時，如圖所示，當(dāng)80= 8P時，4.夕點坐標為（大，0）, 3/ = 1如圖所示，當(dāng)8。二0尸時,/. z = Vio-1如圖所示，當(dāng)4。=。時,則有：BP- =xz +42 ,。尸=卜 + ；,A A-2 4-42 =|x4-i，解之得：x = I 3J3.1.0點坐標為(3, o),3Z = 4綜上所述，當(dāng)/為1, M-l, 4時，:/*為等腰三角形:(3)答：存在7,使得 NASD = NOBP .證明：.A, B兩點坐標分

4、別為:A(yo), B(0,4),OA = OB,ZABO = 45又；ZABD = Z.OBP ZABD+NOBD = NOBP+NOBD即有：ZABO = ZDBP = 45，如圖示，過D點作DF工BP交BP于點F,DF =郃,設(shè)OP = X,根據(jù)勾股定理有：8P=冏下，4 并且OP = ?+x, 則：S叩;。P8O ；BPDF化簡得：x? +6x 1 = 0 ,解之得：x = 3 +加（取正值），即_3+加4.3一3 + 加 3 加一 9I =-44【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的而積公式，一 元二次方程得解等知識點，在（2）中懂得分類討論，在（

5、3）中能做出垂線，利用而積求 解是解題的關(guān)鍵.2.如圖，在矩形A5CQ中，AB = 6cm, 4O = 8cm,點。從點A出發(fā)沿A0向點。勻 速運動，速度是lcm/s,過點尸作PEAC交OC于點E,同時，點。從點C出發(fā)沿 CB方向,在射線C3上勻速運動，速度是2cs,連接P。、QE,夕。與AC交與點 F，設(shè)運動時間為s）（0v/8）.（1）當(dāng)，為何值時，四邊形PFCE1是平行四邊形；（2）設(shè)PQE的而積為Ko/）,求$與/的函數(shù)關(guān)系式：9（3）是否存在某一時刻t,使得PQE的面積為矩形43co面積的一；32（4）是否存在某一時刻/,使得點E在線段尸。的垂直平分線上. TOC o 1-5 h z

6、 2O【答案】（1），= ：；： （2） S = -r+9r（0r8）； （3）當(dāng)/ = 2s或6s時，PQE 38的面積為矩形ABC。面積的與：（4）當(dāng)/ = 士河二.時,點七在線段尸。的垂直平分 326線上【解析】【分析】（1）由四邊形PFCE是平行四邊形，可得尸尸。及由尸。|QC得四邊形COP。為平行 四邊形，即PD = CQ,列式81 = 2/,計算可解.（2）由尸石AC,得生=”,代入時間L得匕=竺DA DC3解得 OE = 6-二，4C=lz9 7再通過S = S悌形CDPQ -S&PDE - SzEQ構(gòu)建聯(lián)系，可列函數(shù)式S = -廣+9/(0 / = 8-/ 44可得仔“(3+

7、(2/)2=(8-r)2+ 6-t.4【詳解】(1)當(dāng)四邊形PFCE是平行四邊形時，PF/CE,又.叩3，.四邊形COP。為平行四邊形，.PD = CQ,即 8t = Z,8:.t = -3(2) : PE AC,.DP DEDADCNI 8-r DE TOC o 1-5 h z 即=,863* DE = 6 19433ACE = 6-6 + -r = -r,44I （3）3A SgDE =-PD DE = -（8-r） 6-r =-r-6r + 24,L， x 4/01 33）Smeq = - E. - CQ = xtx2t = r ,S 楊杉 cdpo = （。+ PD） CD = （2/

8、 + 8 f ） 6 = 31 + 24，2： S = S 精彩 CDPQ -S&PDE - SMEQ = C+ 9f （0 V / V 8）o9 、 o（3）由題意，一一一+9/ = x8x6832解得6=2, r2 =69所以當(dāng)/ = 25或6s時，XPQE的面積為矩形48CQ面積的一.32（4）當(dāng)點石在線段尸。的垂直平分線上時，EQ = PE, EQ2 = PE2,在 RmCEQ 中,CE2 + CQ2 = EQ2,在心尸沱中，PD2 + DE2 = PE2.CE2 + CQ2 = PD2 + DE2,即+（2/）2 =（8 f）2+（6 7/解得三更二絲，5x/73+25 （舍）626

9、所以當(dāng)/=那二時,點E在線段P。的垂直平分線上. 6【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與幾何圖形的實際應(yīng)用，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解一元二次方 程，需要注意的是在解一元二次方程的實際應(yīng)用中經(jīng)常會涉及到解的驗證，不可忽略.3.已知關(guān)于x的一元二次方程（x-3） （x-4） - m2=0.（1）求證：對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的,實數(shù)根：（2）若方程的一個根是2,求m的值及方程的另一個根.【答案】（1）證明見解析；（2） m的值為J5,方程的另一個根是5.【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，利用根的判別式=b?-4ac證明判斷即可；（2）根據(jù)方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后還原方程

