塑性力學之塑性本構(gòu)關(guān)系PPT

1、第5章塑性本構(gòu)變形第五章 塑性本構(gòu)關(guān)系5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系5.2 Drucker公設5.3 加載、卸載準則5.4 增量理論（流動理論）5.5 全量理論（形變理論）5.6 巖土力學中的Coulomb屈服條件和 流動法則塑性力學5.1 彈性本構(gòu)關(guān)系在彈性階段，材料的本構(gòu)關(guān)系即廣義Hooke定律：張量寫法：其中其中（5-1）（5-2）為平均正應力。將三個正應變相加，得：（5-3）記：平均正應變體積彈性模量則平均正應力與平均正應變的關(guān)系：（5-4）（5-5）（5-2）式用可用應力偏量 和應變偏量 表示為包含5個獨立方程（5-2）由（5-5）由等效應力和等效應變的關(guān)系：或可得：（5-8）當應力從加載面（

2、后繼屈服面）卸載時，應力和應變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。（5-9）Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應變能分解為體積應變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：5.2 Drucker公設兩類力學量外變量：能直接從外部可以觀測得到的量。如總應變，應力等。內(nèi)變量：不能直接從外部觀測的量。如塑性應變，塑性功等。內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設計算出來。關(guān)于塑性應變和塑性功的假設：1、材料的塑性行為與時間，溫度無關(guān)。2、應變可分解為彈性應變和塑性應變。3、材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。根據(jù)以上假設，內(nèi)變量 可以由外變量 表示出來。對于各向同性材

3、料：（5-12）這樣，內(nèi)變量 也可以由外變量 表示出來。將總功分解為彈性功和塑性功。對于各向同性材料：（5-13）（5-14）Drucker公設:對于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點（或試件），借助一個外部作用，在其原有的應力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應力，在這附加應力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負的。單元體在應力狀態(tài) 下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應力達到 ，剛好在加載面上，即開始發(fā)生塑性變形。繼續(xù)加載至 ，在這期間，將產(chǎn)生塑性應變 。 最后，將應力又卸回到 。完成應力循環(huán)。應力循環(huán)的過程：圖5-1以 表示應力循環(huán)過程中任一時刻的瞬時應力狀態(tài)。按Drucker公設，附

4、加應力 在應力循環(huán)中所作的功非負。（5-17）在應力循環(huán)中，應力在彈性應變上的功為0，即（5-18）故（5-17）式寫成（5-19）在整個應力循環(huán)中，只在應力從 到 的過程中產(chǎn)生塑性應變。當 為小量時，上述積分變?yōu)椋?（5-20）這就是圖5-1所示的陰影部分面積。兩個重要的不等式：當 處于加載面的內(nèi)部，即 ，由于 是高階小量，則（5-20）當 正處于加載面上，即 ，則（5-21）由此可對屈服面形狀與塑性應變增量的特性導出兩個重要的結(jié)論。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致正交性法則。 當 處于加載面上，Drucker公設導致的（5-21）通常叫作Drucker穩(wěn)定

5、性條件。1、屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A圖中，A0和A分別表示應力狀態(tài) 和 。向量 代表 。用 表示 。則（5-20）為（5-22）可見，應力增量向量 與塑性應變增量向量 之間的夾角必須小于900屈服曲面必須是凸的。如果屈服面是凹的，則5-22式不滿足。2、塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致正交性法則。A0Ann加載面在A點的外法向。如果 與n不重合，則總可以找到A0，使5-22式不成立。因此， 必須與加載面 的外法線重合。的外法線方向即其梯度方向。可表示為：（5-23）5.3 加載、卸載準則Drucker穩(wěn)定性條件：由于 與外法線n同向，上式改寫成：只有當應力增量指向加載面外部時

6、，材料才能產(chǎn)生塑性變形。（5-25）（5-26）判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：（1） 是否在 上。（2） 是否指向 的外部。加卸載準則加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應力改變。卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應力改變。、理想材料的加卸載準則 理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。由于屈服面不能擴大，所以當應力點達到屈服面上，應力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。n加載卸載nlnm加載加載卸載對于Tresca屈服面：加載卸載二、強化材料的加載、卸載準則強化材料的加載面在應力空間不斷擴張或移動。n中性變載卸載加載這里，中性變載相當于應力點沿加載面切向變化，應力維持在塑性狀態(tài)但加

