高中數(shù)學(xué)新課程中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計案例—《三角函數(shù)模型地簡單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

1、高中數(shù)學(xué)新課程中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計案例三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計XX省XX市第六中學(xué) 顏春 XXXX 415000一. 教學(xué)分析（教材分析與學(xué)情分析）1. 教材分析： 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下單獨一節(jié)來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，進(jìn)一步突出函數(shù)來源于生活應(yīng)用于生活的思想，讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?, 從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力 .學(xué)情分析： 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)了第一章函數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ)上來習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，學(xué)生已經(jīng)有了數(shù)學(xué)建摸的基本思想和方法，應(yīng)用三角函數(shù)的基本知識來解決實際問題對學(xué)生來說應(yīng)該順理成章，所

2、以對本節(jié)的學(xué)習(xí)應(yīng)讓學(xué)生能夠多參與多思考，培養(yǎng)他們的分析解決問題的能力，提高應(yīng)用所學(xué)知識的能力 .二. 教學(xué)目標(biāo)1、基礎(chǔ)知識目標(biāo)： a 通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)， 使學(xué)生初步學(xué)會由圖象求解析式的方法；b 根據(jù)解析式作出圖象并研究性質(zhì)； c 體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程； d 體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型2、能力訓(xùn)練目標(biāo)：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?, 從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力3、個性情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)

3、學(xué)在解決實際問題中的價值和作用從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神 .三. 教學(xué)重點、難點教學(xué)重點： 用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化的實際問題 .教學(xué)難點： 對問題實際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型 .四. 教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié) 師生活動 設(shè)計意圖海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐 .在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸（一）貨后， 在落潮時返回海洋， 下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)呈現(xiàn)實系表：際情境（1 ）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與

4、時間的函數(shù)關(guān)系，并給出整點時的水深的近似數(shù)值。（精確到 0. 1 ）（2 ）一條貨船的吃水深度 （船底與水面的距離） 為 4 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3 ）若某船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1.5 米，該船在 2:00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？問題探究 1 ：如圖所示， 下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：（二）正確理設(shè)計意圖 : 水深解實際變 化并不 是雜問題請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？

5、亂無章， 而是呈小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言?？赡芙Y(jié)果： 現(xiàn) 一種周 期性變化規(guī)律 , 得到 1）水深的最大值是 7.5 米，最小值是 2.5 米。2 ）水的深度開始由 5.0 米增加到 7.5 米，后逐漸減少一直減少到 2.5 ，的 是一個 刻畫又開始逐漸變深，增加到 7.5 米后，又開始減少。水 深與時 間關(guān)3 ）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。系 的三角 函數(shù)模型 . 4） 學(xué)生活動：作圖更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式）5 ）教師呈現(xiàn)作圖結(jié)果，學(xué)生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常的類似？追問為什么類似正弦型函數(shù) y A sin( x )

6、b（排除法，關(guān)鍵在于周期性）。（學(xué)生活動，求解解析式） A=2.5, h=5,T=12, =0;2 x12,得 . y 2.5sin 5. 6 6得到的是一個刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程選模，求模， 驗?zāi)?，?yīng)用。 有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學(xué)生小組合作討論回答，如周期、單調(diào)性、每時每刻的水深。學(xué)生計算幾個值，最后教師呈現(xiàn)水深關(guān)于整點時間的數(shù)值表【師】有了水深關(guān)于時間的函數(shù)模型以后， 作為船長考慮的問題還沒有結(jié)束， 因為船只在進(jìn)出港時， 每艘船只的吃水深度是不一樣， 下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn)去

7、的一個問題：問題探究 2：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（ 師生一起分析） 用數(shù)學(xué)的眼光看， 這里研究的是一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？水深 5.5米x x得出 2. 5 sin 5 4 1.5，即 sin 0.2，6 6x（師生齊分析）解三角不等式 sin 0.26的方法x令 sin 0.26學(xué) 生 活 動 ： 操 作 計 算 器 計 算x60.2014, x 0.3848， 結(jié)合 電腦 呈現(xiàn)圖象x發(fā)現(xiàn)：在 0，24 X圍內(nèi)，方程 sin 0.26的解一共有 4 個，從小到大

8、依次記為： x 0. 3846, 5.6154 . x3 12.3846, x4 17.6154.1 x2得到了 4 個交點的橫坐標(biāo)值后，結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進(jìn)港？什么時間出港呢？（學(xué)生討論，交流）可能結(jié)果：【生 1 】貨船可以在 0 時 30 分鐘左右進(jìn)港，早晨5 時 30 分鐘左右出港；或者是中午 12 時 30 分鐘左右進(jìn)港， 在傍晚 17 時 30 分鐘左右出港?！旧?2】貨船可以在 0 時 30 分鐘左右進(jìn)港， 可以選擇早晨5 時 30 分，中午 12 時 30 分，或者傍晚 17 時 30 分左右出港。 （學(xué)生討論，最后確定方案 1 為安全方案，因為當(dāng)實際水深小于安全深