10、求出另一個解即可.【詳解】(I)證明：(x - 3) (x - 4) - nr=O,Ax2 - 7x+12 - 1淄=0,:( -7) 2-4 (12-m2) =l+4m2,V m20,對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根：(2)解方程的一個根是2,.4 - 14+12 - m2=O,解得 m=M，原方程為x27x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為，方程的另一個根是5.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關(guān) 系是關(guān)鍵.當(dāng):b?-4ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二b?-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當(dāng)二b：4acV0時，

11、方程沒有實數(shù)根.4.如圖直線y=H+k交x軸負半軸于點4交y軸正半軸于點8,且48=2(1)求k的值：(2)點P從4出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線48運動，過點P作直線48的垂線交 x軸于點Q,連接OP,設(shè)PQO的面積為S,點P運動時間為t,求S與t的函數(shù)關(guān)系式， 并直接寫出t的取值范圍：(3)在(2)的條件下，當(dāng)P在48的延長線上，若OQ+A8= (BQ- OP),求此時直【答案】(1)k= 6 (2)當(dāng)時，S=-OQPy=- (1- 2t) - 1=-2222當(dāng)時，S=-OQ-Py=- (2L1) 正七=正產(chǎn)-0t. (3)直線PQ的解析式為 222224小 5小y= - -x+2. 3

12、3【解析】【分析】（1）求出點8的坐標即可解決問題；（2）分兩種情形當(dāng)OVtV，時，當(dāng)22時，根據(jù)S=；OQPy,分別求解即可；（3）根據(jù)已知條件構(gòu)建方程求出t,推出點P, Q 的坐標即可解決問題.【詳解】解：（1）對于直線）/=奴+3令y=0,可得x=-l,（ - 1, 0）,，OA = 1, 9：AB=2, 08=而2 二 oT:k=.9：PQAB.：.ZAPQ=90 ,A ZyAQP=30 ,：.AQ=2AP=2t9當(dāng) 0L 時，S=-0Q9Py=- (2t- 1) 1= t2 - - r222224(3) VOQMB=5/7 (BQ-OP),=)3 + (21)2一局1)2a+Qg/F

13、3z + l，4產(chǎn)+4-1 = 7-7t+7, ，3F- llt+6=0,2解得t=3或 （舍棄），小，李設(shè)直線PQ的解析式為尸奴+b,則有, . 3 耳k+b=2，5k+b = 0解得b =_此3 573 ，直線PQ的解析式為），=65有x +【點暗】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，無理方程等知識，解 題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.5.如圖，在AABC中，ZACB = 90%以點4為圓心，8c的長為半徑畫弧，交線段 AB于點D,以點A為圓心，長為半徑畫弧，交線段AC于點E,連結(jié)CO.B（1）若4 = 28。，求NACO的度數(shù)；（2 ）設(shè) 3c = 4,

14、AC = b ；線段AO的長度是方程/ +=0的一個根嗎？說明理由.若線段AO = EC,求人的值.b【答案】（1） NACD = 31。： （2）是：“=二.b 4【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NBCD,計算即可:（2）根據(jù)勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比較即可；12根據(jù)勾股定理列出算式，計算即可.【詳解】（1）在A48C中，ZACB = 90.ZB = 90-ZA= 90-28= 62,: BC = BD，180 - ZB4BCD = ZBDC =2_ 1800-62一 2= 59.:.ZDCA = ZACB - ZBCD= 90-59

15、= 31.BD = BC = a,. AD = AB-BD=AB-a.在 RA48C 中，ZACB = 90.AB = JaC?+BC2= yja2 +b2 V x2 + lax - Z?2 = 0.-2。 / +4/ x =2= -alar+b1= -a AB.線段AD的長度是方程V+2度 =0的一個根.；AE = AD又；AD = EC.:.AE = EC =, 2:.AD = -.在RlMBC中，AB2 = AC2+ BC2,a2 +ab + = b2 +a2 f4-b2 = ab.4V/?0,3 f，b = a,4a 3 _ _b 4【點睛】本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌

16、握一元二次方程的求根公式、勾股定理 是解題的關(guān)鍵.二、初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)易錯題壓軸題（難）6.在平面直角坐標系中，拋物線），=公2+法+ 2（。0）經(jīng)過點4（2,-4）和點C（2,0）, 與y軸交于點D，與x軸的另一交點為點8.（1）求拋物線的解析式：（2）如圖1,連接80,在拋物線上是否存在點P，使得NPBC = 2NBDO?若存在，請 求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；（3）如圖2,連接4C,交v軸于點E,點M是線段4。上的動點（不與點4點。重 合），將CME沿ME所在直線翻折，得到當(dāng)歷WE與七重登部分的 而積是4MC面積的;時，請直接寫出線段AM的長.4【答案】（1） 丁 = 一/+工

