單自由度系統(tǒng)的自激振動(dòng)與受迫振動(dòng)課件

1、 第5章 單自由度系統(tǒng)的自激振動(dòng)學(xué)習(xí)要點(diǎn) 自激振動(dòng)的定義和研究?jī)?nèi)容 極限環(huán)及其物理意義 范德波爾方程2003-4-5 第5章 自主學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1 什么是自激振動(dòng)？它的特征有哪些？2 舉一實(shí)例說(shuō)明自激振動(dòng)系統(tǒng)是如何組成的？3 自激振動(dòng)“常能源”中的“?！钡暮x是什么？4 具有干摩擦力矩的弗洛凱擺？5 離心式風(fēng)機(jī)管道脈動(dòng)式振動(dòng)問(wèn)題（喘振）?2003-4-5 第5章 自主學(xué)習(xí)指導(dǎo) 6 何謂“極限環(huán)” ？極限環(huán)的存在條件是什么? 7 閉軌道與極限環(huán)是一回事嗎？ 8 龐加萊指數(shù)的內(nèi)涵是什么? 9 如何用龐加萊指數(shù)定理判別極限環(huán)的存在性？ 10 范德波爾方程描述了什么物理現(xiàn)象？2003-4-5 第5章 單自

2、由度系統(tǒng)的自激振動(dòng) 對(duì)線性阻尼振動(dòng)系統(tǒng), 周期運(yùn)動(dòng)只能由周期性驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生; 而對(duì)非線性自激振動(dòng)系統(tǒng), 即使在非周期性變化的能源供給下, 它亦能產(chǎn)生嚴(yán)格的周期運(yùn)動(dòng). 自激系統(tǒng)是一個(gè)非線性有阻尼的振動(dòng)系統(tǒng), 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中伴隨有能量損耗, 但系統(tǒng)存在一種機(jī)制, 使能量能夠由非振動(dòng)的能源通過(guò)系統(tǒng)本身的反饋調(diào)節(jié), 及時(shí)適量地得到補(bǔ)充, 從而產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的不衰減的周期運(yùn)動(dòng). 這樣的振動(dòng)稱為自激振動(dòng). 2003-4-5 第5章 單自由度系統(tǒng)的自激振動(dòng)三極管振蕩系統(tǒng)的范德波爾方程 相軌道方程2003-4-5 第5章 單自由度系統(tǒng)的自激振動(dòng) 給出任一初始條件, 通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值求解, 可以證明它的相軌道都將趨向于

3、一條閉合曲線, 這一條閉合曲線, 稱為極限環(huán)。 2003-4-5第6章 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)1線性單擺的受迫振動(dòng)2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)3. 龐加萊截面 4. 單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)主要內(nèi)容2003-4-5 驅(qū)動(dòng)單擺方程驅(qū)動(dòng)力寫成指數(shù)這是非齊次線性微分方程,其通解是它的齊次線性方程的通解和它一個(gè)特解之和。1. 齊次方程的通解: 類似線性阻尼單擺，得：2. 非齊次方程的特解: 設(shè)求導(dǎo)：消去公因子 小擺角驅(qū)動(dòng)單擺的通解代入1線性有阻尼單擺的受迫振動(dòng)2003-6-1代入r、j 以后特解為：非齊次線性微分方程的通解第一項(xiàng)隨時(shí)間衰減，經(jīng)一段時(shí)間后第一項(xiàng)將衰減到零，最后僅剩下第二部分：衰減過(guò)程常稱為過(guò)渡過(guò)程。1

4、線性有阻尼單擺的受迫振動(dòng)小擺角驅(qū)動(dòng)單擺的通解2003-6-1諧振特性1線性有阻尼單擺的受迫振動(dòng)研究幅頻特性：將分母根號(hào)下對(duì)頻率求導(dǎo)并令其等于零：共振頻率nr小于系統(tǒng)自振頻率w，共振時(shí)的最大振幅為：共振時(shí)最大振幅與阻尼有關(guān)共振頻率2003-6-11. 受驅(qū)杜芬方程 （F cosnt 驅(qū)動(dòng)力）由單擺方程 2. 方程解 設(shè)一次近似解 （A,j 為待定常數(shù)）A,j由下述方程組求出：其中2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)杜芬方程解改寫2003-6-12. 方程解(續(xù)) 討論穩(wěn)態(tài)2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)杜芬方程解積分2003-6-12. 方程解(續(xù)) 考慮近共振： 2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)杜芬方程解等效自振頻率20

