2013級(jí)啟明學(xué)院上期期中試題參考答案

1、2013 級(jí)啟明學(xué)院一元分析學(xué)課程期中試題參考一. 對(duì)錯(cuò)錯(cuò)(1. 用數(shù)列和無窮大的定義可證明; 2. 間斷點(diǎn)是第一類的, 是可去間斷點(diǎn),因?yàn)閤0 , lim R(x) 0 , 見學(xué)習(xí)材料 p37 例 3.1.6; 3. 反例見學(xué)習(xí)材料 p89 思考 1)xx0二. 4. M 0 0, 0, x (a, a ), : | f (x ) | M 0 .5. 0 0, M 0, x1 , x2 M , :| f (x1 ) f (x2 ) | 0 .三. 6. f (x) 1 113 2x 1x 1(1)2013 (2013!) 220131f(x) (2013)(2x 1)(x 1)3201420

2、14f (2013) (0) 2013! 22013 1. .3注: 也可由 Taylor 公式來求得.dy cost cost t sin tdy tan t , 1.7.dx sin t sin t t costdx t 4222t 時(shí), x a(1),y x a(1) .4 切線方程為244y 2 a(1 ) x 2 a(1 ) ,y 2 a x.即24244d 2 y sec2 td 2 y8 2, .22adxat costdxt 4三. 8. 0 , 由11n 1 3 n | | 3(n 1)2n(n 1) 3 3n23 n23 1 1 1解得 n , 取 N (或 N 1), 則

3、n N ,有 n 1 3 n | .| 3故lim(3 n 1 3 n ) 0.nf (0) lim x cos 1 0,f (0) lim x 0 , f (0) 0 .9.x2x cosx0 x0 0 x 0.f (x) 2x,lim 2不存在x0lim f (x) 0 不存在.故 f (x) 在 x 0 處間斷.x0五. 10. 11!2 2! n n! (2 1) 1!(3 1) 2! (n 11) n! 2!3! (n 1)!(1!2! n!) (n 1)!1 limn1 原式 lim n(1) 1 0.(n 1)!n (n 1)!n注: 可用 Stolz 定理來做.22)211 .

4、 (1)x1 e x ln(1 x ) 2(x )2這里利用了等價(jià)關(guān)系et 1 t(t 0) 和 lim x ln(1 2.x( 2 o( 1 ) 2 2e2 .4原式 e2 lim xx ln(1x2x2x2x注: 上式中可令t 1/ x 后用 Hospital 法則.另解: 令t 1/ x , 則 x 時(shí)t 0 . 于是由 Hospital 法則得到11(1 2t) t e22t (1 2t) ln(1 2t)t 2 (1 2t)原式 lim lim(1 2t) t tt0t0 e2 lim 2t (1 2t) ln(1 2t) e2 lim 2 2 ln(1 2t) 2t 22tt 0t

5、 0 e2 lim ln(1 2t) 2e2 .t 0t六. 12. f (x) 在a,b) 上一致連續(xù), 0, 0, x1, x2 a,b) , 當(dāng)| x1 x2 | 時(shí)有| f (x1) f (x2 ) | .方法 1: 于是對(duì)上述 , z1, z2 (b ,b) 有| z1 z2 | , 從而有| f (z1 ) f (z2 ) | . 由Cauchy 收斂準(zhǔn)則, f (b 0) 存在.方法 2: 在區(qū)間a,b) 內(nèi)任取收斂于b 的點(diǎn)列xn , 由數(shù)列的Cauchy 收斂準(zhǔn)則, 對(duì)上述的 ,N , n, m N , 有| xn xm | . 因此| f (xn ) f (xm ) | (

6、n, m N ) ,即 f (xn ) 為 Cauchy 基本列, 從而收斂. 故, 由Heine 定理知 f (b 0) 存在.13. 由 f (0) f (2) 0 和 f (1) f (2) 0 知 f (0) f (1) 0 . 連續(xù)函數(shù) f (x) 依次在區(qū)間0,1 和1,2 上用零點(diǎn)定理, 存在 x (0,1), x (1,2) 使得 f (x ) 0 f (x ) . 令 h(x) eax f (x) ,1212則 h(x) 在區(qū)間x1 , x2 上連續(xù), 在(x1 , x2 ) 內(nèi)可導(dǎo), 且h(x1 ) 0 h(x2 ) . 由 Rolle 中值定理,(x , x ) (0,2

7、) , 使得 h() 0 .而 h(x) eax ( f (x) af (x) ,eax0 , 所以12f () af () 0 , 即 f () af ().f (1) (a a b )2 ,14. f (a) f ( a b ) f ( a b )(a a b ) (a, a b )1222222f (b) f ( a b ) f ( a b )(b a b ) (2 ) (b a b )2 , ( a b ,b)f22兩式相加, 得到22222(2 ) (b a) (b a)22 f (a) f (b) 2 f (f( ),2244其中1, 2 由 Darbourx 定理(導(dǎo)函數(shù)的介值性定理, 學(xué)習(xí)材料 p66, p79)得到. 證畢.f (x) 0 ,15. 因?yàn)?f (0) lim所以由函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 存在 0 , 使當(dāng)1x0 xx (1,0) 時(shí) f (x) 與 f (0) 反號(hào), 即 f (x) f (0) 0 . 又因?yàn)?f (x) 連續(xù), 所以存在2 0 ,使當(dāng) x (2 ,0) 時(shí) f (x) 與 f (0) 同號(hào). 取 min1, 2, 則 0 , 且當(dāng) x (,0) 時(shí)有 f (x) f (x) 0 . 同理,