17、+ 2； （2）存在，（工，型）或（此，-）；（3）3939乎或2點【解析】【分析】(1)根據(jù)點A和點C的坐標，利用待定系數(shù)法求解；(2)在x軸正半軸上取點E,使OB=OE,過點E作EF_LBD,垂足為F,構(gòu)造出 ZPBC=ZBDE,分點P在第三象限時，點P在x軸上方時，點P在第四象限時，共三種情 況分別求解；(3)設(shè)EF與AD交于點N,分點F在直線AC上方和點F在直線AC下方時兩種情況，利 用題中所給面積關(guān)系和中線的性質(zhì)可得MN=AN, FN=NE,從而證明四邊形FMEA為平行四 邊形，繼而求解.【詳解】解：(1) :,拋物線 y = ad+x + 2(aW0)經(jīng)過點 A (-2,-4)和點

18、 C (2, 0), 一 .-4 = 4。-2% + 2,解得：0 = 4a + 2b + 2。=一1b = 拋物線的解析式為y = -x2 + x + 2x (2)存在，理由是：在x軸正半軸上取點E,使OB=OE,過點E作EF_LBD,垂足為F,在 y = -x2 + x + 2 中，令y=o，解得：x=2或-1, ，點B坐標為(-1, 0),點E坐標為(1, 0), 可知：點B和點E關(guān)于y軸對稱， AZBDO=ZEDO,即NBDE=2/BDO,VD (0, 2), .ta“BDE= =拽 + 至 DF 553若 NPBC=2/BDO, 則 NPBC二/BDE, BD二DE=5 BE=2,

19、則 BD2+DE2BE2, NBDE為銳角,當(dāng)點P在第三象限時，NPBC為鈍角，不符合；當(dāng)點P在x軸上方時，/PBC二NBDE,設(shè)點 P 坐標為（c, 一/+。+ 2）, 過點P作x軸的垂線，垂足為G, 則 BG=c+1, PG=-c2+c + 2i-c2 +c + 2c + 1PG/. tanZPBC=BG2 解得：c：7,20，-L +c + 2 = ，同理可得：PG=lc 2，BG=c+l,tanZPBC=絲 ”2_c-2 茄-c + 1解得：c=,3,52A -c2+c + 2 = - 點p的坐標為（?,2 201052綜上：點P的坐標為（三，餐）或（，） 3939VA (-2, -4

20、) , D (0, 2),-4 = -2m + n c，解得：2 = n設(shè)直線AD表達式為y=mx+n.m = 3n = 2 9，直線AD表達式為y=3x+2,設(shè)點M的坐標為(s, 3s+2),VA (-2, -4) , C (2, 0) 設(shè)直線 AC 表達式為 y=mix+nT，-4 = -2ml + ilc c，解得:0 = 27 + 叫=17?j = -2工直線AC表達式為y=x-2,令 x=0,則 y=-2,點E坐標為(0, -2), 可得：點E是線段AC中點， AAAME和cme的面積相等， 由于折疊，AACMEAFME,即 S&CM0FME， 由題意可得：當(dāng)點F在直線AC上方時，e

21、 Samne二Saamc二 S421AAME= - S&FME，乙U|J Samne= Saane= Samnf AMN=AN, FN二NE,四邊形FMEA為平行四邊形,/.CM=FM=AE= AC=-)-x+4 = 272， 22VM (s, 3s+2),J J(s 2+(3s + 2=272 , 4解得：s=-或0 (舍)，同理可得：四邊形AFEM為平行四邊形, JAM二EF,由于折疊可得：CE=EF, AAM=EF=CE=2/2 綜上：AM的長度為或2式.【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，折疊問題，平行四 邊形的判定和性質(zhì)，中線的性質(zhì)，題目的綜合性很強

22、.難度很大，對學(xué)生的解題能力要求 較高.7.在平而直角坐標系中，將函數(shù)y = x2-2mx+m （x2m, m為常數(shù)）的圖象記為G,圖象 G的最低點為P（xo，yo）.（1）當(dāng)yo= -I時，求m的值.（2）求yo的最大值.（3）當(dāng)圖象G與x軸有兩個交點時，設(shè)左邊交點的橫坐標為XI，則的取值范圍 是.（4）點A在圖象G上，且點A的橫坐標為2m-2,點A關(guān)于y軸的對稱點為點B,當(dāng)點 A不在坐標軸上時，以點A、B為頂點構(gòu)造矩形ABCD,使點C、D落在x軸上，當(dāng)圖象G 在矩形ABCD內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍.【答案】（1）（2） - （3） 0Xi 或乙/0,

23、 m = 0, m0,求出當(dāng)拋物線頂點在x軸上時 m的值，利用圖象法判斷即可：（4）分四種情形：ml, （4）0ml,分別求解即可解決問題.【詳解】Vy=x2 - 2mx+m= （x - m） 2 - m2+mt圖象G是拋物線在直線y=2m的左側(cè)部分（包括點D）,此時最底點P （m, - m2+m）,由題意-m2+m= - 1,解得m=3或也口（舍棄）， 22當(dāng)m = 0時，顯然不符合題意，當(dāng)m0 時，y0= - m2+m= - （m - 1 ） 2+if24丁 - IVO,m=時，yo的最大值為一，24當(dāng) m = 0 時，yo=0,當(dāng) m0 時，yo0,當(dāng)拋物線頂點在x軸上時，4m2-4m

