梅涅勞斯定理及例題拓展資料講解

1、梅涅勞斯定理及例題拓展梅涅勞斯定理及例題拓展梅涅勞斯介紹：在證明點(diǎn)共線時，有一個非常重要的定理，它就是梅涅勞 斯定理，梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著 有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍。下面的定理就是他首先發(fā)現(xiàn)的。這個定理 在幾何學(xué)上有很重要的應(yīng)用價值。定理：設(shè)D E、F依次是三角形ABC的三邊AB BC CA或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足AD BE CFDB EC FA證明：（此定理需要分四種情況討論，但有兩種可以排除）先來說明兩種不可能的情況情況一：當(dāng)三點(diǎn)均在三角形邊上時，由基本事實(shí)可知三點(diǎn)不可能共線（只能組成內(nèi)接三角形的三角形。情況二：當(dāng)一點(diǎn)在三

2、角形一邊上，另兩點(diǎn)分別在三角形另兩邊的延長線上時，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E,平移直線DE即可發(fā)現(xiàn)不能可兩點(diǎn)同時在延長線上情況三：當(dāng)兩點(diǎn)分別在三角形兩邊上，另一點(diǎn)在三角形另一邊的延長線上交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,時，如圖是三角形 ABC直線DE交AB于點(diǎn)D D E、F三點(diǎn)共線可過C作CM/ DE交AB于M 于是BE BD AD AFEC DM， DM FC，BE AD BD AFEC DM DM FC所以AD BE CFDB EC FA情況四：三點(diǎn)分別在三角形三邊的延長線上時，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,同情況三

3、 D E、F三點(diǎn)共線可過C作CM/ DE交AB于M 于是BEBDADAFECDM，DMFCBE ADBDAFEC DMDMFC所以ADDBBE CFEC FA設(shè)DE、F依次是三角形ABC的三邊AB BC CA或其延長線上的點(diǎn)，且AD BE這三點(diǎn)共線，則滿足需匡CF iFA型=_CD _EAAF = ACAB CE _ BCAB例已知ABC的內(nèi)角zB?QzC的平分線分別為BEftCF,的外角平分線與既的延長線相交于D,求證：D. E. F恐戔證明:由角平分線性貢定理律,X竺 EA由梅內(nèi)勞昕定理的逆定理潮D、E.拓展（1題）在任意三角形PQRK A2,A4分別是PR,PQ延長線上的點(diǎn)，做射線A4A

4、2,A6是射線A4A2上的一點(diǎn)，做射線 A6Q A1是射線A6Q上的一點(diǎn)，連結(jié)A1A2交射線PR于 X,作射線A4A3交射線PQ于點(diǎn)A3,交射線A1A6于點(diǎn)Y,連 結(jié)A1A3交射線PR于點(diǎn)A5,連結(jié)A6A5交射線PQ于點(diǎn)Z，求證X,Y,Z三點(diǎn)共線（該命題又為一六邊形相間各頂點(diǎn)分別在兩直線上求證：它的三對對邊（所在 直線）的交點(diǎn)共線）這個定理為帕波斯定理（2題）給定 ABC內(nèi)兩點(diǎn)0,0,連結(jié)A0,A0交BC于點(diǎn)X,X,B0,B0交AC于Y,Y,C0,C0交 AB于 Z,Z.設(shè) YZ與 YZ 交于點(diǎn) P,ZX與 ZX 交于點(diǎn) Q,XY與XY交于點(diǎn)R.求證0,0,P,Q,R五點(diǎn)共線（3題）在任意三角形ABC中，E是直線AC上的一點(diǎn)，D是直線BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上一點(diǎn)，G是直線AC上一點(diǎn)，作直線BG交直線DF于點(diǎn)Q,作直線CF交直線AB于點(diǎn)P,作直線GF交直線AB于點(diǎn)H作直線DH交直線AC于點(diǎn)R,求證P,Q,R三點(diǎn)共線（4題）一直線截厶ABC三邊BC,CA,AB或延長線X,Y,Z。證明：這三點(diǎn)的等截點(diǎn)X,Y,Z共線。（在三角形任意一邊所在直線上，設(shè)有兩點(diǎn)與此邊的中點(diǎn)等距，