7、載面并不擴張的情況。5.4 增量理論（流動理論）一、概述塑性本構(gòu)關(guān)系材料超過彈性范圍之后的本構(gòu)關(guān)系。此時，應力與應變之間不存在一一對應的關(guān)系，只能建立應力增量與應變增量之間的關(guān)系。這種用增量形式表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動理論。進入塑性階段后，應變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公設，（5-30）（5-31）（5-32）進入塑性階段后，應變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公設，（5-30）（5-31）給出了塑性應變增量 與加載函數(shù) 之間的關(guān)系。流動法則（5-32）將（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：增

8、量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：（5-33）塑性位勢理論將塑性應變增量表示為塑性位勢函數(shù)對應力取微商。（5-34）其中 是塑性位勢函數(shù)。兩種情況：1、服從Drucker公設的材料，塑性勢函數(shù)g就是加載函數(shù)， 即 ，此時（5-34）式稱為與加載條件相關(guān)連的流動法則。由于加載面和塑性應變增量正交，也稱為正交流動法則。2、當加載面和塑性應變增量不正交， 此時（5-34）式 稱為與加載條件非關(guān)連的流動法則。主要用于巖土材料。二、理想塑性材料與Mises條件相關(guān)聯(lián)的流動法則對于理想塑性材料，屈服函數(shù)f就是加載函數(shù)。流動法則寫成：（5-35）Mises屈服條件：有故理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動法則為：（

9、5-36） 1、理想彈塑性材料 按照廣義Hooke定律求得彈性應變增量，再與（5-36）式所得 的塑性應變增量疊加，就得到理想彈塑性材料的增量本構(gòu)關(guān)系Prandtl-Reuss關(guān)系對理想塑性材料，比例系數(shù) 要聯(lián)系屈服條件來確定。Mises屈服條件此時可見，給定應力 和應變增量 時從Prandtl-Reuss關(guān)系可以求出 及應力增量 。 但反過來，如果給定的是 則定不出 ，也就求不出 。給定應力求不出應變增量，這正反映出理想塑性材料的特點。（5-38）由于塑性變形消耗功，所以 ，則 。 2、理想剛塑性材料Levy-Mises關(guān)系當塑性應變增量比彈性應變增量大得多時，可略去彈性應變增量，從而得到適

10、用于理想剛塑性材料的Levy-Mises關(guān)系（5-39）此式表明應變增量張量與應力偏張量成比例，也可以寫成（5-40）如果（5-40）的后三個分式的分母為零，則其分子必須同時為零。這說明Levy-Mises關(guān)系要求應變增量張量的主軸與主應力軸重合。 在（5-39）式中，給定后不能確定，但反之卻可由確定如下：利用Mises屈服條件可以得到將（5-41）式代回（5-39）式，可求出對于剛塑性材料將（5-38）式與（5-41）式加以比較就發(fā)現(xiàn)： （5-41）（5-44）（5-45）3、實驗驗證理想塑性材料與Mises條件相關(guān)連的流動法則：對應于平面上， 與 二向量在由坐標原點發(fā)出的同一條射線上。Lo

11、de（1926）采用薄壁圓管受軸力和內(nèi)壓同時作用的實驗。實驗中使用的參數(shù)：實驗表明， 大致相等，在消除了實驗用薄管的各向異性后，結(jié)果表明兩個Lode參數(shù)相等。三、理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)連的流動法則與Mises條件相關(guān)連的流動法則相比，與Tresca條件相關(guān)連的流動法則有兩個顯著的特點：2、在Tresca六角柱的棱線上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的角點上），不存在唯一的外法線。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的直邊上），給出沿外法向的 并不能就此確定S，因為同一個屈服平面上的任一點都具有相同的外法向。實際上，角點可以看成是一段光滑曲線無限縮小的極端情