24、= 0,m = 1或0 （舍棄），觀察觀察圖象可知，當(dāng)圖象G與x軸有兩個交點時，設(shè)左邊交點的橫坐標為X】，則X】的 取值范圍是故答案為OVxiVl ；（4）當(dāng)mVO時，觀察圖象可知，不存在點A滿足條件，當(dāng)m = O時，圖象G在矩形ABCD內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，滿足條件，如圖3中，42綜上所述，滿足條件m的值為m=0或m 之或WwmVl.33【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，最值問題，不等式等知 識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問 題，屬于中考壓軸題.8.已知二次函數(shù)，=。必+隊+。（。00）.（1）

25、若b=l, a=- ic,求證：二次函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個不同的交點；（2）若a0，且2a+3b+6c=0,試確定二 次函數(shù)圖象對稱軸與x軸交點橫坐標的取值范圍.2【答案】（1）見解析：（2） 4a+b20 : （3）-一-0,及2a+3b+6c=0,得不 等式組，變形即可得出答案.【詳解】解：（1）證明：.y=ax2+bx+c （a*0）,令 y=0 得：ax2+bx+c=0*.* b- 1 a -c,2/. a =b2 - 4ac=l - 4 （ - 1 c） c=l+2c2,2: 2c20,/. l+2c20,即4 0,：.二次函數(shù)的圖象與X軸一定有兩個不同的交點；（2） / a4a

26、/. 4a+b20，c (a+b+c) 0,6c (6a+6b+6c) 0,(2a+3b) (4a+3b) 0,.,.將6c=- (2a+3b)代入上式得,/. (2a+3b) (4a+3b) 0,兩邊同除以9a2得,82八 - + -0 a 3b 4八 -+ - 0a 3h 2+ 0a 3 TOC o 1-5 h z 4 b2/ =工+1,當(dāng)z = l時，它的對稱折函數(shù)的解析式為 y = x-(x0)【答案】（1）y = 2x+l（x-2）：（2）尸的解析式為，2:圖象= -x2 -x+ (x 0)3產(chǎn)上的點的縱坐標的最大值為丁 = 3,最小值為y = -3； （3）當(dāng)，=一3, 乙1業(yè)/,

27、 3土丑 / =/-1與圖象/有兩個公共點.22【解析】【分析】（1）根據(jù)對折函數(shù)的定義直接寫出函數(shù)解析式即可：（2）先根據(jù)題意確定F的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值和最小值即可：（3）先求出當(dāng)a=l時圖像F的解析式，然后分/ 1 = T、點（/1）落在y = x2 -2工-3*之/）上和點”,1一1）落在 =一/221+3（戈1）上三種情況解答，最后根據(jù)圖像即可解答.【詳解】解：(1) y = 2x+1(% 0)= -x + l(xr）y = -x-2x + 3（x =，-1與圖象/有兩個公共點；b：當(dāng)點落在 y = /-2x 3（xNf）上時，t 2 c o atz3 /l

28、 73 +-7，一1=廠一2，一3,解得a=-一，t1 =-一 1222c：當(dāng)點(zj 1)落在 y = -x lx+3(x/)上時，/一1=一/一2/ + 3，解得G = T (舍)，。=171=4,?5=5.當(dāng)匕叵或士叵/5時，直線與圖象廠有兩個公共點；22綜上所述：當(dāng)/ = 3, 三叵/1，出叵 .由拋物線對稱性可知，此時點產(chǎn)與原點。重合.PE_LEF,點P在直線AC上方，與點夕在線段。8上運動相矛盾，故此種情形不存在.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等 腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理等知識，其中(3),要注意分

29、類求解，避免遺漏.三、初三數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)易錯題壓軸題（難）11.如圖，四邊形ABCD為正方形，ZkAEF為等腰直角三角形，ZAEF=90 ,連接FC, G 為FC的中點，連接GD, ED.（1）如圖，E在AB上，直接寫出ED, GD的數(shù)量關(guān)系.（2）將圖中的AAEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，如圖，（1）中的結(jié)論是否 成立？說明理由.（3）若AB=5, AE=1,將圖中的4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)E, F, C三點共線【答案】（1）DE=J?DG： （2）成立，理由見解析；（3） DE的長為4 或3走.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)論：DE=V2DG,如圖1中，連接EG,延長EG交BC的

30、延長線于M,連接 DM,證明CMG烏ZkFEG （AAS）,推出 EF=CM, GM=GE,再證明DCMg2DAE（SAS）即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論成立.連接EG,延長EG到M,使得GM=GE,連接CM, DM,延長 EF交CD于R,其證明方法類似；（3）由題意分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)E, F,（:共線時.如圖3-3中，當(dāng)E, F, C 共線時，分別求解即可.【詳解】解：（1）結(jié)論：DE= 72 DG.理由：如圖1中，連接EG,延長EG交BC的延長線于M,連接DM.圖1四邊形ABCD是正方形，, AD = CD. Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM=90%

