全概率公式及應(yīng)用

1、上1記錄O返回。下霸打印oErii下一記錄【標(biāo)題】全概率公式及應(yīng)用【作者】劉媛【關(guān)鍵詞】全概率公式隨機(jī)事件條件概率【指導(dǎo)老師】林昌盛【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【正文】一、引言在研究實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，除了要考慮事件A的概率P(A)之外，還須考慮在“已知事件B已發(fā)生”條件事件A發(fā)生的概率.一般地說(shuō)，后者的概率與前者的概率未必相同.為了清晰起見(jiàn)，第二類情況下的概率稱為條件概率,記為P(A|B)或PB(A).條件概率是概率論中一個(gè)重要的基礎(chǔ)概念，與之有關(guān)的三個(gè)重要公式是：乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式，其中以乘法公式為基礎(chǔ)的全概率公式在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.全概率公式就是把一個(gè)復(fù)雜的事件分解成若干個(gè)互不

2、相容的簡(jiǎn)單事件，再由簡(jiǎn)單事件的概率求得最后的結(jié)果.本文在具體分析全概率公式的同時(shí)還發(fā)展出幾個(gè)由全概率公式導(dǎo)出的推論，在分析其中定理的同時(shí)還運(yùn)用其公式解決實(shí)際生活中比較典型的例子.二、全概率公式的基本理論定義設(shè)A1,A2,An為n個(gè)事件,若滿足：(1)完全性：A1UA2UUAn=(2)互不相容性：AiAj=,iwj,l,j=1,2,n;(3)P(Ai)0,i=1,2,n,則稱A1,A2,An為Q的一個(gè)完備事件組.定理1設(shè)A1,A2,An為一完備事件組，則對(duì)任一事件B,成立：=分析：從形式上看，公式的右邊比左邊復(fù)雜.實(shí)質(zhì)上，定理中給出的條件“B是任一事件”往往很復(fù)雜，要直接求出B的概率很難入手，若

3、能把事件B分解為許多簡(jiǎn)單的、互不相容的事彳爺之和，且這些事件的概率可求，則求出就迎刃而解了.從下面的證明，也可以看出這個(gè)思路.證明：=Q=()=由條件(2)AiAj=,i為.(BAi)(BAj)=B(AiAj)=(iwj)=()=由于0,應(yīng)用乘法公式得：=.這個(gè)公式稱為全概率公式.全概率公式中的條件(1)可推廣為，得如下定理：定理2設(shè)(1)A1,A2,An,是兩兩互不相容的事件；(2).則對(duì)事件有=.分析：從形式上看，是的一個(gè)子集，并且A1,A2,An,是兩兩互不相容的事件，那么我們就可以分解為n個(gè)互不相容的獨(dú)立事件之和后在相加,就得出了事件的概率. TOC o 1-5 h z 證明由定理?xiàng)l件

4、知：=,再由可列可加性知：=由條件概率得：=.全概率公式中的條件(1)又可推廣為=1,可得如下定理.定理3設(shè)A1,A2,An,為兩兩互不相容事件列且=1,則對(duì)任一事件有：=分析：從定理3看，由于A1,A2,A,為兩兩互不相容事件列且=1,如果我們從這個(gè)方面不好計(jì)算的話,就可以從事件列的對(duì)立事件來(lái)求其答案.因?yàn)榈母怕蕿?,那么它的對(duì)立事件的概率就為0.i =1,2,，則對(duì)于任何事, 如遇到有離散型隨機(jī)變量證明因=1,則=0.故有=+=+0=定理4設(shè)士是離散型隨機(jī)變量分布列為：P(七=ai)=pi件有=P(BIE=ai)pi分析：本定理主要是用來(lái)解決離散型隨機(jī)變量例題的的分布列，就用=P(BI七=

