建模與系統(tǒng)辨識

1、建模與系統(tǒng)辨識摘要：討論動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在運(yùn)用控制理論進(jìn)行自動(dòng)調(diào)節(jié)，控制動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模 型的構(gòu)建、描述及其分類。這個(gè)模型通過分類能夠?qū)５淖龀鲚^好的選擇，并 可按分布參數(shù)模型與集中參數(shù)模型作為區(qū)分模型類別的方式。系統(tǒng)辯識方法應(yīng)能 夠消去所有擾動(dòng)分量對系統(tǒng)的影響，而辨識方法的分類原則取決于所得數(shù)學(xué)模型 采用信號的形式。關(guān)鍵詞：建模；系統(tǒng)辮識；數(shù)學(xué)模型Modeling and System IdentificationAbstract: Discussing the dynamic system while using the control theory to carry on automatica

2、lly the construction, description and classification of the dynamic system mathematics model controlled. The model can classify and make better choice to different possibility of modeling. The system distinguishes the method and answers and can eliminate the influence of perturbations on the system,

3、 while the principle of distinguishing method category depends on the form of the signal of the mathematics model.Key words: modeling ;system identification； mathematics model1引言近年來，在許多過程控制領(lǐng)域，有關(guān)系統(tǒng)分析與建模的重要性日顯突出。尤 其在應(yīng)用控制理論與自動(dòng)化技術(shù)的工業(yè)系統(tǒng)中，如果沒有較為準(zhǔn)確的描述被控裝 置的數(shù)學(xué)模型，那么，其綜合控制算法是不可能實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)模型可以定義為:用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來描述被建模系統(tǒng)各物理量

4、之間的關(guān)系。 抽象數(shù)學(xué)模型的提出通常需要進(jìn)行各種簡化假設(shè)，其原因就是應(yīng)將系統(tǒng)的復(fù)雜性 限制在一個(gè)可以接受的范圍內(nèi)，并滿足模型的精度要求。模型可按分布參數(shù)模型 與集中參數(shù)模型來分類，在分布參數(shù)5模型中系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是以拋物、雙曲、 橢圓型各種偏微分方程來描述；而在集中參數(shù)模型中則以線性或非線性常微分方 程來描述。許多情況下，用分布參數(shù)模型描述的系統(tǒng)可簡化成復(fù)雜程度較低的集 中參數(shù)模型。通過辨識應(yīng)該能夠消去所有擾動(dòng)分量的影響。依照擾動(dòng)信號的類型，已經(jīng)提 出了許多不同的方法。某些情況下，簡單計(jì)算均值與回歸就足夠了。而在低頻非 平穩(wěn)分量的情形下，則需要用濾波方法，它們適合特定形式的擾動(dòng)信號。2建模2.

5、1數(shù)學(xué)建模必須遵守的原則（1）必須滿足對數(shù)學(xué)模型的精確性、簡明性、層次性、多用性、可靠性及標(biāo) 準(zhǔn)化等一般要求。（2）必須合理選擇模型的方法：計(jì)算機(jī)輔助建模法和系統(tǒng)辨識建模法現(xiàn)在比 較廣泛的使用。（3）數(shù)學(xué)建模經(jīng)常考慮：模型功能能否滿足所研究問題的需要？模型是否合 理、經(jīng)濟(jì)、容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定？是否達(dá)到預(yù)期的模型精度要求？等等1。2.2建模的目的建模的目的是以所建的模型為基礎(chǔ)，進(jìn)一次做出各種研究與決策，所以，模 型必須采取適合于應(yīng)用目的的形式。一般來說，一個(gè)過程的模型總應(yīng)比現(xiàn)實(shí)的過 程來得簡單，所以也可以說，模型是適當(dāng)?shù)亟档土藦?fù)雜程度的現(xiàn)實(shí)過程（或事物）， 主要方面的代表。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)本質(zhì)特

6、征的數(shù)學(xué)抽象，是建立系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)之間以及 與外作用之間最主要的相互作用、相互制約的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立模型主要目的有以下四個(gè)方面：研究在科學(xué)研究中，為了掌握事物發(fā)展與變化規(guī)律，以便更全面地更深刻的了解 它、研究它，現(xiàn)象的認(rèn)識和素材，抽象與提高成理性的東西。被抽象出來的代表 事物本質(zhì)的模型。在工程實(shí)際中，一旦建立了系統(tǒng)模型后，就可以對該系統(tǒng)的動(dòng)、 靜態(tài)特性有更深入全面的了解，有助了理解過程中所獲得的數(shù)據(jù)；提供探索和分 析不同工作條件及各種參數(shù)對該對象工作的影響，以便進(jìn)一步改進(jìn)系統(tǒng)及創(chuàng)造新 的系統(tǒng)。設(shè)計(jì)與計(jì)算在設(shè)計(jì)工作中，對被設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，其中特別是比較復(fù)雜的系統(tǒng)，常常要進(jìn)行 模擬、仿真等研究，以便比較