31、Z AEF = Z B = 90 EFII CM,/. Z CMG = Z FEG,Z CGM = Z EGF, GC = GF, CMG合 FEG (AAS), EF = CM, GM = GE, AE = EF,AE = CM, a DCM合 DAE (SAS),DE = DM, Z ADE = Z CDM, Z EDM = Z ADC=90, DGJLEM, DG = GE=GM, EGD是等腰直角三角形， DE= V2 DG.(2)如圖2中，結(jié)論成立.理由：連接EG,延長EG到M,使得GM = GE,連接CM, DM,延長EF交CD于R.圖2EG=GM, FG=GC, Z EGF =

32、Z CGM, CGM空 FGE (SAS),/. CM = EF NCMG = NGEF,CM II ER,Z DCM = Z ERC,Z AER+Z ADR = 180/. Z EAD+Z ERD=180%Z ERD+Z ERC = 180%. Z DCM = Z EAD,; AE = EF, AE = CM,. DAE合 & DCM (SAS),DE = DM, Z ADE = Z CDM,/. Z EDM = Z ADC=90%EG=GM,/. DG = EG = GM,.A EDG是等腰直角三角形, DE=0DG.(3)如圖3-1中，當(dāng)E, F, C共線時,在 RS ADC 中，AC=

33、4AD、CD2 =a/?7? = 5 五, 在 RSAEC 中，EC= JaC2A2 = J(5偽2_f =7, ：.CF = CE - EF = 6,1/. CG=-CF = 3, 2Z DGC=90,dg= Jcd?_cg2 =5/5232 =4,.1. DE=&DG=4 伍如圖3-3中，當(dāng)E, F, C共線時，同法可得DE = 3j%.綜上所述，DE的長為4或3加.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等 知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.12.綜合與探究：如圖1,mAO8的直角頂點。在坐標原點，點4在）軸正半軸上

34、，點8在無軸正半軸 上，0A = 4, 08 = 2,將線段力8繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段8C,過點。作 CZ）_Lx軸于點。，拋物線y = G：2+3x + c經(jīng)過點C,與），軸交于點七（0,2）,直線4c 與x軸交于點.（1）求點。的坐標及拋物線的表達式：（2）如圖2,已知點G是線段A以上的一個動點，過點G作A”的垂線交拋物線于點尸(點尸在第一象限)，設(shè)點G的橫坐標為川.點G的縱坐標用含機的代數(shù)式表示為：如圖3,當(dāng)直線FG經(jīng)過點3時，求點尸的坐標，判斷四邊形48CF的形狀并證明結(jié) 論：在的前提下，連接FH,點N是坐標平面內(nèi)的點，若以尸，H , N為頂點的三角形 與aFHC全等,請直接寫出

35、點N的坐標.的坐標為(4,6),四邊形A8CF為正方形，證明見解析；點N的坐標為(10,4)或 (42 26A/38 4)芋司或匠H 【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明ABOaBCZ)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出點c 的坐標，結(jié)合點E的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；(2)設(shè)直線4c的表達式為y = h + 由點小C的坐標求出直線AC的表達式，進而 得解：過點6作。1/_1式軸于點M,過點/作叮_Ly軸，垂足為點尸，。尸的延長線與 QC的延長線交于點。，根據(jù)等腰三角形三線合一得出AG = CG,結(jié)合由平行線分線 段成比例得出點G的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BG的表達式，

36、結(jié)合拋物線的表達式 求出點R利用勾股定理求出4B = 5C = CF = E4,結(jié)合NA3C = 90可得出結(jié)論： 根據(jù)直線4c的表達式求出點”的坐標，設(shè)點/V坐標為(s/)，根據(jù)勾股定理分別求出 FC2, CH： FN2, NH2,然后分兩種情況考慮：若FHCgAFHN,則 FN=FC, NH = CH,若FHCgAHFN,則fn=ch, nh = fc,分別列式求解即可.【詳解】解：(1)vOA = 4, OB = 2,二點A的坐標為(0,4),點8的坐標為(2,0),V線段A8繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90,得到線段BC, ：.AB = BC, ZABC = 90.-.ZABO + ZDBC =

37、90在AO8 中，. ZA8O + NOA8 = 90,，ZOAB=ADBC,.CD J_x 軸于點。，NBDC = 90， ZAOB = 4BDC = 90.r AB = BC,AABOZBCD,8 = 08 = 2, BD = OA = 4,OB + BD = 6，二點C的坐標為(6,2),V拋物線y = a/ + 3x + c的圖象經(jīng)過點C ,與y軸交于點E(0,2),c = 2V36a +18 + c = 2=解得，a2, c = 2拋物線的表達式為)，=一；/+ 3% + 2 ；(2)設(shè)直線AC的表達式為)=丘+ ，直線AC經(jīng)過點C(6,2), 40,4),6k + b = 2h =

38、 4解，2解得， 3,即 y = x + 4, b = 43點G的縱坐標用含機的代數(shù)式表示為：-1， + 4 , 3故答案為：一耳? + 4.過點G作GM_Lx軸于點/. OM = m , GM = -in + 4 , 3-AB = BC, BGLAC,AG = CG，ZAOB = /GMH = ZCDH = 90,:.OA/GM “CD,OM AGMDi GC:.OM =MD = -OD = 3, 2？ = 3, 7+4 = 3,2k+b = 03k + b = 3二點G 為(3,3), 設(shè)直線3G的表達式為)”辰+ ，將G(3,3)和8(2,0)代入表達式得，k = 3,c，即表達式為丁

