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1、第8章 梁的應(yīng)力 熟悉工程上常見(jiàn)梁的彎曲正應(yīng)力、彎曲剪應(yīng)力的概念;掌握常見(jiàn)梁的彎曲正應(yīng)力、彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算及強(qiáng)度計(jì)算; 熟悉平面圖形的幾何性質(zhì);了解強(qiáng)度理論的概念。 知識(shí)要點(diǎn)能力要求相關(guān)知識(shí)所占分值(100分)自評(píng)分?jǐn)?shù)彎曲正應(yīng)力能計(jì)算梁的彎曲正應(yīng)力。梁的彎矩計(jì)算。12彎曲剪應(yīng)力能計(jì)算梁的彎曲剪應(yīng)力。梁的剪力計(jì)算。8平面圖形的幾何性質(zhì)(1)能計(jì)算平面圖形的靜矩、慣性矩、極慣性矩;(2)能計(jì)算簡(jiǎn)單組合圖形的靜矩。平面圖形的面積形心;平行移軸公式。15梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算(1) 熟悉梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件的三方面計(jì)算;(2)能計(jì)算簡(jiǎn)單的梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度校核。梁的正應(yīng)力在橫截面上的分布;慣性矩及抗彎截
2、面系數(shù)計(jì)算。30梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算(1) 能計(jì)算簡(jiǎn)單的梁矩形截面、園形截面、工字形截面的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 梁的剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律;慣性矩及靜矩計(jì)算。20提高梁強(qiáng)度的措施(1)理解提高梁強(qiáng)度的措施主要條件;(2)能較合理的選擇梁的截面。梁的內(nèi)力圖;梁的應(yīng)力在橫截面上的分布。10強(qiáng)度理論(1) 能熟悉五個(gè)基本的強(qiáng)度理論;(2)會(huì)用強(qiáng)度理論確定梁的主應(yīng)力;(3)能對(duì)梁進(jìn)行主應(yīng)力校核。應(yīng)力單元;空間應(yīng)力狀態(tài);應(yīng)力園。5梁在荷載作用下,橫截面上一般都有彎矩和剪力,相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 8.1 梁的彎曲正應(yīng)力1、變形幾何關(guān)系彎曲平面假設(shè): 變形后,橫截面仍保持平面,且仍與
3、縱線正交。 2、物理關(guān)系 3、靜力學(xué)關(guān)系z(mì)軸必須通過(guò)截面的形心 橫截面對(duì)y和z軸的慣性積為零, y和z軸為主軸 8.1.2最大彎曲正應(yīng)力 圓形截面的抗彎截面系數(shù) 矩形截面的抗彎截面系數(shù) 空心圓截面的抗彎截面系數(shù) 例8.1 圖所示懸臂梁,自由端承受集中荷載F作用,已知:h=18cm,b=12cm,y=6cm,a=2m,F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解: 先計(jì)算截面上的彎矩截面對(duì)中性軸的慣性矩A 截面上的彎矩為負(fù),K 點(diǎn)是在中性軸的上邊,所以為拉應(yīng)力。 8.2 平面圖形的幾何性質(zhì)反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量,統(tǒng)稱(chēng)為截面的幾何性質(zhì)。 8.2.1形心和靜矩形心坐標(biāo)公式: 靜矩
4、又稱(chēng)面積矩 組合圖形是幾個(gè)規(guī)則而成的圖形。圖形組合的靜矩: 圖形組合的形心坐標(biāo)公式: 8.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理慣性矩定義為: 慣性積定義為: 極慣性矩定義為:同一截面對(duì)不同的平行的軸,它們的慣性矩和慣性積是不同的。 平行移軸公式例8.2 計(jì)算圖示T 形截面的形心和過(guò)它的形心 z軸的慣性矩。 選參考坐標(biāo)系ozy (2)計(jì)算截面慣性矩8.3梁的彎曲剪應(yīng)力當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用,這時(shí)梁的最大彎矩比較小,而剪力卻很大,如果梁截面窄且高或是薄壁截面,這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值,剪應(yīng)力就不能忽略了。 8.3.1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力Iz代表整個(gè)橫截面對(duì)中性軸矩z的慣性
5、距;而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)z軸的靜距。對(duì)于矩形截面, 矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布;在截面的上、下邊緣剪應(yīng)力=0;在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大, 剪應(yīng)力最大公式: 8.3.2 工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布,在中性軸處(y=0),剪應(yīng)力最大,在腹板與翼緣的交接處(y=h/2),剪應(yīng)力最小, 近似地得表示腹板的剪應(yīng)力 或 8.3.3圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 在中性軸上,剪應(yīng)力為最大值max 一般公式:例8.3 梁截面如圖8.16(a)所示,橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲剪應(yīng)力,以及腹板與翼緣交接處的
6、彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.84106m4。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩為:解:1.最大彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲剪應(yīng)力: (2).腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力 交接處的彎曲剪應(yīng)力 8.4 梁的強(qiáng)度條件 為了保證梁的安全工作,梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度,也即,梁必須要同時(shí)滿(mǎn)足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。 8.4.1 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為:要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力max不超過(guò)材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力 利用上述強(qiáng)度條件,可以對(duì)梁進(jìn)行三方面的計(jì)算:正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。8.4.2 彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)