7、各種設(shè)計(jì)方案及選取合理的參數(shù)，使所設(shè)計(jì)的系統(tǒng) 達(dá)到設(shè)計(jì)的要求(如穩(wěn)定件、安定性、精度、產(chǎn)量等)。采用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的就稱為 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。模型的建立就為以上工作提供了基礎(chǔ)。通過模型化，使系統(tǒng)能 進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。例如，只有確定了控制系統(tǒng)的模型的前提下，才有可能采用各種 最優(yōu)化的方法.對系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)分析和計(jì)算，才有可能綜合最優(yōu)控制的算法。調(diào)查與預(yù)測在工程實(shí)際中，最常見的應(yīng)用系統(tǒng)模型的場合之一是調(diào)查與預(yù)測工程實(shí)際系 統(tǒng)工作的狀況與性能。眾所周知，一個(gè)工程系統(tǒng)的控制和運(yùn)行水平，在很大程度 上取決于人們事先對于該系統(tǒng)特性的掌握和認(rèn)識程度。建立正確的系統(tǒng)模型，有 肋于顯著地提高系統(tǒng)的控制和運(yùn)行水平。在建立模型

8、的基礎(chǔ)上，對各種控制和運(yùn) 行方式進(jìn)行系統(tǒng)的模擬研究，這是利用模型進(jìn)行調(diào)查和預(yù)測的主要手段之一。對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行控制在某些計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，需要將代表系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律等的數(shù)學(xué)模型儲(chǔ)存在汁 算機(jī)中，對這些系統(tǒng)進(jìn)行在線的最優(yōu)控制等。這些系統(tǒng)如塑料加工的注射機(jī)、數(shù) 控機(jī)床等自適應(yīng)控制、導(dǎo)彈的軌跡控制等等。所以在這里必須用分析法線辨識法 求出所要求的數(shù)學(xué)模型。3動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式要對動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行辨識，選擇合適的數(shù)學(xué)模型是很重要的。用作系統(tǒng)辨識的 數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該使被辨識的參數(shù)盡量少，計(jì)算工作員盡可能小，同時(shí)數(shù)學(xué)模型本 身簡單、使用方便。用作系統(tǒng)辨識的數(shù)學(xué)模型有連續(xù)型，如通常的微分方程離散型，如差分方程；時(shí)域型

9、，如微分方程，頻域型，如通常的傳遞函數(shù)。作為系統(tǒng) 辨識最常用的數(shù)學(xué)模型，在時(shí)域型中，有脈沖響應(yīng)函數(shù)、線性差分方程、狀態(tài)變 量方程等。這些方程各有特點(diǎn)，但它們都是可以相互轉(zhuǎn)換的。因?yàn)橥ǔＯ到y(tǒng)辨識 都在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，因此離散型數(shù)學(xué)模型用得最為廣泛。下面就以微分 方程與傳遞因數(shù)為例來說明。dy%無* （1）在古典控制理論中，微分方程式是用來描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的一種重要數(shù)學(xué)表 達(dá)式。輸入量為u（t），輸出量y（t），一個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式可 寫成：dnydn-1 yao 亦 +_% dtm-1 + b un-1b dn-1U + b dn-2 U + 0 dtu-11 dtn - 2

10、若令p=d稱為微分算子，則上式可改寫成dt.+ a py + a y + b u n-1+ a p + a ) y+ b )un-1a pny + a pn-1 y + . =b pn-1u + b pn-2U + (a pn + a pn-1 + =(b pn-1 + b pn-2 + .上式可寫成：y(t)b pn-1 + b pn-2 +U(t) a pn + a pn-1 +.+ bn-1+ a p + an - 1n（2）當(dāng)玄 a ，a，.，a ，b ，b，b 勺 #7 當(dāng)系數(shù)01 n 0 1 n均為常數(shù)，則稱為線性定常（時(shí)不變）系統(tǒng)，若它們是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)。設(shè)初始值

11、為零，將式（2）中p用s代替，則得傳遞函數(shù)為：.+ bH+ a s + an - 1 n（3）Y(s)b Sn-1 + b Sn-2 +U(s)a sn + a sn-1 +.=G (s)01所以傳遞函數(shù)是輸出量與輸入量的拉氏交換之比。式（3）可分解為如下形式:(4)(s - z )(s - z )(s - z )(s - z )G (s) = K123n-(s 一 r )(s 一 r )(s 一 r )(s 一 r )令上式分母部分等于零，就是系統(tǒng)的特征方程式，其根個(gè)I.?為G(s)的極點(diǎn)。G(s)的分子部分的根年z2,.七1稱為零點(diǎn)，這些極點(diǎn)與零點(diǎn)的形式(是復(fù)數(shù)還是實(shí) 數(shù))及數(shù)值就決定了系