5、03-6-12. 杜芬方程的受迫振動(dòng)諧振特性 單擺 杜芬方程 等效自振頻率隨振幅增加而減小自振頻率是常數(shù)由于自振頻率隨振幅增加而減小，共振峰發(fā)生“傾倒”現(xiàn)象，形成了向左的S形曲線。2003-6-1 驅(qū)動(dòng)頻率n由小到大增加，共振點(diǎn)由1移至2。到達(dá)2后，振幅向上跳變到3。n值時(shí)到達(dá)點(diǎn)4后，振幅又發(fā)生一次跳變，由4一下跳到最低值。 一些異常諧振特性現(xiàn)象：(1) 自動(dòng)限幅現(xiàn)象 共振振幅 A 為一有限值：(2) 多值共振解現(xiàn)象 在 區(qū)域，一個(gè)n 值對(duì)應(yīng)著三個(gè)A值，即共振解有三個(gè) q，r，s。(3) 跳躍反相現(xiàn)象 當(dāng) 時(shí)，j = 0，共振解在共振線上；當(dāng) 時(shí)，j 0。2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)諧振特性200

6、3-6-1 杜芬方程有異常頻率特性，在 間有3個(gè)解。它們的穩(wěn)定性如何？穩(wěn)定性判據(jù)為：在 區(qū)域，解穩(wěn)定性條件為： ，否則解是不穩(wěn)定的；在 區(qū)域，解穩(wěn)定性條件為： ，否則解是不穩(wěn)定的； 以這兩個(gè)判據(jù)來(lái)衡量，圖中的 q，r，s 三個(gè)解中解 q，s 是穩(wěn)定的，解 r 是不穩(wěn)定的。 無(wú)阻尼杜芬振子的軌線 阻尼杜芬振子的軌線相圖2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)2003-6-1龐加萊截面與龐加萊映射 相圖可把非線性系統(tǒng)的狀態(tài)形象地描繪出來(lái)，但是隨阻尼力與驅(qū)動(dòng)力的加入，其相圖也會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜。例如，即使是弱驅(qū)動(dòng)力與弱阻尼單擺-杜芬方程，相圖已復(fù)雜多了。龐加萊在相空間里取一常數(shù)坐標(biāo)截面，稱為龐加萊截面，研究相軌線與該

7、截面的交點(diǎn)，用以分析系統(tǒng)的復(fù)雜行為。在n 維相空間里取一個(gè)n-1維面。相軌線通過(guò)截面時(shí)留下點(diǎn)的一幅圖象反映了軌線運(yùn)行情況。人們將時(shí)間上的連續(xù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的圖象處理方法稱為龐加萊映射。3.龐加萊映射2003-6-1 單周期運(yùn)動(dòng)，軌線每次重復(fù)地運(yùn)行在原有軌道上，它總是在截面的同一位置穿過(guò)，截面上只留下一個(gè)點(diǎn)。兩倍周期運(yùn)動(dòng)，每個(gè)周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過(guò)，截面上留下兩個(gè)點(diǎn)；四周期運(yùn)動(dòng)，每個(gè)周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過(guò)，截面上就留下四個(gè)點(diǎn)；推廣到無(wú)周期運(yùn)動(dòng)，截面上將出現(xiàn)留下無(wú)窮多點(diǎn)。 3.龐加萊映射龐加萊截面與軌線運(yùn)動(dòng)2003-6-13.龐加萊映射龐加萊截面與軌線運(yùn)動(dòng)單周期運(yùn)動(dòng)，軌線每次重復(fù)地運(yùn)