12、況，因此角點的法線不唯一，而可為上述夾角范圍內(nèi)的任一方向。考察圖5-11中的角點B。它的兩側(cè)面，AB面和BC面的方程分別為：對AB面同理，對BC面有角點B處的塑性應變增量可以AB面和BC面上的塑性應變增量的線性組合得到。 ABC其中 四、強化材料的增量本構(gòu)關(guān)系Ducker公設當且僅當時可令其中h0稱為強化模量，依賴于加載面的變化規(guī)律，一般不為常數(shù)。如果h和都不含應力增量 ，稱為線性增量理論。這樣就有：間成線性關(guān)系，這時具有Mises加載條件的等向強化材料加載面在加載時，雖然 ，但應力點始終保持在擴大的加載面上，因而 的全微分 為零，即 （5-51）（5-52）則即代入（5-52）式得（5-53

13、）（5-54）上式左邊自乘求和得 右邊自乘求和得， 比較這二者，可知 =1，或利用（5-51）和（5-55）式，得出其中 可由簡單拉伸曲線來決定。事實上，退化到簡單拉伸情形時（5-51）式就是 ，即它就是曲線 的斜率。作為特例，在線性強化時就有: （5-55）（5-56）（5-57）5.5 全量理論（形變理論）認為應力和應變之間存在著一一對應的關(guān)系，因而用應力和應變的全量建立起來的塑性本構(gòu)方程，又稱形變理論。全量理論在單調(diào)加載的情況下應力和應變之間存在一一對應關(guān)系，這時塑性變形相當于非線性彈性問題，可用全量理論求解。一、 理論基本假定:1. 物體是各向同性的；2. 體積改變服從彈性定律: 其中

14、3. 應力偏量與應變偏量成正比(5-58)其中 是一個標量，它是應力張量和應變張量不變量的待定函數(shù)。由假設3可得，主剪應變與主剪應力成正比,即(5-59)在（5-58）式中，如果取可得彈性狀態(tài)下的應力應變關(guān)系,即Hooke定律。在彈塑性變形的情況下，若令則可以認為是彈塑性變形時的折算剪切模量。 （5-58）式可寫成（5-60）彈性部分塑性部分將 兩邊自乘后開方，有：（5-61）（5-62）于是，應力應變關(guān)系:全量建立起來的塑性本構(gòu)關(guān)系理論（5-63）二、簡單加載和單一曲線假定簡單加載：單元體的應力張量各分量之間的比值保持不變，按同一參量單調(diào)增長。復雜加載：不滿足這一條件的加載情形。簡單加載路徑

15、在平面上可表示為 的射線。yx對于Mises條件，不論強化模型如何，加載路徑始終沿半徑方向。即 沿 的方向。而 的方向可由 表示。則加入彈性應變增量此即理想彈塑性材料的Prandtl-Reuss關(guān)系在簡單加載條件下，將上式積分，得在簡單加載條件下增量理論同全量理論是等價的。單一曲線假定: 實驗證明，只要是簡單加載或偏離簡單加載不大，盡管在主應力空間中射線方向不同， 曲線可近似地用單向拉伸曲線表示。三、簡單加載定理簡單加載定理（，1946）：如果滿足下面一組充分條件，物體內(nèi)部每個單元體都處于簡單加載之中。這組條件是：1.小變形； 2.材料不可壓縮，即 ；3.載荷按比例單調(diào)增長，如果有位移邊界條件

16、，則只能是零位移邊界條件；4.材料的 曲線具有冪函數(shù)的形式。其中，1、3是必要條件，2、4是充分而非必要條件。四、幾種理論的總結(jié)與比較名稱類型年代材料應變大小屈服條件應力應變關(guān)系Levy-Mises增量1871，1913理想剛塑性小應變增量MisesPrandtl-Reuss增量1924，1930理想彈塑性小應變增量Mises全量1943彈塑性強化小應變MisesHency全量1924理想彈塑性小應變MisesNadai全量1937剛塑性強化小應變Mises與增量理論相比，全量理論應用起來方便得多，因為它無須按照加載路徑逐步積分。全量理論的加載路徑允許和簡單加載路徑有一定的偏離。這樣造成的誤差有時并不大，比如屈曲分析。 5.6 巖土力學中的Coulomb屈服條件和流動法則巖土材料的特點：屈服應力和破壞應力都會隨著靜水壓力的增加而增大。即使是各向同性，屈服條件也應采用下面的一般形式：巖土材料的破裂準則：單元體的任何截面上的剪應力 都不能超過某一臨界值。當 超過該臨界值時，材料就要發(fā)生剪切滑移。（5-67）其中常數(shù)C稱為粘