9、度時， 貨船盡管沒有行駛， 但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥， 即使后來水位上漲，也很可能船身不再上浮）剛才整個過程， 貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口， 貨船的吃深深度一直沒有改變， 也就是說貨船的安全深度一直沒有改變， 但是實際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港， 在港口卸貨， 在卸貨的過程中， 由物理學(xué)的知識我們知道， 隨著船身自身重量的減小， 船身會上浮， 這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又該如何選擇進(jìn)出港時間呢？請看下面問題：問題探究 3 ：在探究 2 條件中，若該船在 2：00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？（學(xué)

10、生討論）安全即需要：實際水深 安全水深，即：x2.5sin 5 5.5 0.3( x 2) , 6討論求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（電腦作圖并呈現(xiàn)）通過圖象可以看出，當(dāng)快要到 P 時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么 P 點的坐標(biāo)如何求得呢？（學(xué)生思考，討論，交流）求 P 點橫坐標(biāo)即解方程x2.5sin 5 5.5 0.3( x 2)6數(shù)形結(jié)合，二分法求近似解：由圖得點 P 點橫坐標(biāo)在 6，7，故我們只需要算出 6 ，6.5 ，7 三個時刻的安全水深與實際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。時間 實際水深 安全水深 是否安全6 5 米 4 3 米 安全6.5 4 2 米 4 1

11、 米 較安全7 3 8 米 4 0 米 危險貨船應(yīng)該在 6 時 30 分左右駛離港口。（可能有的同學(xué)有些異議，可以討論）從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中， 就會出現(xiàn)貨還沒有卸完， 不得已要暫時駛離港口， 進(jìn)入深水區(qū)， 等水位上漲后在駛回來。這樣對公司來說就會造成才力、物力上的巨大浪費？那該怎么來做呢？ （學(xué)生討論）可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度 .設(shè)計意圖： 通過畫 函 數(shù) 的 圖 象觀察問題中所給出的數(shù)據(jù)，可以看出，水深的變化具有周期性 . 根據(jù) 來研究性質(zhì). 由（三）已 知 函 數(shù) 模 型表中的數(shù)據(jù)作出圖象， 從散點圖的形狀可以判斷， 這個港口

12、的水深與時間建立并來研究函數(shù)， 培的關(guān)系可以用形如 y A sin( x ) h 的函數(shù)來刻畫，其中 x 是時養(yǎng) 學(xué) 生應(yīng)用 已完善數(shù)學(xué)模型間， y 是水深 .根據(jù)數(shù)據(jù)可以具體確定 A， , ,h 的值 .知 函 數(shù) 解 決 問題方法. 利用三角 函 數(shù) 解 決 生活 中 的 實 際 問題，培養(yǎng)解決實際問題的能力 .解：（1）以時間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散設(shè)計意圖： 建模（四）點圖，根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)來刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系 .過程 選模，求解并從數(shù)據(jù)和圖象可以得出： A=2.5,h=5,T=12, =0;求模， 驗?zāi)＃?應(yīng)驗證數(shù)學(xué)模型2由 T= .12,得6用

13、 .優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)， 使之 所以，這個港口的水深與時間的關(guān)系可以用系統(tǒng)化 、 條 理5y 2.5 sin x 近似描述 .6化，加強(qiáng)知識間內(nèi) 在聯(lián)系 的 理（2）貨船需要的安全水深為 4+1.5=5.5 （米），解和認(rèn)識 . 逐漸所以當(dāng) y 5.5 時就可以進(jìn)港 .培 養(yǎng) 學(xué) 生 的 良令 2 x 5=5.5 ，得 0.3846, 5.6154. 5sin x1 x26好的個性品質(zhì) .由函數(shù)的周期性易得： x3 12.3846, x4 17.6154.因此，貨船可以在 0 時 30 分左右進(jìn)港，早晨 5 時 30 分左右出港；或在中午 12 時 30 分左右進(jìn)港，下午 17 時 30 分左右出港 . 每次可以在港口停留 5 小時左右 .(3) 設(shè)在時刻 x 貨船的安全水深為 y ，那么 y 5.5 0.3( x 2)( x 2).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象 . 可以看到在 67 時之間兩個函數(shù)有一個交點 .通過計算， 為了安全， 貨船最好在 6.5 時之前停止卸貨， 將船駛向較深的水域。五. 教學(xué)反思1、三角應(yīng)用題的一般步驟是：分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，數(shù)學(xué)模型求解：利用三角形，求得數(shù)學(xué)模型的