8、行在原有軌道上，它總是在截面的同一位置穿過(guò)，截面上只留下一個(gè)點(diǎn)。兩倍周期運(yùn)動(dòng)，每個(gè)周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過(guò)，截面上留下兩個(gè)點(diǎn)；四周期運(yùn)動(dòng)，每個(gè)周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過(guò)，截面上留下四個(gè)點(diǎn);無(wú)周期運(yùn)動(dòng)，截面上將出現(xiàn)留下無(wú)窮多點(diǎn)。2003-6-1單擺的三維相空間3.龐加萊映射阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)方程可化成三個(gè)方程：用三個(gè)變量q, j, w 組成三維相空間相角j有周期性，把2 np 和2(n+1)p 平面連接起來(lái)，相空間擴(kuò)展為圓環(huán)。原來(lái)園形軌線成了在圓環(huán)面的環(huán)線。取某常數(shù)位相，即在該位相處截取一平面，環(huán)線在穿過(guò)時(shí)留下了一個(gè)點(diǎn)。2003-6-1它的相圖有一個(gè)奇怪吸引子(無(wú)周期運(yùn)動(dòng))。相軌線繞著該吸引

9、子一圈又一圈地不仃地轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果相空間的軌線越來(lái)越復(fù)雜。圖中那一團(tuán)相軌線就是在繞了1000圈后在該吸引子附近的形狀。右下角是龐加萊截面圖，圖形不僅簡(jiǎn)單得多，而且顯示出某種結(jié)構(gòu)。由龐加萊截面圖可見(jiàn)，轉(zhuǎn)子的相軌線盡管極其復(fù)雜，但它不是毫無(wú)規(guī)律的，而是具有某種內(nèi)在的規(guī)律性在內(nèi)。受驅(qū)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)3.龐加萊映射2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)小驅(qū)動(dòng)力單擺 阻尼單擺方程為： 小驅(qū)動(dòng)力作用 作小幅度振動(dòng) 由線性受驅(qū)單擺 知解為： 微分 后得由這兩式得軌線方程2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力單擺的相軌線方程是橢圓方程。說(shuō)明：1. 在小驅(qū)動(dòng)力下單擺的相軌線是閉合橢圓曲線2. 說(shuō)明小驅(qū)動(dòng)力受驅(qū)

10、阻尼單擺存在一個(gè)周期吸引子。3. 驅(qū)動(dòng)頻率及阻尼力系數(shù)為定值時(shí)，橢圓的半徑驅(qū)動(dòng)力矩 F 增大而增大，(即擺角在增大)。小驅(qū)動(dòng)力單擺2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)當(dāng)小擺角近似已不再適用時(shí), 相軌線要用數(shù)值計(jì)算求得。取b1/4，n2/3為定值，F(xiàn) 由小到大取一系列數(shù)值。1. 附近的對(duì)稱性破缺 a. 小擺角的對(duì)稱橢圓在 附近變?yōu)榈靶?，說(shuō)明這里發(fā)生了對(duì)稱性破缺； b. 蛋形的朝向與相角的取值有關(guān)； c. 這時(shí)單擺仍作單周期運(yùn)動(dòng)，在龐加萊截面上是一個(gè)單點(diǎn)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果2 F = 1.093 附近的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)： a.當(dāng)驅(qū)動(dòng)力繼續(xù)上升時(shí),相軌線偏

11、離閉合的單周期軌道，復(fù)雜化起來(lái)。 b.在F = 1.093時(shí)相圖上，相軌線雖在-p,p的單擺勢(shì)谷來(lái)回環(huán)繞，但始終無(wú)法達(dá)到周期重復(fù)狀態(tài)。 c.在龐加萊截面上，相點(diǎn)處一條曲線上，可以認(rèn)定系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài)（接近正確的周期運(yùn)動(dòng)）。 d.龐加萊截面上的圖形與所取截面的位置(即相角)有關(guān)。2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果3. F = 1.15 附近的混沌狀態(tài) a. 運(yùn)動(dòng)已擴(kuò)展到勢(shì)谷 兩側(cè)的勢(shì)谷內(nèi)。 b. 運(yùn)動(dòng)會(huì)在一個(gè)勢(shì)谷內(nèi)繞上幾圈，然后隨機(jī)地進(jìn)入到相鄰的勢(shì)谷內(nèi)再繞上 幾圈，往復(fù)不已。 c. 在龐加萊截面上，相點(diǎn)已離開(kāi)曲線擴(kuò)散開(kāi)來(lái)。 2003-6-14. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)結(jié)論 綜上所述，受驅(qū)單擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有如下特點(diǎn)： (1) 在小驅(qū)動(dòng)力下，單擺作規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩增加到某臨界值時(shí)，單擺從周期