探究與發(fā)現(xiàn)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系 (5)

1、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像之間的 關(guān) 系 及 應(yīng) 用1.敘述反函數(shù)的定義： 一般地，函數(shù)y=f(x)(xA )中,設(shè)它的值域?yàn)镃,我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系, 用y把x表示出來得到x = (y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過x = (y)在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么, x = (y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x = (y),(yC)叫做函數(shù)y=f(x) ,(xA)的反函數(shù)，記作 x = f 1(y)字母x、y互換，得 y=f-1(x)一、復(fù)習(xí)提問：求反函數(shù)的基本步驟：.由y=f(x)出發(fā)，用y表示x,解出x = f1(y); .將x，y互換得到y(tǒng) = f1(x);

2、.指出反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域).反解 互換寫出定義域 2、求反函數(shù)有哪些基本步驟？解：函數(shù)y=2x2-3(xR)沒有反函數(shù)； 因?yàn)樗皇怯梢灰挥成錁?gòu)成的函數(shù)； 當(dāng)把定義域改寫為0,+)或(-,0時(shí)它才有反函數(shù). 4、函數(shù)y=2x2-3(xR)有沒有反函數(shù)？為什么？如何改寫定義域才能使其有反函數(shù)？3、點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .（b, a）（即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)換位置）例1 、求函數(shù)y=3x-2(xR)的反函數(shù)，并且畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象。解： y=3x-2 函數(shù)y=3x-2(xR)的反函數(shù)為y= x 0 y -2 0 x -2 0 y 0 x=1-2-

3、11-1-2xyy=3x-2二、講授新課首先我們來研究互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系（xR) 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間是否具有某種對(duì)稱關(guān)系? 它們的兩個(gè)函數(shù)圖象是以直線y=x為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形。給出定理： 函數(shù) y = f ( x ) 的圖象與它的反函數(shù) y = f 1 ( x ) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱。問題：回答：注：1）這個(gè)結(jié)論是由特殊到一般歸納出來的，并未經(jīng)過嚴(yán)格證明，為不增加難度，現(xiàn)在不作證明。2）這個(gè)結(jié)論是在同一坐標(biāo)系下，且橫軸（x軸）與縱軸（y軸）長(zhǎng)度單位一致的情況下得出的。3）函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f1(x)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱； 函數(shù)y=f

4、(x)與函數(shù)x=f1(y)互為反函數(shù)，圖像相同。4）如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y = x 對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-2 函數(shù)y=f-1(x)與函數(shù)x=f-1(y)是同一函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱例2 、求函數(shù)y=x3(xR)的反函數(shù)，并畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象.xy由函數(shù)(x R)，得所以函數(shù)(x R)的反函數(shù)是：解：3xy= 注：當(dāng)已知函數(shù)y=f（x）的圖象時(shí)，利用所學(xué)定理，作出它關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，就是反函數(shù)y=f1（x）的圖象。練習(xí)1： 畫出函數(shù)y=x2(x0,+)的圖象，再利用對(duì)稱性畫出它的反函數(shù)的圖象.9410y3210

5、x3210y9410 xxy例3、若點(diǎn)P（1，2）在函數(shù) 的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值。解：由題意知，P（1，2）在函數(shù) 的反函數(shù)的圖象上，根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的性質(zhì)知，點(diǎn)P1（2，1）也在函數(shù) 的圖象上。因此，得解得，a=3，b=7 然后我們利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系來解決相應(yīng)問題練習(xí)2：如果y=f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），那么y=f-1(x)1的圖象過點(diǎn)_ 分析：由y=f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），知y=f-1(x)的圖像過點(diǎn)（2，1），而y=f-1(x)1的圖像是由y=f-1(x)的圖像向下平移1個(gè)單位得到的，故y=f-1(x)1的圖象過點(diǎn)

6、（2,0)(2,0)練習(xí)3：如果一次函數(shù)y=ax+2與y=3x-b的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求a,b的值解：據(jù)題意， y=ax+2與y=3x-b互為反函數(shù)， y=3x-b的反函數(shù)為：比較系數(shù)得：三、課堂小結(jié)1、函數(shù) y = f ( x ) 的圖象與它的反函數(shù) y = f 1 ( x ) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱。2、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f -1(x)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)x=f -1(y)為互為反函數(shù)，圖像相同。函數(shù)y=f -1(x)與函數(shù)x=f -1(y)是同一函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱4、如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y = x 對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)；5、如果一