39、= 3x-6, b = -6點F為直線BG和拋物線的交點,，得一!/+ 3x + 2 = 3x - 6 , 2.玉=4 , x2 =-4 (舍去)，二點戶的坐標為(4,6),過點/作FP_Ly軸，垂足為點尸，尸尸的延長線與。C的延長線交于點。,:.PF = 4, AP = 2，/。=2，CQ = 4,在&AAQ中和RFC。中，根據(jù)勾股定理，得AF = FC = 2#,同理可得A8 = 8。= 2,/. AB = BC = CF = FA,，四邊形4BCF為菱形，ZABC = 90，菱形A8CF為正方形：.直線4C：)，= 一：1+ 4與x軸交于點”，-L + 4 = 0,3解得，x=12,(1

40、2,0),. FC2 = (6 4尸 + (2 6尸=20 , CH2 =(12-6)2 +(0-2)2 = 40 ,設(shè)點N坐標為(S),A FN2=(s-4)2 + (f 6)2, AW2 =(5-12)2 +(t-O)2, 第一種情況：若AFHC AFHN,則 FN=FC, NH=CH, .(4)2+(-6)2 =20 (5-12)2+r2=40425, -5 卜)=6 解得， “，-。(即點C)，26 t. =2：.N，42 26 萬5第二種情況：若LFHCgAHFN,則 FN=CH, NH=FC, .(5-4)2+(/-6)2=40 (5-12)2+/2 =2052 = 102=438

41、51 - -5 解得,”5(38 4 A：.N /二或N(10,4), 綜上所述，以F，H, N為頂點的三角形與FHC全等時，點N坐標為(10,4)或【點睛】本題是函數(shù)與幾何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式，全等三角形的判定與性 質(zhì)，菱形與正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，其中對全等三角形存在性的分 析，因有一條公共邊，可對另外兩邊進行分類討論，本題有一定的難度，是中考壓軸題.13.小明研究了這樣一道幾何題：如圖1,在ABC中，把48點八順時針旋轉(zhuǎn)a(TVa60,可求得 N64c=120。繼而 Z8= Z030。，可得 AD= -AB- BC 22當(dāng)N84：=90時，可得/84

42、/8490, 夕AC是直角三角形，可證得BAC0ABAC,推出對應(yīng)邊相等，已知8c=8求出AD的長.（2）先做輔助線，延長4D到M,使得4DM,連接&M、CMt如圖1所示：因為夕D=DC, AD=DM,對角線相互平分，可得四邊形4CM6是平行四邊形，得出對應(yīng)邊相等，由N848+NC4C=180推得N8AC=N48M,可證明84C也48M,所以 8c=4Vt1AD= - BC： 2先做輔助線，作線段8c的垂直平分線交8E于P,即為點P的位置；延長4。交8c的延 長線于M,線段8c的垂直平分線交8c于F,連接力、PD、PC,作APDC的中線PQ,連接 DF交PC于。假設(shè)P點存在，再證明理由.根據(jù)已

43、知角可得出DCM是直角三角形，ZMDC=30可得出CM=2jJ, DM=46 存在：*：CD=6, ZDCM=90, ZMDC=30, ZM=900 - ZMDC=60,可求得 EM= ； 8M=7 退，DE=EM - DM=7 6-4 耳=3 小,由已知。4=6 JJ,推得AE二DE且8E_LAD,可得”是線段8c的垂直平分線，證得以=PD因為P8=PC, PF/CD,可求得CF=bC=6 JJ,利用線段長度可求得NCDF=60利用全等三角形判定定理可證得AFCP烏CFD(ZUS),進而證得四邊形CDPF是矩形，得NCDP=90。，ZADP =60,可得ADP是等邊三角形，求出DQ、DP,在

44、R3PDQ中可求 得PQ長度.【詳解】 ABC是等邊三角形：.AB=BC=AC=AB,=AC N84c=609：DBf=DC：.ADBfC/848+/64。=180，Na4C+N&AC=180/. N82C=1800 - ZBAC=180 - 60=120二:30。1：.AD=-AB,= -BC2故答案：12; ZBABZCAC=180，N84C+N82C=180,/ ZB/AC=90：.ZB,ACZBAC=9QAB = AB,在aaAC 和82。中， ZB4C = ZB4C = 90AC = ACn8ACgZk&4c(SAS)：.BC=BfC9：B,D=DC0= L 8C8c=422 故答案

45、：44D與8c的數(shù)量關(guān)系：AD= - 8C：理由如下： 2延長AD到M,使得連接8例、CM9如圖1所示:9：B,D=DC. AD=DM.四邊形ACM6是平行四邊形，N82C+NA8M=180, AC=B,M=AC,VZB/AB+Z 6=180,，N8AC+N82C=180,：.ZBAC=ZAB/M.AC = BM在aaAC 和中，ZBAC = ZABM ,AB = AB，84Cg/A8M(S4S),：.BC=AMt1：.AD=-BCt2存在；作8EL4D于&作線段8c的垂直平分線交8E于P,即為點P的位置：理由如 下：延長4D交8c的延長線于例，線段8c的垂直平分線交8c于F,連接力、PD、P

