實習作業(yè)走進微積分 (2)

1、走進微積分高中數(shù)學人教A版選修1-1第三章實習作業(yè)授課教師：盧向英授課班級：高二（4）班工作單位：金昌市第四中學一、人物簡介 微積分的創(chuàng)立者牛頓萊布尼茲一、人物簡介 牛頓(16431727)：是英國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，是十七世紀最偉大的科學巨匠.代表作品有自然哲學的數(shù)學原理.牛頓于 1642 年出生于一個貧窮的農(nóng)民家庭，艱苦的成長環(huán)境造就了人類歷史上的一位偉大的科學天才，他對物理問題的洞察力和他用數(shù)學方法處理物理問題的能力，都是空前卓越的.盡管取得無數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德. 一、人物簡介 萊布尼茲（Leibniz，16461716）是德國數(shù)學家、哲學家、自然科學家.他出身書香

2、門第，其父是萊比錫大學的哲學教授.他自幼聰明、勤奮、好學，是罕見的神童，15 歲（1661 年）考入萊比錫大學學習法學，并鉆研哲學與數(shù)學，18 歲（1664 年）獲得哲學碩士學位，20 歲（1666）年獲得法學博士學位，爾后從事外交事務，他是在和許多數(shù)學家的接觸中學習數(shù)學知識并開始從事微積分研究的.二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分時所做的開創(chuàng)性工作 牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲.萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的. 萊布尼茲認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技

3、巧是數(shù)學成功的關鍵之一.因此，他所創(chuàng)設的微積分符號遠遠優(yōu)于牛頓的符號（現(xiàn)在微積分通用的符號是萊布尼茲所創(chuàng)設的），這對微積分的發(fā)展有極大影響.三、微積分簡介微積分學（differential andintegralcalculus）是微分學和積分學的總稱.它是一種數(shù)學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分，無線就是極限.因此內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學、積分學及其應用.函數(shù)是微積分研究的基本對象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限.17世紀后半葉，英國數(shù)學家艾薩克.牛頓和德國數(shù)學家G.W.萊布尼茲，總結和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點是

4、直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴密的理論基礎.19世紀A.-L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎上；加之19世紀后半葉實數(shù)理論的建立,又使極限理論有了嚴格的理論基礎,從而使微積分的基礎和思想方法日臻完善.三、微積分簡介數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分學和積分學也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的

5、傳入，以及拜占庭帝國復滅后希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現(xiàn)出一個完全嶄新的面貌.三、微積分簡介而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實踐的發(fā)展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的，因而也推動的數(shù)學的發(fā)展.科學對數(shù)學提出的種種要求，最后匯總成多個核心問題：（1）運動中速度與距離的互求問題；（2）求曲線的切線問題；（3）求長度、面積、體積、與重心問題等 ；（4）求最大值和最小值問題；四、古代微積分公元前三世紀，古希臘數(shù)學的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積，螺旋下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的

6、體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想.對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的！莊周所著的莊子一書的“天下篇”中記有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”荀況（前313-238）的荀子大略中“盡小者大，積微者著”一語（使我們想起荀子的另一些名言:“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！保蝗龂鴷r期劉徽的“割圓術”.五、微積分的研究對象以及基本概念研究對象：函數(shù)的微分、積分、極限以及有關概念和應用；基本概念：極限、導數(shù)、積分等.1.極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的

7、值（極限值）.極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述.在現(xiàn)代的數(shù)學分析教科書中，幾乎所有基本概念（連續(xù)、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上.2.導數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎概念.當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.一個函數(shù)存在導數(shù)時，稱這個函數(shù)可導或者可微分.可導的函數(shù)一定連續(xù).不連續(xù)的函數(shù)一定不可導.導數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程，導數(shù)的四則運算法則來源于極限的四則運算法則.五、微積分的研究對象以及基本概念五、微積分的研究對象以及基本概念 不定積分：在微積分中，一個函數(shù)f的不定積分，或原函數(shù)，或反導數(shù)，是一個導數(shù)等于f 的函數(shù) F

8、，即F = f.不定積分和定積分間的關系由微積分基本定理確定.其中F是f的不定積分.這樣，許多函數(shù)的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行. 設F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+ C(C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分,記作f(x)dx或者f（高等微積分中常省去dx),即f(x)dx=F(x)+ C.其中叫做積分號,f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分.五、微積分的研究對象以及基本概念六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積

9、的無限小方法；積分與微分的互逆關系.最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的.前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻.對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的.六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分的創(chuàng)立，與其說是數(shù)學史上，不如說是人類歷史上的一件大事.時至今日，它對工程技術的重要性就像望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學一樣.它的出現(xiàn)并不偶然，它有一個漫長的成長過程.早在古希臘時代，阿基米德等人的著作就已含有積分學的萌芽.以后經(jīng)過一千多年的沉寂，歐洲在文藝復興以后對阿基米德的學說重新掀起研究的熱潮，涌現(xiàn)出許多先驅(qū)者

10、.而微積分真正的確立是在17世紀，從笛卡兒的解析幾何開始，接著是微積分的創(chuàng)建，它將數(shù)學的歷史帶入一個新的時期變量數(shù)學時期.歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命.六、微積分的創(chuàng)立和發(fā)展 微積分在數(shù)學發(fā)展史上可以認為是一個偉大的成就，由于微積分的創(chuàng)立不僅解決了當時的一些重要的科學問題，而且由此產(chǎn)生了數(shù)學的一些重要分支，如微分方程、無窮級數(shù)、微分幾何、變分法、復變函數(shù)等. 微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績.在微積分的創(chuàng)立過程中，牛頓、萊布尼茲以無窮思想

11、為據(jù)，成功地運用無窮小、無限過程進行運算，他們的努力和成就為極限思想的進一步發(fā)展和完善奠定了堅實的基礎而多方面的懷疑和批評，促使數(shù)學家們掀起了微積分乃至整個分析的嚴格化運動，進而使極限理論得到了完善.七、微積分思想的一些代表性工作劉徽于公元263年首創(chuàng)割圓術求圓面積和方錐體積;中國古代數(shù)學家利用割圓術用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積的方法求圓周率;古希臘數(shù)學家阿基米德在拋物線求積法中用究竭法求出拋物線弓形的面積;意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何中把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的.八、微積分在現(xiàn)實生活中的應用1.設計師在設計鋼板需要用微積分計算不規(guī)則物體的表面積、體積等這樣不但節(jié)省材料還能保證質(zhì)量.2.導彈發(fā)射、衛(wèi)星、航天飛機、宇宙飛船、天文學中計算引力做功、軌道及運營情況等.3.設計拱橋、天氣預報、計算盈利情況、投資風險、期望值、回報率、保險行業(yè).九、微積分的有關書籍微積分學教程 -菲赫金哥爾茨 微積分與比薩餅 -（美）克利福德 A皮科夫 微積分之屠龍寶刀(笑傲極限連續(xù)導數(shù)積分法) -(美國)C亞當斯等著、張菽譯高等數(shù)學（一）微積分 -高汝熹十、總結