特征值與特征向量的概念課件

1、一、特征值與特征向量的概念定義：設(shè)A 是n階矩陣，如果數(shù) 與n維非零列向量 x使得稱 為A的一個(gè)特征值， x 為對應(yīng)于特征值 的特征向量。 注： 1. 特征值向量 x 0, 特征值問題是對方陣而言的.2. n 階方陣A 的特征值，就是使齊次線性方程組有非零解的值 ，3. 是A 的特征值，則的特征向量的全體加 零向量 構(gòu)成 Rn 的線性 子空間，記 V ,其維數(shù)為 n-r(E- A)這是一個(gè)n 次方程，稱為矩陣A的特征方程記它是一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為A 的特征多項(xiàng)式。注： 在復(fù)數(shù)域中，特征值有n個(gè)（包括重?cái)?shù)） 在一般數(shù)域中不然。求矩陣特征值與特征向量的步驟：1. 計(jì)算A的特征多項(xiàng)式3. 對特征值

2、求齊次線性方程組的非零解，就是對應(yīng)于 的特征向量。2. 求A的特征方程的全部根，即A的特征值解例1 所得所對應(yīng)的特征向量為:當(dāng) 時(shí) ,由 當(dāng) 時(shí) ,由 例 解當(dāng) 時(shí) ,由 即解得基礎(chǔ)解系：當(dāng) 時(shí) ,由 而解得基礎(chǔ)解系：例 證明：若 是矩陣A的特征值， 是A的屬于 的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得是特征值的性質(zhì) 當(dāng)A可逆時(shí)，一定有否則，有非零向量 X, 滿足 AX=0, 與A可逆矛盾。二、特征值和特征向量的性質(zhì)1. 設(shè)n 階方陣A的特征值為：則A 與其轉(zhuǎn)置矩陣AT 有相同的特征值，事實(shí)上 有相同的特征多項(xiàng)式。稱為矩陣的跡若 是矩陣A的特征值, x 是A的屬于的 特征向量，則(2).

3、 m 是矩陣Am的特征值(1). k 是矩陣 kA 的特征值(4).當(dāng)A可逆時(shí)， 是矩陣 的特征值則 g() 是矩陣 g(A) 的特征值為A的伴隨矩陣A*的特征值(3).設(shè) 證明則即類推之，有定理設(shè)是方陣A的特征值，是與之對應(yīng)的特征向量，如果各不相等，證明 線性無關(guān)。 把上列各式合寫成矩陣形式，得推論線性無關(guān)。 定理 是n 階方陣A的k 重特征值 ，V是其對應(yīng)的 特征子空間，則特征子空間的維數(shù) dim (V) k , 即幾何重?cái)?shù)不超過代數(shù)重?cái)?shù)。設(shè)是n 階方陣A的不同的特征值，是A對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量，則向量組證明： 設(shè)V0 的維數(shù)為r ，一組基為：再補(bǔ)充n-r 個(gè)線性無關(guān)的 向量使其成

4、為Rn的一組基，則令因而A的特征多項(xiàng)式：所以即即這說明0 作為A的特征值至少是r 重根注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值 而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值3的說明思考題思考題解答矩 陣 的 對 角 化相似矩陣的定義相似矩陣的性質(zhì)定義1易得: 若 A與 B 相似，則 Am 與 Bm 相似, kA 與 kB 相似， g(A) 與 g(B) 相似.矩陣A,B 都是n階方陣，若有可逆矩陣P，使 P-1AP=B則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相

5、似，記 AB若n 階矩陣A與B 相似，它們有相同的特征多項(xiàng)式， 因而 有相同的特征值，相同的行列式，相同的跡。即A的跡B的跡4.若n階方陣A與對角陣則 是A的特征值相似矩陣的性質(zhì)利用對角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式k個(gè)利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A 的多項(xiàng)式 .定理證明：二、矩陣相似于對角陣的條件對n階方陣A，若可找到可逆矩陣P，使得為對角陣，稱為把矩陣A對角化。推論 若A有n個(gè)不同的特征值，則 A 可對角化。定理 n階方陣A與對角陣相似（即A能對角化） 的充要條件是A 有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。命題得證.反之，若A恰好有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)為以這n個(gè)特征向量為列向量構(gòu)成的矩陣記為 P ,

6、顯然它是可逆的，并且易證：即如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能對角化，如果能找到 個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化注:定理 0 是n 階方陣A的k 重特征值 ，V0是其對應(yīng)的 特征子空間，則特征子空間的維數(shù)滿足： dim (V) k , 即幾何重?cái)?shù)不超過代數(shù)重?cái)?shù)。推論： A相似于對角陣當(dāng)且僅當(dāng)幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù)。例1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？解解之得基礎(chǔ)解系由當(dāng) 時(shí)，求得基礎(chǔ)解系由 當(dāng) 時(shí)，顯然 線性無關(guān)即 A 有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可對交化。解之得基礎(chǔ)解系故 不能化為對角矩陣.由解例 判斷能否對角化？若能對角化，求出矩陣P，使為

7、對角陣，并求 An解之得基礎(chǔ)解系由當(dāng) 時(shí)，同理當(dāng) 時(shí)，可解得其特征向量：所以 可對角化.令則注意即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)例 設(shè)矩陣問a,b,c為何值時(shí)A 相似于對角陣？并求出它相似的對角陣解 顯然A的特征值為1，2 并且都是2重特征值 ，因此對應(yīng)于=1 ，與=2都應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 所以 E-A 與2E-A 的秩都應(yīng)為2顯然顯然所以 a=c=0，b 任意，并且習(xí)題階矩陣滿足 證明：能相似于對角矩陣。實(shí)對稱矩陣的對角化正交矩陣定義：正交矩陣的性質(zhì)：(2) 正交矩陣的行向量與列向量都是 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組(3) 若 A 、B 都是正交矩陣， 則AT, A-1, AB

8、 也是正交矩陣(4) 若 A 是正交矩陣, 則 證明見下頁(5) 正交矩陣的特征值只能為 把矩陣A按行分塊下面給出列向量兩兩正交的證明例 判別下列矩陣是否為正交陣解所以它不是正交矩陣(1) 考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣由于(2)例解定理1實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說 明，均指實(shí)對稱矩陣1. 對稱矩陣的性質(zhì)對稱矩陣的對角化于是有兩式相減，得定理1的意義證明于是定理3 設(shè)A 為實(shí)對稱矩陣， 則存在正交矩陣Q，使得A對角化，即其中為A的特征值有標(biāo)準(zhǔn)正交化過程知，必能找到個(gè)維向量，為兩兩正交的單位向量組，則為正交矩陣，且證:對的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法

9、。當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng)-1是時(shí)，結(jié)論成立，設(shè)為看k 階實(shí)對稱矩陣，因?yàn)榈奶卣鞲珵閷?shí)數(shù)，所以至少有一個(gè)實(shí)特征向量，不妨設(shè)為為的實(shí)特征向量，且為單位向量，為對應(yīng)的特征值，其中為階實(shí)對稱矩陣，有歸納假設(shè)，存在階正交矩陣使得，顯然為正交陣，且顯然為正交矩陣，且此定理說明，階實(shí)對稱矩陣一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量推論設(shè)為階對稱矩陣，則其代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等。即，設(shè)為階對稱矩陣，是的特征方程的重根，則恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。即齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量。根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法解例 對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使 為對角陣.(1)第一步 求 的特征值解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系第二步求出的特征向量當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，解之得基礎(chǔ)解系第三步 將特征向量正交化第四步 將特