5、ai)pi這個(gè)公式來(lái)解決.定理5設(shè)E為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度為P(x),則對(duì)任意事件有=P(B|W=x)P(x)dx.證明在數(shù)軸上取分點(diǎn)x0vx1vx20,b0）,乙箱中有c個(gè)白球，d個(gè)黑球,自甲箱中任意取一球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆磺颍嚽笫录嗀“從乙箱中取得一球?yàn)榘浊颉钡母怕?解：以表示“自甲箱中取出的球?yàn)榘祝ê冢┣颉?顯然,由題意：=,=若出現(xiàn)，那么乙箱中有c+1個(gè)白球，d個(gè)黑球，故=.類似地，若出現(xiàn)，則乙箱中有c個(gè)白球,d+1個(gè)黑球，故=,由全概率公式得=?+?=?+?（二）解題一般思路確定所求事件,并依題意將事件進(jìn)行正確剖分.例1是這一類問(wèn)題中最為簡(jiǎn)單的一種,不妨以之為例.解

6、應(yīng)用全概率公式的問(wèn)題,首先應(yīng)分析所求事件.在例1中,第二次取到的是不合格品這一事件即為事件,依據(jù)題意,依次做不放回抽取二產(chǎn)品,則第一次抽到的產(chǎn)品是否為不合格產(chǎn)品,顯然對(duì)第二次抽取產(chǎn)生影響,所以必須將第一次可能抽取到的產(chǎn)品進(jìn)行分類.只有兩種情形,一種是合格產(chǎn)品,另一種是不合格 TOC o 1-5 h z 產(chǎn)品,這就是對(duì)所求事件進(jìn)行剖分.例1中將這兩種情形分別設(shè)為與表示兩對(duì)立事件.由于或事件的發(fā)生對(duì)發(fā)生的概率都產(chǎn)生影響,故發(fā)生的概率都產(chǎn)生影響,故發(fā)生的概率由二者共同決定.因此該題使用全概率公式是正確的.列出已知數(shù)據(jù).根據(jù)題意,按照前面所設(shè)事件,將已知的、的概率、,條件概率、.即若事件或發(fā)生時(shí)事件發(fā)

7、生的概率寫出或求出,一般使用古典概率得求法.將已知數(shù)據(jù)代入全概率公式,求出.將或與對(duì)應(yīng)的條件概率或用乘法公式后相加,即求出.以上只是最簡(jiǎn)單的應(yīng)用全概率公式例題的解法.其實(shí),例2中解法只是將所求事件剖分成三類的情形,全概率公式也相應(yīng)的擴(kuò)充為三項(xiàng)之和,也即是說(shuō)更復(fù)雜的全概率公式問(wèn)題,其解題過(guò)程也是上述三個(gè)步驟.只須第一步將所求事件分成更多的類,具體分類應(yīng)依據(jù)題意,并且滿足事件剖分的條件,然后依次完成第二、三步.同時(shí)事件剖分成幾類,應(yīng)用的全概率公式即為幾項(xiàng)之和.此外,應(yīng)注意在解題過(guò)程中,不要被問(wèn)題的表象所迷惑.全概率公式的問(wèn)題中,有許多相似的情況,如：合格產(chǎn)品、白球等代表正因素,不合格產(chǎn)品、黑球代表

8、反因素,一定的產(chǎn)品箱子、袋子代表因素集合或操作范圍.該類問(wèn)題,總是在一個(gè)范圍內(nèi)取出正或反因素,或在一個(gè)范圍中取出正（反）因素放入另一范圍中,這樣的操作進(jìn)行一次或進(jìn)行多次后,求從最終操作結(jié)束的某個(gè)范圍內(nèi)取出一正（反）因素的概率.解較抽象問(wèn)題時(shí),可將其具體化,以期更好的完成.（三）解決復(fù)雜問(wèn)題4設(shè)甲、乙二人自a個(gè)白球,b個(gè)黑球中任取一球,從甲開(kāi)始,然后輪流取,每次取后不還原，試求甲(或乙)先取得白球的概率P1(或P2).解為了使甲先取出白球,必須使甲第一次就取得白球(下簡(jiǎn)記為“白”),或者甲第一次取得黑球，乙第二次也取得黑球，甲第三次取得白球(簡(jiǎn)記為“黑黑白”)，因而事件A“甲先得白球”可表示為互