12、統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性3。4系統(tǒng)辨識4.1系統(tǒng)辨識的基本思想系統(tǒng)辨識的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行或試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)，按照給定的“系統(tǒng) 等價(jià)準(zhǔn)則”從一群候選數(shù)學(xué)模型集合中，確定給一個(gè)與系統(tǒng)特性等價(jià)的數(shù)學(xué)模型。 由于實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)理往往是未知的，因此依據(jù)“系統(tǒng)等價(jià)準(zhǔn)則”得到的模型大多 只是實(shí)際系統(tǒng)模型的某種近似，而不是準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型。所以，辨識模型一般也 稱為系統(tǒng)名義模型。依據(jù)上述系統(tǒng)辨識的基本思想，系統(tǒng)辨識包括三個(gè)主要因素，即候選數(shù)學(xué)模 型集，辨識準(zhǔn)則及辨識算法。4.2辨識的對象與問題在控制過程中出現(xiàn)擾動(dòng)將使系統(tǒng)的輸出信號受到影響，要依據(jù)所量測到的輸 人與輸出信號去確定準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，具有相當(dāng)大的困難。因此，必須

13、提出一種 方法，依憑它可將輸出信號分成含有信息的部分以及源于擾動(dòng)的部分。辨識方法應(yīng)該能夠消去所有擾動(dòng)分量的影響。依照擾動(dòng)信號的類型，已經(jīng)提 出了許多不同的方法。某些情況下，簡單計(jì)算均值與回歸就足夠了。而在低頻非 平穩(wěn)分量的情形下，則需要用濾波方法，它們適合特定形式的擾動(dòng)信號。如果不能做到無誤差地量測輸人與輸出信號，那么過程現(xiàn)在還不能辨識。而 如果僅僅是輸出信號受量測誤差影響，這些誤差又疊加于輸出信號之上，則不會(huì) 發(fā)生新的困難。過程辨識的關(guān)鍵問題是使過程與模型之間的誤差盡可能地小。4.3辨識的內(nèi)容和步驟明確辨識目的。它決定模型的類型、精確要求及采用辨識方法。（2）掌握先驗(yàn)知識。先驗(yàn)知識如系統(tǒng)的非

14、線性程度、時(shí)變或非時(shí)變、比例或 積分特性、時(shí)間常數(shù)、過度過程時(shí)間、截止頻率，這些等等先驗(yàn)知識對預(yù)選系統(tǒng) 數(shù)學(xué)模型種類和系統(tǒng)辨識試驗(yàn)設(shè)計(jì)將起到指導(dǎo)性的作用。（3）利用先驗(yàn)知識。選定和預(yù)測被辨識系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型種類，確定實(shí)驗(yàn)前假定 模型。（4）試驗(yàn)設(shè)計(jì)。記錄輸入和輸出數(shù)據(jù)。如果系統(tǒng)是連續(xù)運(yùn)行的，并且不允許 加入試驗(yàn)信號，則只好用正常的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識。（5）數(shù)據(jù)預(yù)處理。零均值化可采用差分法和平均法等方法，消除高頻成分可 采用低通濾波器。（6）模型結(jié)構(gòu)辨識。在假定模型結(jié)構(gòu)的前提下，利用辨識方法確定模型結(jié)構(gòu) 參數(shù)，如差分方程的階次n和純遲延d等。（7）模型參數(shù)辨識。在模型結(jié)構(gòu)確定后，選擇估計(jì)方法，利用測量

15、數(shù)據(jù)估計(jì) 模型中的未知參數(shù)。（8）模型檢驗(yàn)。驗(yàn)證所確定的模型是否當(dāng)?shù)乇硎玖吮槐孀R的系統(tǒng)4。4.4系統(tǒng)辨識的應(yīng)用及發(fā)展目前系統(tǒng)辨識已成為各門學(xué)科數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)代工程方法，也是系統(tǒng)理論和現(xiàn) 代控制理論的重要分支。它被廣泛用于系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)、仿真、預(yù)報(bào)、控制、管 理和決策等等。隨著各門學(xué)科研究方法的日趨定量化和相關(guān)科學(xué)技術(shù)及其它理論 的快速發(fā)展，系統(tǒng)辨識理論和技術(shù)正在蓬勃發(fā)展，應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大。如果說， 對于系統(tǒng)辨識的過去式基本理論研究和一般工程應(yīng)用階段，那么今后將是更深入 地研究和大范圍復(fù)雜工程應(yīng)用，并廣泛滲透到醫(yī)學(xué)、環(huán)保、經(jīng)濟(jì)等工程領(lǐng)域。這 里非線性系統(tǒng)辨識，多變量開環(huán)或閉環(huán)系統(tǒng)辨識、高維數(shù)時(shí)變系統(tǒng)辨識、整體和 多級辨識以及辨識的可分離性理論與應(yīng)用研究是及其重要的發(fā)展方向。5結(jié)論在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)還是不存在的，這樣就無法用辨識的方法來確定數(shù)學(xué) 模型。這種情況，只能依靠理論來分析的方法來建立數(shù)學(xué)模型。為設(shè)計(jì)提供依據(jù)。 在討論系統(tǒng)辨識的時(shí)候，不能否定理論方法