46、C,作PDC的中線PQ,連接DF交PC于。，如圖4所示：.* NA+N8=120,，Z4DC=150/. ZMDC=30%在 RtaDCM 中，CD=6, ZDCM=90, ZMDC=30,：.CM=2y/3 , DM=4 小,NM=90 - NMDC=60,在 RtABM 中，N8EM=90, BM=BC+CM=12 6 +2 /=14 6，ZMBE=900 - ZM=30廣：.EM=-BM=7yJ3：.DE=EM - DM=7 石-4 6=3 耳,：.AE=DE,9：BEAD9：.PA=PD.:PF是線段8c的垂直平分線,：.PB=PC, PF/CD, 在 RtaCDF 中，.，C0=6,

47、 CF=BC=6yj3 ,.tanZCDF= -= -/E=, CD 6：.ZCDF=60,/ ZMDF=ZMDC+ZCDF=30o+60=90% ，NADF=90=N4E8.：.ZCBE=ZCFD./CBE:/PCF,AZCfD=ZPCF=30%VZCFD+ZCDF=90, NPCF+/CPF=90, ：.ZCPF=ZCDF=60ZCPF = ZCDF 在AFCP 和CFD 中， ZPCF = ZCFD ,CF = CF ：.AFCPACFD(AAS).：.CD=PF.VCD/PF,四邊形CDPF是矩形，/. ZCDP=90,，ZADP=ZADC - NCDP=60,.4DP是等邊三角形，工

48、 NAP。=60,NBPF=NCPF=90 - 30=60%AZBPC=120/. 4PO+N8PC=180,PDC與%8之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系：在 R3PDQ 中，V ZPDQ=90, PO=DA=6近，DN=-CD=3, PQ= y/DQ2 + DP2 =丹+伊后= 3V1I 【點睛】本題考查了三角形的邊旋轉(zhuǎn)的問題，旋轉(zhuǎn)前后邊長不變，根據(jù)已知角度變化，求得線段之 間關(guān)系.在證明某點知否存在時，先假設(shè)這點存在，能求出相關(guān)線段或坐標，即證實存在性.14.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF, EG 分別過點 B, C, ZF=30 .（

49、1）求證:BE=CE（2）將EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF, EG分 別與AB, BC相交于點M, N.（如圖2）求證：ABEMACEN：若AB=2,求AEMN面積的最大值；【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2：亞二立4【解析】【分析】（1）只要證明BAECDE即可：（2）利用（1）可知AEBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明：構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題：如圖 3 中，作 EH1.BG 于 H.設(shè) NG=m,貝lj BG=2m , BN=EN=m , EB=6 m.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】(

50、1)證明：如圖1中,四邊形ABCD是矩形， AAB=DC , ZA=ZD=90 , 是AD中點，AAE=DE , aAbaeAcde f ，BE=CE .由(1)可知，4EBC是等腰直角三角形，AZEBC=ZECB=45 rZABC=ZBCD=90 zAZEBM=ZECN=45 ,VZMEN=ZBEC=90 rAZBEM=ZCEN ,VEB=EC ,AABEMACEN ；BEMdCEN ,，BM=CN,設(shè) BM=CN=x,貝lj BN=4-x ,.，.SABMN=y *x ( 4-x ) =- y ( x-2 )2+2 ,V- EGBN= - BGEH , 22.匚 u_/？（1 + A）?_

51、3+G tn- - m f2m23+小在 RSEBH 中，sinNEBH=E_ 2 _ W+V?.EB y/6m 4【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定 和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題， 學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題， 15.閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共 的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有 這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若NBAC= ZDAE, AB=AC,

52、AD=AE,貝lj BD=CE,在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)：借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來解答下面的問題：（2）如圖 2, AB = BC, ZABC = ZBDC=60 ,求證：AD+CD = BD：如圖3,在AABC中，AB=AC, ZBAC=m，點E為ABC外一點，點D為BC中點， NEBC=NACF, ED_1_FD,求NEAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）NEAF = ：m。.【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EC,只要證明DABEAC即可；（2）如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE.首先證明4BDE是等邊三角形，再

53、證明ABDACBE即可解決問題：(3)如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長ED到 M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.想辦法證明aAFE烏AAFG,可得NEAF=NFAG= ： m.VZBAC=ZDAE , AZDAB=ZEAC , 4：ADAB 和ZkEAC 中，AD=AECD求的值.CD【答案】（1）詳見解析：（2） 3逐+3： （3）梨=史+5或旦.CD 22【解析】【分析】（1）由點C是弧BD的中點，根據(jù)弧與弦的關(guān)系，易得BC=CD, ZBAC=ZDAC,又由公共邊AC,可證得：ZkABC和4ACD是同族三角形；（2）首先連接OA, 0B,