7、處于純剪切狀態(tài),相應(yīng)的強(qiáng)度條件為: 要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力max不超過(guò)材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力 在一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁中,最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。 但是,對(duì)于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁,后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等,則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。 例8.4 圖所示外伸梁,用鑄鐵制成,橫截面為T(mén)字形,并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm,截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm,慣性矩Iz=8.8410-6m4,許用拉應(yīng)力t=35MPa,許用壓應(yīng)力c=140
8、Mpa。解:(1)危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。 梁的彎矩如圖示,在橫截面D與B上,分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩,因此,該二截面均為危險(xiǎn)截面。 截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖示。截面D的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)處均受壓;而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。由于|MD|MB|,|ya|yd|,| 因此 |a|d| 即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力c,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力t,max, 究竟發(fā)生在b點(diǎn)處,還是c點(diǎn)處,則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。(2)強(qiáng)度校核。梁的彎曲強(qiáng)度符合要求 例8.5 懸臂工字鋼梁AB,長(zhǎng)l=1.2m,在自由端有一集中荷載F,工字鋼的型號(hào)為18號(hào),已知鋼的許用應(yīng)力=170
9、Mpa,略去梁的自重,(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN,確定工字鋼的型號(hào)。解:1.梁的彎矩圖如圖示,最大彎矩在靠近固定端處,其絕對(duì)值為:Mmax=Fl=1.2F NmF的最大許可值為: 103N=26.2kN由附錄中查得,18號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185103mm3公式(8.16)得:1.2F(18510-6)(170106)(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.245103=54103Nm按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為: 查附錄可知,22b號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ,所以可選用22b號(hào)工字鋼。 例8.6 例8.5中的18號(hào)工字鋼懸臂梁,按正
10、應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算,在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力=100Mpa。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度,繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖,并計(jì)算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1。解:(1)按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。 截面上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號(hào)工字鋼截面的幾個(gè)主要尺寸 Iz=1660104mm4,腹板上的最大剪應(yīng)力 腹板上的最小剪應(yīng)力為 (3)腹板所擔(dān)負(fù)剪力的計(jì)算 可見(jiàn),腹板所擔(dān)歲的剪力占整個(gè)截面剪力FQ的96.6%。 8.5 提高梁強(qiáng)度的措施在橫力彎曲中,控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力,梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件8.5.1合理安排梁的受力情況8.5.2選用合理的截面形
11、狀矩形截面比圓形截面好,工字形截面比矩形截面好得多 8.5.3 采用變截面梁 思 考 題1.推導(dǎo)梁平面彎曲正應(yīng)力公式時(shí)作了哪些假設(shè)?在什么條件下才是正確的?為什么要作這些假設(shè)?2在什么條件下梁只發(fā)生平面彎曲?3. 什么是中性層和中性軸?直梁平面彎曲時(shí)為什么中性軸通過(guò)截面形心?4. 提高粱的彎曲強(qiáng)度有哪些措施?習(xí) 題8.1 一矩形截面梁,梁上作用均布荷載,已知:l=4m,b=14cm,h=21cm,q=2kN/m,試校核梁的強(qiáng)度。彎曲時(shí)木材的容許應(yīng)力8.2 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載如圖所示。若分別采用截面面積相等的實(shí)心和空心圓截面,且D1=40mm,試分別計(jì)算它們的最大正應(yīng)力。并問(wèn)空心截面比實(shí)心截面的
12、最大正應(yīng)力減小了百分之幾?8.3 圖示懸臂梁,橫截面為矩形,承受載荷F1與F2作用,且F1=2F2=5kN。試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力,及該應(yīng)力所在截面上K點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力。8.6 圖示截面梁,橫截面上剪力FQ=300kN,試計(jì)算:(a)圖中截面上的最大剪應(yīng)力和A點(diǎn)的剪應(yīng)力;(b)圖中腹板上的最大剪應(yīng)力,以及腹板與翼緣交界處的剪應(yīng)力。8.7 圖示矩形截面木梁,許用應(yīng)力=10Mpa。(1)試根據(jù)強(qiáng)度要求確定截面尺寸b。(2)若在截面A處鉆一直徑為d=60mm的圓孔(不考慮應(yīng)力集中),試問(wèn)是否安全。8.8 一對(duì)稱(chēng)T形截面的外伸梁,梁上作用均布荷載,梁的截面如圖所示。已知:求梁截面中的的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 8.13 圖示結(jié)構(gòu),承受集中荷載F作用,試校核橫梁的強(qiáng)度。已知荷載F=12kN,橫梁用No.
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