9、不相容的事件：“白”，“黑黑白”，“黑黑黑黑白”，的和，而事件“白”的概率為,事件“黑黑白”的概率可由乘法公式算出為?,事件“黑黑黑黑白”的概率仍由乘法公式得？. TOC o 1-5 h z 所以P1=1+同理P2=+問(wèn)題5自a個(gè)白球，b個(gè)黑球中同時(shí)任取n個(gè)球(a+bn),試求至少取出一個(gè)白球的概率P.解同時(shí)取出n個(gè)球,可看成不還原地連取n次,每次取一球,為了使n次中至少取出一白球,必須第一次就取得白球(概率為),或者第一次取得黑球,第二次取得白球(概率為？)，這些事件互不相容，由全概率公式有：P=+？+？四、全概率公式解決典型問(wèn)題在利用全概率公式解題時(shí)常遇到的就是關(guān)于求取到次品的概率或者射擊

10、的概率的問(wèn)題,下面將重點(diǎn)介紹以下幾個(gè)例子：?jiǎn)栴}6飛機(jī)有三個(gè)不同的部分遭到射擊,在第一部分被擊中一彈,或第二部分被擊中兩彈,或第三部分被擊中三彈時(shí),飛機(jī)才能被擊落,其命中率與每一部分的面積成正比.設(shè)三個(gè)部分的面積的百分比為0.1,0.2,0.7,若已被擊中兩彈,問(wèn)飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)8=飛機(jī)被擊落”，B是一個(gè)復(fù)雜的事件，問(wèn)P(B)等于多少.要構(gòu)造一個(gè)完備事件組,從飛機(jī)已被“中兩彈”入手,這兩彈擊中飛機(jī)三個(gè)部位的所有結(jié)果,便是一個(gè)完備事件組.設(shè)coij=第一彈擊中飛機(jī)的第i部分，第二彈擊中飛機(jī)的第j部分,i,j=1,2,3,所有的結(jié)果為：311,312,313,CO21,322,CO23,CO3

11、1,CO32,co33.設(shè)A1=飛機(jī)第一部分中兩彈,A1=co11A2=飛機(jī)第二部分中兩彈,A2=322A3=飛機(jī)第一部分只中一彈,A3=co12,co13,co21,co31A4=其他情況=第二部分最多中一彈=co33,co23,co32,A1,A2,A3,A4是一個(gè)完備事件組.因?yàn)槊新逝c每一個(gè)部分的面積成正比,所以P(A1)=P(co11)=0.1X0.1=0.01P(A2)=P(co22)=0.2X0.2=0.04P(A3)=P(co12,a13,co21,co31,)=P(co12)+P(co13)+P(co21)+P(co31)=0.1X0.2+0.1X0.7+0.2X0.1+0.

12、7X0.1=0.18P(A4)=1P(A1)+P(A2)+P(A32)=0.77或P(A4)=P(W33,a23,a32)=P(co33)+P(co23)+P(co32)=0.7X0.7+0.2X0.7+0.7X0.2=0.77由題意 TOC o 1-5 h z P(B|A1)=1,P(B|A2)=1,P(B|A3)=1,P(B|A4)=0.P(B)=P(B|Ai)=0.01+0.04+0.18=0.23即飛機(jī)被擊中兩彈,被擊落的概率為0.23.問(wèn)題7設(shè)甲袋中有2只紅球3只白球,從甲袋中任意摸出2球放入乙袋.現(xiàn)就乙袋而言,有放回地摸出3球,求摸出紅球數(shù)的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.分析從乙袋摸出的紅

