全國初中數(shù)學(xué)競賽題及參考答案

1、全國初中數(shù)學(xué)競賽題及參考答案請將正確、選擇題共5小題，每題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分1.假設(shè)112111QA二.BC二210D1ab_20+1_210由題設(shè)得代數(shù)式變形，同除b-tab+/二+2二02 .假設(shè)實(shí)數(shù)a則a的取值范圍是b滿足2Aa- 4D解.C11b-ab+a4-2：=0因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于 b的二次方程A = (-a)a -dxlxL + 2)的判別式0,解得 aw-2 或 a 4.方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式3.如圖，在四邊形ABCW,/B=135,ZC=120,Ap抬，B(=4-則AD邊的長為

2、A： J解：D如圖，過點(diǎn)A,D分別作AEDF垂直于直線BG垂足分別為E,F.由已知可得BE=AE=7&,CF=2五，DF=2而,過點(diǎn)A作AGLDF垂足為G在RtAADG,根據(jù)勾股定理得AD國爐而二歷的=2+2灰勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補(bǔ)全圖形法4.在一列數(shù)-中，已知修=1 ,且當(dāng)k2 時(shí),取整符號(hào)(A)3H表示不超過實(shí)數(shù)金的最大整數(shù)，例如(B)(D) 4，則/mo等于(C)解：B1凝=加i+1-4由為=1和-14k-2可得=1礴-2Kj-3O4)=1/二口礙=3%=4)因?yàn)?010=4X502+2,所以口=2.高斯函數(shù)；找規(guī)律。.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD勺頂點(diǎn)

3、坐標(biāo)分別為A1,1，B2,1，C一2,一1，D一1,1.y軸上一點(diǎn)P0,2繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)Pi,點(diǎn)R繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P2,點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P3,點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P4,重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P,P2,，則點(diǎn)F2010的坐標(biāo)是.A2010,2B2010,-2C2012,-2D0,2解：B由已知可以得到，點(diǎn)看，舄的坐標(biāo)分別為2,0，2,一2.記乙（砒，%），其中叫二乙二一之.根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：月（一4一%2%）+出，4+4）日（一%.一?一3）凡（4+町，）令其囿，%）,同樣可以求得，點(diǎn)品的坐標(biāo)為4+%也即月o4x2+叫也，由于2010=4區(qū)502+2,所以點(diǎn)舄的口

4、的坐標(biāo)為2010,-2.、填空題.已知2=寫一1,則2a3+7a22a12的值等于解：0由已知得（a+1）2=5,所以a2+2a=4,于是2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時(shí)亥L客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t解：15設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為厘，h.c千米/分，并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得15(

5、)=25,W一S.由，得3。&一。)二5,所以,x=30.故f=30-10-5二15分.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O0,0，A0,6，B4,6，C4,4，D6,4，E6,0.假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M2,3，且將多邊形OABCDE割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是.I第&題v-XT解：-二如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F;連接OBAF連卷CEDF,且相交于點(diǎn)N.由已知得點(diǎn)M2,3是OBAF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO勺中心，所以直線?把矩形ABFO面積相等的兩部分.又因?yàn)辄c(diǎn)N5,2是矩形CDEF勺中心，所以，過點(diǎn)N5,2的直線把矩形CDE的成面積相等的兩部分.

6、于是，直線良皿即為所求的直線L-3,設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為k以+$,則9.如圖，射線AMBN都垂直于線段AB點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE,BN于點(diǎn)F,C,過點(diǎn)C作AM的垂線CD,垂足為D.假設(shè)CD=CF,則而=.（第9題】2因?yàn)镽tAAFBRtAB(C所以金月=AFAC又因?yàn)镕C=DC=AB所以用=雙超+梆%即再1-1解得附2,或牌2舍去.ABAE力F理J5-1AE-又Rtn5sRt4?產(chǎn)巴所以鴕FCm之，即工。=210.對于i=2,3,，k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i1.假設(shè)內(nèi)的最小值！滿足200司口0與雙曲線耳相交于點(diǎn)A,B已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,4，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且

7、AOB勺面積為3O為坐標(biāo)原點(diǎn).1求實(shí)數(shù)a,b,k的值；2過拋物線上點(diǎn)A作直線AC/x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C,求所有滿足EO。AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：1因?yàn)辄c(diǎn)A1, 4在雙曲線 亮上,y = 所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為支設(shè)點(diǎn)Bt,0, AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為爐二視+司，則有4=琳十耳!m解得4（什 1）于是，直線0 4AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為I 1 0上，日十七三小一 2; v所以一解得110分2如圖，因?yàn)锳C/x軸，所以C-4,4，于是CO=4&.又BG2虛，所以.設(shè)拋物線尸uaYAEa0與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為一3,0.因?yàn)?COD=/BOD=45c所以/COB9cl

8、e.i將4灰X繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9臚,得到丁工】.這時(shí)，點(diǎn)歹（-2,2）是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為4,一1.延長到點(diǎn)圓，使得=2容，這時(shí)點(diǎn)*8,-2是符合條件的點(diǎn).ii作夙加關(guān)于x軸的對稱圖形次%,得到點(diǎn)百1,一4；延長/到點(diǎn)三，使得為=2,這時(shí)點(diǎn)E22,一3是符合條件的點(diǎn).所以，點(diǎn)5的坐標(biāo)是8,一2，或2,一8.20分13.求滿足2尹口+產(chǎn)+*=那3陰的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得加2尸+1）=（刑一4）8+2）所以3十2，由于是素?cái)?shù)，故引-啰或小周+2）.5分1假設(shè)M,令加7=櫛,k是正整數(shù)，于是帆+2加，3p2/（2乃+1）=（那一4）（雁+2）故*3,從而上二1.fi4p=5,：所以

9、附+2=27+L解得期三9一10分2假設(shè)封（附十2），令網(wǎng)+2=個(gè)，k是正整數(shù).當(dāng)P,5時(shí)，有落-4=際6融一召=,3寸%p（2戶十0二（刑一4）（用+2）網(wǎng)上-1。?故左/T）3,從而1t=1,或2.由于一（2吊十1）二（附-4）（徵+2）是奇數(shù)所以1fcH2,從而尢二1.mA2p+L7旦煙42三尸，丁ZEL這不可能.當(dāng)P二5時(shí)，潴飛-2播=63，制=9；當(dāng)P=3/：=29,無正整數(shù)解；當(dāng)口二?時(shí)，膜一2陽=18,無正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5,正整數(shù)m=9.20分14.從1,2,，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11,11+33,11+2乂33,，11+50 x33即1991滿足題設(shè)條件.5分另一方面，設(shè)的二曲04.是從1,2,，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù),對于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)/隆口潴，因?yàn)橄葇也+/+&=）所以因此，所取