金陵中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)檢測卷28教師版

1、金陵中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)檢測卷(28)、填空題(本大題共 14小題，每小題 5分，計(jì)70分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上)設(shè)全集 U = x|xv 5, xC N*,集合 A=1, 3 , B=3, 4,則 Cu(AU B) =A 已知i是虛數(shù)單位，若 復(fù)數(shù)z=(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù) a的值為函數(shù)f(x) = 4x+log2(1 x)的定義域?yàn)?4.從甲，乙，丙，丁 4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲？乙兩人中有且只一個(gè)被選取的概率為5.對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量(單位:克)進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為 檢測結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn) 品質(zhì)量在區(qū)間25, 30)內(nèi)為一

2、等品，在區(qū)間20, 25)和30, 35)內(nèi)為二等品，其余為次品.則樣本中次品件數(shù)為.800,如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的 若拋物線y2=2px(p0)b的值為 .x2y2 1的右的焦點(diǎn)恰好是雙曲線5 -4焦點(diǎn)，則P=.如圖，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，上，下底面為平行四邊形，E為棱CD的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐 E-ADD 1A1的體積為 V1,四 棱柱 ABCD A1B1C1D1 的體積為 V2,則 V1：V2= .已知函數(shù)f(x) =/3sin(2x+昉cos(2x+ f)(0 伯可是定義在 上的奇函數(shù)，則f( 工的值為 .一 )28a埴B t0)N,使得 AMAB和 ANAB的面積均

3、為 4,則 .定義在 R 上的函數(shù) f(x), g(x), h(x),若 xC R,點(diǎn)(x, h(x),對(duì)稱，則稱h(x)是函數(shù)g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”.已知函數(shù)(x, g(x)關(guān)于點(diǎn)(x, f(x) h(x)是函數(shù) g(x)= ax-1|關(guān)于函數(shù)f(x) = |x2+3x|的“對(duì)稱函數(shù)”，且函數(shù)h(x)存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范 圍是 .已知a0, b0,且a+12b + 603+1 則ab一的最大值為a b 、a+3b二、解答題(本大題共6小題，計(jì)90分.請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)).如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角”的終邊與單位圓O交于點(diǎn)A,且點(diǎn)

4、A的縱坐標(biāo)是H0310求COS(a 的值；4 )(2)若以x軸正半軸為始邊的鈍角3的終邊與單位圓 O交于點(diǎn)-B,且點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為一仁，求 計(jì)3的值.5.如圖，在正三棱柱 ABC AiBiCi中，點(diǎn) D在棱 BC上， ADCiD,點(diǎn) E, F分別是 BBi, A1B1的中點(diǎn).(1)求證：D為BC的中點(diǎn)；(2)求證：EF/平面 ADCi.x217.已知點(diǎn) A(0, 2),橢圓C：a2+b2= 1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,2f直線AF的斜率為一 ，以焦點(diǎn)F及短軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三 角形周長為6, O為怖原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的定直線l與C相交于P?Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積為1時(shí)，求

5、直線l的方程.18.如圖，甲？乙兩觀察哨所位于海岸線1( 一條南北方向的直線)上的點(diǎn) A?B處，兩觀察哨所相距32 n mile,在海岸線東側(cè)有35半徑為6 n mile圓形暗礁區(qū)，該暗礁區(qū)中心點(diǎn) C位于乙觀察哨 所北偏東53的方向上，與甲觀察哨所相距 2產(chǎn)n mile,暗礁 中心與乙觀察哨所的距離大于 2 J93n mile ;求暗礁中心點(diǎn)C到海岸線l的距離；(參考數(shù)據(jù)：sin53o_4 cos53o 一匚，5(2)某時(shí)刻，甲觀察哨所發(fā)現(xiàn)在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的點(diǎn)D處有一走私船正欲逃竄，甲觀察哨所立即派緝私艇進(jìn)行追擊.已知緝私艇的最大航速是走私船最大航 速的XX 1)倍.假設(shè)緝私

6、艇和走私船均按直線方向以最大航速航行.問：無論走私船沿何方向逃竄，要保證緝私艇總能在暗礁區(qū)(不包含暗礁區(qū)邊界)以外的海域內(nèi)攔截成功，求入的取值范圍.已知f(x)是定義在集合 M上的函數(shù).若區(qū)間 D? M,且對(duì)任意 xo6 D,均有f(xo) 6 D ,則稱 函數(shù)f(x)在區(qū)間D上封閉.(1)判斷f(x)=x1在區(qū)間2, 1上是否封閉，并說明理由；3x + a(2)右函數(shù)g(x) = x+1在區(qū)間3, 10上封閉，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(3)若函數(shù)h(x) = x3-3x在區(qū)間a, b(a?b Z,且a* b)上封閉，求 a?b的值.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn(nC N*),其中/&=