13、球概率數(shù)X的可能取值為0、1、2、3,它們的概率是與乙袋中的紅白球數(shù)的分布情況有關(guān)的.我們可以將乙袋中的紅白球的分布情況劃分成若干不相容的事件就每種情況求出X=0、X=1、X=2、X=3的條件概率，然后由全概率公式就可解決問(wèn)題解用Ai(i=0,1,2)表示甲袋摸出的2球中紅球數(shù)為i的事件，P(A0)=P(A1)=P(A2)=當(dāng)A0發(fā)生時(shí),在乙袋中摸出一球時(shí)紅球的概率為0,則P(X=0|A0)=1P(X=1|A0)=0P(X=2|A0)=0P(X=3|A0)=0當(dāng)A1發(fā)生時(shí),在乙袋中摸出一球時(shí)紅球的概率為,則P(X=0|A1)=C3=P(X=1|A1)=C3=P(X=2|A1)=C3=P(X=3

14、|A1)=C3=當(dāng)A2發(fā)生時(shí),在乙袋中摸出一球時(shí)紅球的概率為1,則P(X=0|A2)=0P(X=1|A2)=0P(X=2|A2)=0P(X=3IA2)=1因?yàn)锳i(i=0,1,2)兩兩互不相容，且構(gòu)成樣本空間的一個(gè)分割，故由全概率公式得P(X=0)=P(A0)P(X=0|A0)+P(A1)P(X=0|A1)+P(A2)P(X=0|A2)=1X+x+xoP(X=1)=P(A0)P(X=1|A0)+P(A1)P(X=1|A1)+P(A2)P(X=1A2)=X0+X+xoP(X=2)=P(A0)P(X=2|A0)+P(A1)P(X=2|A1)+P(A2)P(X=2A2)=1X+x+xoP(X=3)=

15、P(A0)P(X=3|A0)+P(A1)P(X=3IA1)+P(A2)P(X=3A2)=X0+x+XI因此,從乙袋中摸出紅球數(shù)X的分布列為123EX=X0+X1+X2+X3=本例是一個(gè)很好的全概率公式應(yīng)用題,涉及到超幾何分布、二項(xiàng)分布等重要的概率公式的應(yīng)用,它能幫助學(xué)生提高綜合地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.另外,本例中的所有具體數(shù)據(jù)都可以推廣到一般的情形.如我們可將從乙袋中“重復(fù)3次摸球”改為“重復(fù)k次摸球”,此時(shí),從乙袋摸出的紅球數(shù)X的可能取值為0、1、2、k,仍然分三種情況：當(dāng)A0發(fā)生時(shí),在乙袋中摸出一球時(shí)紅球的概率為0,則P(X=0|A0)=1P(X=i|A0)=0i=1,2,k當(dāng)A1發(fā)生

16、時(shí),在乙袋中摸出一球是紅球的概率為,則P(X=iIA1)=Cki=0,1,2,k3) 當(dāng)A2發(fā)生時(shí)，在乙袋中摸出一球是紅球的概率為i =0,1,2,，k -1P(X = i | A2) = 0故由全概率公式得：P(X = i)即P(X = 0)=P(X = i) E(X) = x P(X= i) =x xc =x =x=x=x =P(X = i | Aj)X1+x( )kP(X = k) = x(xckk+ k X( k xc + k x ( k xc + k x ( k +k x( )k + k (2k-1-1 ) + k x(1,則P(X=K|A2)=1)k + xii =0,1,2,k -1)k+)k+)k+)k +原題的結(jié)果是此處k=3的情形.五、結(jié)束語(yǔ)以上這些問(wèn)題表明，某個(gè)事件B的出現(xiàn)存在各種不同的條件，這些條件稱為假定事件，記為A1、A2、An.這些假定事件是相斥且完備的.每個(gè)事件賦予事件B一定的概率P(BIA1),P(BIA2),，P(B|An).于是事件B出