54、作點B作BE_LAC于點E,易得aAOB是等腰直角三角形，繼而求 得答案；分別從當(dāng)CD=CB時與當(dāng)CD=AB時進行分析求解即可求得答案.【詳解】（1）證明：.點C是弧BD的中點，即8C = CO，J BC二CD, Z BAC=Z DAC,AC=AC,/. ABC和 ACD是同族三角形./ 0A=0B=3 y/2 AB=6,/. OA2+OB2=AB2, a AOB是等腰直角三角形,且N AOB=90,. Z C=Z AOB=45,Z BAC=30%/. BE=AB=3, AE=AB? - BE?=3 y/3，; CE=BE=3,/. AC=AE+CE=3 7J+3.(3)解：Z B=180 -

55、 Z BAC - Z ACB=180 - 30 - 45=105%/. Z ADC=180 - Z B=75如圖 2,當(dāng) CD二CB 時，Z DAC=Z BAC=30,圖2/. Z ACD=75%/. AD=AC=3 y/3 +3, CD=BC= VI BE=3 & ,AD_3/3+3_/6 + V2CD 3722如圖3,當(dāng)CD=AB時，過點D作DFJLAC,交AC于點F,則N DAC=Z ACB=45%?. Z ACD=180 - N DAC - N ADC=60%DF=CDsin60=6xAD=V2 DF=3V6 ,AD _ 3而CD =-6-V 綜上所述:【點睛】 本題考查圓的綜合應(yīng)用問

56、題，綜合運用弧與弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形作輔助 線進行分析證明以及求解，難度較大.17.如圖、是兩個半徑都等于2的001和002,由重合狀態(tài)沿水平方向運動到 互相外切過程中的三個位置，。01和。2相交于4、8兩點，分別連結(jié)。以、0】8、0兇、OzB 和 A8.如圖，當(dāng)N 4018=120。時，求兩圓重登部分圖形的周長/;設(shè)N4O18的度數(shù)為x,兩圓重登部分圖形的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出自變量x的取值范圍；在中，當(dāng)重疊部分圖形的周長J = 2點時，則線段。24所在的直線與。01有何位置關(guān) 系？請說明理由.除此之外，它們是否還有其它的位置關(guān)系？如果有，請直接寫出其它位置

57、 關(guān)系時的x的取值范【答案】(1) - (2) V = X (0 x180) (3) 0兇與。0i相切；當(dāng)0女490和 3 4504g180時，線段02A所在的直線與相交【解析】試題分析：(1)解法一、依對稱性得，N 4028=/4018=120。，Z = 2 X jX(2x2) 解法二、./03=018=026=028口 3卅A八120 xnx2 87c/. AO18O2 是菱形Z AO2B= 4018=120. /=2x a =2乂;=1803(2) .由(1)知，菱形 AOt8Oz 中NAO28N AOi8=x 度,重疊圖形的周長r=2xY,即丁 =福彳(0 x1),點P是圓內(nèi)與圓心C不

58、重合的點，OC的“完美點”的定義如下：過圓心C的任意直線CP與OC交于點4 B,若滿足P8|=2,則稱點P為。C的“完美點”，如圖點P為。C的一個“完美點”.當(dāng)。0的半徑為2時點M（g, 0）。的“完美點”，點（-正，-）。的“完美點”；（填222“是”或者“不是”）3若。0的“完美點” P在直線y=x上，求P。的長及點P的坐標；4設(shè)圓心C的坐標為由t）,且在直線y=-2x+l上，OC半徑為r,若y軸上存在。C的 “完美點”，求t的取值范圍.備用圖4343【答案】（1）不是，是：PO的長為1，點P的坐標為（二，二）或（-一，-二）；（2）1的取值范圍為-1WK3.【解析】【分析】（1）利用圓的

59、“完美點”的定義直接判斷即可得出結(jié)論.先確定出滿足圓的“完美 點”的OP的長度，然后分情況討論計算即可得出結(jié)論；（2）先判斷出圓的“完美點”的 軌跡，然后確定出取極值時OC與y軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】3解：（1）點 M（二，0）, 2.設(shè)。與x軸的交點為4 8,。0的半徑為2,，取 4-2，0）, 8（2, 0）,33AMA - MB| = |（-+2） - （2 - 一）|=3W2, 22點M不是。的“完美點”，同理：點（-#，-；）是。的“完美點”.故答案為不是，是.如圖1，圖1根據(jù)題意，|%-P8|=2,，|OP+2-（2-OP）|=2,：.OP=1.若點P在第一象限內(nèi)，作PQ

60、_Lx軸于點Q,3丁點P在直線y=x上，OP=1, 4 TOC o 1-5 h z 43。=不尸。=丁43若點P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對稱性可知其坐標為（-=，-）.4 34 3綜上所述，P。的長為1,點P的坐標為（二,三）或（一二，一） 對于0C的任意一個“完美點” P都有|%-P8|=2,：,CP+r- （r- CP）=2.ACP=1.I.對于任意的點P，滿足CP=1,都有|CP+r-（r-CP）|=2, ：.PA-PB=2,故此時點P為0 c的“完美點”.因此，0C的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓.設(shè)直線y= - 2x+l與y軸交于點D,如圖2,當(dāng)。c移動到與y軸相切且切點在點。的上