7、癡+u.(1)若ai =2, a2= 6,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若ai+a3=2a2,求證：數(shù)列an是等差數(shù)列.2-30, 1)200861:6 220解:因?yàn)樵?ABC 中，AB=4, AC=2, / BAC=60。，所以 AB AC =4 ,又在 ABC中，由余弦定理可得:BC2 = AB2 + AC2- 2AB - AC - cos/ CAB,又 AB=4, AC=2, Z BAC=60 ,得 BC=2p,設(shè)BD=入BC (0W入w 1),則1 1 DE DF =( BE BD) (DC + CF )=(=AB ABC ) (1 X BC AC ) 22131-/XZ入 AC (1

8、 入 AB 入)AC -(2 V 2 入+，) AB AC解得：入11一，即線段BD的長為甘=4,即 BD= BC42(V2 %2 2解：由題意可得 |AB|= # 1+3)2 + ( 20)2 =2 *,根據(jù) AMAB和ANAB的面積均為 4,可得兩點(diǎn) M, N到直線 AB的距離為，2 2;由于AB的方程為3n = xi3，即x+y+3=0;20 1+3若圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為2- 2,則有圓心（2,0）到直線AB若圓上只有則有圓心（2,3個(gè)點(diǎn)到直線0）到直線AB12+0+31的距離為二2AB的距離為于2, 的距離為12+0 3 4|- ,2r+2 2-,解得r-2 2,解得綜上，

9、r的取值范圍是睜2(0, 2)U (18, + 81解:令 3 1- = t, a+12b+6wt, a b(a+3 1 + 6t t2, 3(a 12b)()a b /(a+ 12b)t+6t t2, (a+ 12b)t+ 6t t 2,十2+繼+ 12+6tt2, 27 + 6t0, (t-9)(t+3)0, t9, ab =1 W a+3b 1 , 3 9 一十一 b a15.解:因?yàn)殇J角 a的終邊與單位圓O交于點(diǎn)A,且點(diǎn).10所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin a= .10- 10A的縱坐標(biāo)是10從而 cos a= 1 sin2 3 3 10個(gè) =./八 /3 3_ ccc 3 1

10、0.(1) cos( a - = cos acos 一 sin0sin 近（2）因?yàn)殁g角所以cos 3=3的終邊與單位圓 O交于點(diǎn)B,且點(diǎn)一 sin 3= 1 cos2 3 2TT5 * *,從而 N5是 sin( a+ 9 = sin ocos 葉 cos osin*,5B的橫坐標(biāo)是一53= a (-%卡內(nèi) 2105 )10=5212分因?yàn)閍為銳角，3為鈍角，所以a + 0 C(2,3_12) 14分17.18.AD _L BC, D 為 BC 的中點(diǎn). (2)連結(jié)ACi, AiC,交于點(diǎn) O,連結(jié)DO, AiB,正三棱柱 ABC AiBiCi中，ACCiAi是矩形，O是AiC的中點(diǎn),OD/

11、 AiB,點(diǎn) E, F 分別是 BBi, AiBi 的中點(diǎn)，EFAiB,EF/ OD , EF 平面 ADCi , DO 平面 ADCi. EF/ 平面 ADCi. 解：(i)設(shè)右焦點(diǎn)為F(c, 0),由于直線AF的斜率為一3即有-2 = 2值，解得，c=y3,-c 32分則 a2- b2= c2= 3,又以焦點(diǎn)F和短軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長為6,則 2a+2b=6,即G a+b = 3,貝U a+b=i,解得 a = 2, b=i.貝U橢圓 Cx y2= i ； 6 分的方程為 十4(2)設(shè)直線l:y=kx+2,聯(lián)立橢圓方程，消去0,則有 0,即(16k)2 48(1 +4k2) 0,y,

12、得到(1+好+16k介12= 16k12xi + X2 = - ,X1X2= ,1 + 4k21 + 4k2弦長 I PQ| = J1 I k2?y(X1 + X2) 2 4XiX2 = yi64k248 1+ 4k2O到直線l的距離為則有解得,故直線OPQ16kT2)2481 +4k21 + 4k210分2d=2，+ k21廠的面積為 d?| PQ| = V64k248 = i,1+4k2k2 =4,即有k=歲，代入，檢驗(yàn)成立.、 . 7l的方程為：y= 2 x+2.(本小題滿分16分)14分在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2 = AB2+BC22AB BCcos /ABC,即:(2

13、197)2 = 322+BC22X32XBC *3 整理行：5BC2 T92BC+ 1260= 0,5， TOC o 1-5 h z 解得:BC = 30,或者BC =42(舍去)4分5過點(diǎn)C作CD垂直于1,垂足為D,在直角三角形 CDB中， _4CD= BCsinZABC=- 24,30 = 5故暗礁中心點(diǎn) C到海岸線1的距離為24n mile 6分(2)由(1)可知AD = 14, BD=18,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則 A(-24, 14), D(-24, 0),暗礁區(qū)域邊界所在的圓的方程為x2+y2=367分假設(shè)緝私艇在點(diǎn) T(x, y)處攔截成功，則A1=入，D

