2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系 (2)

1、兩個(gè)變量的線性相關(guān) 在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中， 研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？散點(diǎn)圖： 兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量值由小變大，另一個(gè)變量值也由小變大，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。二、兩個(gè)變量的線性相關(guān)思考：1、兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？ 兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，

2、即一個(gè)變量值由小變大，而另一個(gè)變量值由大變小，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)。2、你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)的例子嗎？3、若兩個(gè)變量散點(diǎn)圖呈下圖，它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系？散點(diǎn)圖回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。 這條回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱為回歸方程。方案一：采用測(cè)量的方法：先畫一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。如何具體的求出回歸方程？方案二、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。我們應(yīng)該如何具

3、體的求出這個(gè)回歸方程呢？方案三、在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。我們應(yīng)該如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”。計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式：其中，b是回歸方程的斜率，a是截距。最小二乘法的公式的探索過程如下：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)： （x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取

4、x1，x2，xn時(shí)，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n）它與實(shí)際收集得到的yi之間偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi ，yi ）yi-Yiy x這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。（yi-Yi）的最小值ni=1|yi-Yi|的最小值ni=1（yi-Yi）2的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+(yn-bxn-a) 2當(dāng)a，b取什么值時(shí)，Q的值最小，即總體偏差最?。▁i-x）（yi-y）ni=1b=（xi-x）ni=1a=y-bx 問題歸結(jié)為:a,b取什么值時(shí)Q最小

5、,即總體和最小.Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 + (yn-bxn-a)2先對(duì)a配方再對(duì)b 配方我們可以用計(jì)算機(jī)來求回歸方程。 人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律，由此回歸直線來反映。 將年齡作為x代入上述回歸方程，看看得出數(shù)值與真實(shí)值之間有何關(guān)系？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回歸值12.815.122.023.225.527.828.4年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回歸值30.130.731.832.433.034.134.7 若某人65歲，可預(yù)測(cè)

6、他體內(nèi)脂肪含量在37.1（0.57765-0.448= 37.1）附近的可能性比較大。但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1。例、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x（年） 2 3 4 5 6維修費(fèi)用y（萬元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若資料知y，x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1） 線性回歸方程Y=bx+a的回歸系數(shù)a、b；（2） 估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？i解：（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23, a=5-1.23*4=0.08（2）回歸方程為Y=1.23x+0.08，當(dāng)x =1

7、0時(shí)，Y=12.38 （萬元），即估計(jì)使用10年時(shí)維護(hù)費(fèi)用是12.38萬元。小結(jié)1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計(jì)算平均數(shù) , 第二步，求和 , 第三步，計(jì)算 第四步，寫出回歸方程 2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近.對(duì)同一個(gè)總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性. 3.對(duì)于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實(shí)際意義的.因此，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.例1：有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：1、畫出散點(diǎn)圖；2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是2攝氏度，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)。1、散點(diǎn)圖2、從圖3-1看到，各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去