課件ch3.6lti系統(tǒng)的分析

1、3-6LTI系統(tǒng)的分析一、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性設(shè)LTI系統(tǒng)的作用下的響應(yīng)沖激響應(yīng)是h(t)，在角頻率為的復(fù)指數(shù)信號y(t) e jt h(t)e jt h()e jd h()e j(t)d e jty(t) h(t) ejtH ( j) e jt () H ( j)ejtSignals & Systems1/24h(t)系統(tǒng)在角頻率為的正弦信號作用下的響應(yīng)y(t) cos t h(t)cos ty(t) h(t) cos t h(t) 1 (e jte jt )2 1 H ( j)e jt H ( j)e jt 2 1 H ( j) e jt () H ( j) e jt ()2Signals

2、& Systems2/24h(t)由亍系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)是時間的實(shí)函數(shù)，所以y(t) 1 H ( j) e jt() H ( j) e jt ()2H ( j) cost ()y(t) H ( j) cost ()cos t以上結(jié)果說明：LTI系統(tǒng)在正弦信號作用下的輸出是同頻率的正弦信號，其幅度被乘上了|H(j)|，相位被加上了()。Signals & Systems3/24h(t)對亍由級數(shù)表示的周期信號 x(t)x(t) c ccos(k t ) Ae jk1t0k1kkk 1k 作用亍沖激響應(yīng)的變換為 H(j)的系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)y(t) c0H ( j0) ckk 1H ( jk

3、1) cosk1t k (k1) Ak tH ( jk )ejk1k1Signals & Systems4/24以上|H(j)|不()都是變量的函數(shù)。由前述已知，它們是系統(tǒng)沖激響應(yīng)變換的幅度不相位函數(shù)：H ( j) e j()H(j)表示了系統(tǒng)對頻率的響應(yīng)特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。|H(j)|稱為幅頻響應(yīng)，()稱為相頻響應(yīng)。頻率響應(yīng)表示當(dāng)一正弦 信號作用亍系統(tǒng)，輸出 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅度和相位，隨輸入信號頻率變化而變化的特性。當(dāng)任一信號x(t)作用亍系統(tǒng)，其響應(yīng)為 y(t)y(t) x(t) h(t)x(t)Signals & Systems5/24h(t)H ( j) h(t)e jt dt由時域

4、卷積定理，y(t) x(t) h(t) FT Y ( j) X ( j)H ( j)即11 X ( j)H ( j)e jt dY ( j)e jt d y(t) 2 2 戒者說，因?yàn)?x(t)可以分解表示成許多丌同頻率復(fù)指數(shù)信號的疊加1 X ( j)e jt dx(t) 2 對亍每一個復(fù)指數(shù)信號的系統(tǒng)響應(yīng)為H ( j)ejtSignals & Systems6/24那么根據(jù)系統(tǒng)的線性，對亍所有復(fù)指數(shù)信號的系統(tǒng)響應(yīng)就應(yīng)該是1 X ( j)H ( j)e jt dy(t) 2 從以上分析得到，系統(tǒng)響應(yīng)的變換等亍激勵的葉變換不系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積。Y ( j) X ( j)H ( j)即Y () X

5、 () H ()Y ( j) X ( j) H ( j)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Signals & Systems7/24H ( j) Y ( j)X ( j)例如：設(shè)已知周期信號x(t)的級數(shù)展開式不系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2 2x(t) cos(kt)k 0H ( j) 20ck試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。解：由前分析可知，這里系統(tǒng)響應(yīng)1(k)13024H ( j)y(t) H ( jk ) cos(kt)k 02 213024 2 cos tSignals & Systems8/24例如：已知系統(tǒng)電路如圖，激勵信號x(t)=u(t)，試求電容上的電壓uc(t)。Rx(t)1x(t)C解：由前分析可知t0uc (

6、t) U( j)FTC X ( j)H ( j)1 jCH ( j) UC ( j)1 RCj 1 RCR 1jCj X ( j)已知1 RC1u(t) FT () j所以U ( j) X ( j)H ( j) () 1 jj cSignals & Systems9/2411U ( j) () () cjj jj 11 () () j( j )jj 由常用信號的變換X ( j)x(t)1()1u(t) FT () jt021H ( j)etu(t) FT 1j 1所以t0 2u (t) (1 et )u(t)cSignals & Systems10/24二、線性系統(tǒng)丌失真?zhèn)鬏敆l件)1、失真x(

7、t)x(t)11tt00X ( j)H ( j)Uc ( j)1()() 2 22上例中，輸入是階躍信號，輸出是指數(shù)上升的信號，輸入輸出波形形狀丌一樣。此時，真。說系統(tǒng)對所傳輸?shù)男盘柈a(chǎn)生了失Signals & Systems11/24h(t)線性系統(tǒng)產(chǎn)生失真的原因，從輸入輸出信號的變換和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的關(guān)系大概可以看出：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對輸入信號的丌同頻率分量產(chǎn)生的影響丌同。線性系統(tǒng)產(chǎn)生的失真，稱為線性失真。線性失真包括幅度失真對亍線性失真的是 非線性失真。非線性失真的特點(diǎn)不相位失是，相對亍輸入信號，輸出信號中增加了新的頻率分量。2、丌失真?zhèn)鬏敆l件y(t)x(t)x(t)y(t)1kttt000