14、T則點(diǎn)T滿足方程:/(x:24)2+(y14產(chǎn)=N，(x+24)2+ y2化簡得：(x+ 24)2+(y+4 )2=(m )2 10分%1乃1要保證緝私艇總能在暗礁區(qū)(不包含暗礁區(qū)邊界)以外的海域內(nèi)攔截成功，只需要圓(x+ 24)2+(y+/4)2=( 14A)2與圓 x2+y2=36 外離，%1 乃一1故 A /(0+ 24)2+ (0 +)2(M ) + 612分以(舍去)45，15分N%-1%-1整理得：135於一42卜1840,解得 入4或 /3 一答:(1)暗礁中心點(diǎn) C到海岸線1的距離是24n mile;4(2)當(dāng)入時(shí)，就能保證無論走私船沿何方向逃竄，緝私艇總能在暗礁區(qū) 3 TOC

15、 o 1-5 h z (不包含暗礁區(qū)邊界)以郴碩!網(wǎng)維成史16分19.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = x- 1在區(qū)間 2, 1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xC2, 1時(shí)，f(x)的取值范圍為3, 0. 一2分而3, 0 -2, 1,所以f(x)在區(qū)間2, 1上不是封閉的. 4分(2)因?yàn)?g(x) _3x+a 3 a-zJx+1x+1. 當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)g(x) = 3,顯然33, 10,故a=3滿足題意. 當(dāng)a3時(shí)，在區(qū)間單，10上，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)的取值范圍為30 9da11 ，4 .30+a30+a 9+a11 ,3，由 11 43, 10,得解得 3WaW31,故 3Va31.

16、7 分4 W10，a 3 當(dāng)a3時(shí)，在區(qū)間3, 10上，有g(shù)(x)=3 + x+ 1V 3,不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù) a的取值范圍是區(qū)間3, 31. 9分(3)因?yàn)?h(x) = x3-3x,所以 h x)=3x2-3 = 3(x+ 1)(x-1).因?yàn)楫?dāng) x 1 時(shí)，hx)0;當(dāng) x= 1 或 1 時(shí)，hx)= 0;當(dāng)一1 vxv 1 時(shí)，h (x)a,a(a + 2)(a-2)0,2WaW0或aR2,所以即解得h(b)= b3 3b b,b(b + 2)(b 2)0,b 2或0W b 2,此時(shí)無解.當(dāng)a- 1bb,與“ h(x)在區(qū)間a, b上封閉矛盾，即 此時(shí)無解.qI一， e、，一一

17、一aW一2,當(dāng) aw 1 且b1 時(shí)，因?yàn)閔(-1) = 2,h(1) = - 2,故b2.h(a)=a 3aRa, 2Waw 0或 a n 2,a= 2,由解得從而h(b)=b3 3bb,b-2 或 0W ba,(*) 當(dāng)一1WavbW1時(shí)，h(x)在區(qū)間a, b上單倜遞減，所以h(a)=a3-3ab.a = - 1,b= 1a= 0, 或b= 1.”,、，a = - 1,又a、bC Z,所以或b= 0分別代入(*)檢驗(yàn)，均不合要求，即此時(shí)無解. 當(dāng)一1WaW1且bR1時(shí)，因?yàn)閔(1) = - 2a,-2 a2,所以即此時(shí)無解.h(b)= b3- 3b b,b 2或0W ba, h(b)=b

18、3-3bb,a(a+ 2)(a 2) n 0 ,b(b+2)(b-2)0,解得2 w aw 0或 a n 2,b-域0 b2.因?yàn)?avb,所以一2WaW0, 0b0,故由h(-1)=2,得bR2.因此 b=2.經(jīng)檢驗(yàn)，a=2, b=2滿足題意.當(dāng)a=- 1時(shí)，由于 h( 1) = 2,故b=2,此時(shí)h(1) = - 2,不滿足題意. 當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿足題意.綜上所述，a=-2, b= 2. ,16分20.(本小題滿分 16分)2=2X+ u入=監(jiān)解：(1)根據(jù)題意，有 c。 ，解得。廠，2 2 =6 入+ u2u = 2故 Sn= 1(an+2)；當(dāng) n2, nC “ 時(shí)，有 Sn i1 (an i + 22 ,兩式相減得(an + an -1)( an 一 an-i)=4(an+ an i), 又 an0, 則 an an-1=4,5分故 TOC o 1-5 h z an是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，則an=4n- 26分a1 =(入 1+ u)2, (1) a1 + a2(2)根據(jù)題意，有=(入2+切2, (2),a1 + a2+ a3 =(巧3 + u)2, (3)因?yàn)?a1+a3=2a2,所以可設(shè) a2 a1 = a3 a2 = d,(2)減去(1)