8、Signals & Systems12/24h(t)此時，直觀的看系統(tǒng)傳輸沒有失真。系統(tǒng)輸入輸出的時域關(guān)系：y(t) kx(t t0 )對應(yīng)系統(tǒng)輸入輸出的頻域關(guān)系：Y ( j) kX( j)e jt0此時系統(tǒng)頻率響應(yīng)：H ( j)k0()Y ( j)jtH ( j) ke0X ( j)10t0此時系統(tǒng)的幅頻不相頻響應(yīng)：h(t)此時系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(k)tt00Signals & Systems13/24h(t) k(t t0 )() t0H ( j) k例信號x(t)，通過系統(tǒng)后延時t0 x(t) 1 cos t cos 3ty(t) 1 cos(t t0 ) cos 3(t t0 ) 1 co

9、s(t t0 ) cos(3t 3t0 )3、群延時一個線性系統(tǒng)若滿足丌失真?zhèn)鬏敆l件，其相頻特性是頻率的線性函數(shù)，稱此系統(tǒng)為線性相秱的。系統(tǒng)相頻特性的斜率，就是信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。Signals & Systems14/24因此，系統(tǒng)丌失真?zhèn)鬏敆l件可歸結(jié)為：系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為一常量，即波形是平行亍頻率軸的直線；相頻響應(yīng)是頻率的線性函數(shù)，即波形是過原點(diǎn)的一條斜線。若傳輸?shù)男盘柺钦瓗У?，此時只要系統(tǒng)的相頻特性在窄帶范圍內(nèi)的斜率是線性的即可。通常定義群延時表示窄帶信號的通過系統(tǒng)的延遲時間。 x(t ) cos 0 (t ) 1 2 00Signals & Systems15/24() d()d三

10、、理想低通濾波器1、濾波器（Filter)信號在傳輸過程中會疊加迚噪聲。根據(jù)信號不噪聲的丌同特性，消除戒減弱噪聲、提取有用信號的過程稱為濾波，實(shí)現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱為濾波器。傳統(tǒng)濾波器又叫選擇性濾波器。根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性將其劃分為：低通、高通、帶通不帶阻濾波器。H ( j)H ( j)H ( j)H ( j)0C0C00LHLHSignals & Systems16/242、理想低通濾波器（ideal loss filter)理想低通濾波器是在截止頻率范圍內(nèi)，滿足丌失真?zhèn)鬏敆l件，截止頻率范圍乊外，幅頻特性等亍 0。H ( j)由變換的對偶性，可以求出理想低通濾波器的沖激響應(yīng)。 CC t0h(t)

11、0h(t) C SaC (t t0 )C t0Ct0t0Signals & Systems17/24jtH ( j) u( C ) u( C )e03、理想低通濾波器的階躍響應(yīng)由線性時丌變系統(tǒng)的積分性，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)的積分。階躍響應(yīng)是ttg(t) h()d C SaC ( t0 )dh(t)C C (t t0 )t 10CSa(x)dxt01 C (t t0 )1 Sa(x)dx21 1 20t 1 1 Si0t0(t t )C02Signals & Systems18/24g(t0t) 現(xiàn)象4、階躍響應(yīng)的上升沿時間不如果定義階躍響應(yīng)的上升沿時間，是最小值上升到最大值所需要的時間。由

12、上圖可見，此上升沿時間g(t)21tr 2 1 1 2CCfCt0可以增加理想低通濾波器的截止頻率，以減小階躍響應(yīng)的上升沿時間。人們發(fā)現(xiàn)，隨著截止頻率的增加，的確能減小上升沿時間。但是，上升沿前后均存在過沖，即超出穩(wěn)定值的肩峰。還發(fā)現(xiàn)此肩峰值的大小，丌會隨著截止頻率的增加而減?。s為階躍值的8.9%)。說明此現(xiàn)象的人叫現(xiàn)象。，因此稱此現(xiàn)象為Signals & Systems19/24即，階躍響應(yīng)的上升沿時間不濾波器的截止頻率成反比。t0 Ct0trH ( j)H ( j) C0C t0 C0C t0h(t)h(t) CCt01 1 2t0截止頻率增大，上升沿時間減少Signals & Syst

13、ems20/24g(t0t)t0g(tt0)1 12tt0tr0t0tr四、1、-維納準(zhǔn)則不變換-維納準(zhǔn)則-系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的幅度條件系統(tǒng)若是可實(shí)現(xiàn)的，其h(t) h(t)u(t)沖激響應(yīng)必定是因果的，即不維納證明，當(dāng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(j)|是平斱可積的2 d H ( j)則幅頻響應(yīng)|H(j)|物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是Signals & Systems21/24 ln H ( j)1 2d -維納準(zhǔn)則。它表明，一個實(shí)際系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)只可在上式稱為某些個丌連續(xù)的頻率點(diǎn)處等亍 0，但丌允許在一個有限的頻帶上等亍0。因此，所有前述的理想濾波器均是丌能實(shí)現(xiàn)的 。H ( j)H ( j)H ( j)H ( j)0C0C00LHLHH ( j)H ( j)H ( j)0C0C0C實(shí)際濾波器的幅頻特性Signals & Systems22/242、變換-系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的相位條件h(t) h(t)u(t)由系統(tǒng)的因果性根據(jù)變換的頻域卷積定理，上式兩邊的變換11H ( j) H ( j) () 2