經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論(精)課件

1、7 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論內(nèi)容： 哈密頓正則方程 哈密頓原理 正則變換 哈密頓雅可比方程重點(diǎn)： 哈密頓正則方程 正則變換難點(diǎn)： 正則變換在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)可用各種方法來(lái)描述。用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述，常常要解算大量的微分方程組，對(duì)約束體系更增強(qiáng)了問(wèn)題的復(fù)雜性。1788年拉格朗日用s個(gè)廣義坐標(biāo)來(lái)描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)出了用廣義坐標(biāo)表出的拉格朗日方程，其好處是只要知道體系的動(dòng)能和所受的廣義力，就可寫(xiě)出體系的動(dòng)力學(xué)方程。1834年以后哈密頓提出用s個(gè)廣義坐標(biāo)和s個(gè)廣義動(dòng)量（稱為正則共軛坐標(biāo)）描述體系的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)出了三種不同形式的方程：哈密頓正則方程、哈密頓原理和哈密頓雅可比方程，稱為經(jīng)典力學(xué)的哈密頓

2、理論。哈密頓理論和拉格朗日理論、牛頓理論是等價(jià)的。哈密頓理論的優(yōu)點(diǎn)在于便于將力學(xué)推廣到物理學(xué)其他領(lǐng)域。7.1 哈密頓函數(shù)和正則方程（1）哈密頓函數(shù)拉格朗日函數(shù)是和t的函數(shù)：，它的全微分為 將廣義動(dòng)量和拉格朗日方程： 代入上式，得（7.1） 式中（7.2） ， 是體系的廣義能量。由 可以解出 故H是p、q、t的函數(shù)，表征體系的狀態(tài)，稱為哈密頓函數(shù)。若L不顯含t，并且約束是穩(wěn)定的，體系的能量守恒，則 H=E=T+V（2）哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)H=H（p，q，t）的全微分為 （7.3）比較（7.2）和（7.3）式，得 （7.4） （7.5） （7.4）式稱為保守系哈密頓正則方程，它是2s個(gè)一階微分

3、方程，形式對(duì)稱，結(jié)構(gòu)緊湊。 對(duì)于非保守系，正則方程形式為 哈密頓正則方程常用來(lái)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。例1 寫(xiě)出粒子在中心勢(shì)場(chǎng)中的哈密頓函數(shù)和正則方程。 解：粒子在中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、自由度、廣義坐標(biāo)如何？粒子的拉格朗日函數(shù)為 （1） 廣義動(dòng)量 （2） 哈密頓函數(shù) 于是得正則方程 （3） （4） 例2 寫(xiě)出粒子在等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的H函數(shù)和正則方程。 解：取圖7.3所示的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系。粒子的L函數(shù)為（參見(jiàn)5.12式） （1） 所以（2）（3）則哈密頓函數(shù)（4）（3）式代入（4）式，得 （5） 正則方程為 （6） 將代入上式中的第二式，可得粒子的動(dòng)力學(xué)方程7.2 哈密頓原理 （1）最速落徑問(wèn)題和變

4、分法 數(shù)學(xué)上的變分法是為了解決最速落徑這一力學(xué)問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的。 如圖7.4所示，鉛直平面內(nèi)在所有連接兩個(gè)定點(diǎn)A和B的曲線中，找出一條曲線來(lái)，使得初速度為零的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下，自A點(diǎn)沿它無(wú)摩擦地滑下時(shí)，以最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)。 設(shè)曲線AB方程為y=y(x)，質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)速度為質(zhì)點(diǎn)自A沿曲線y(x)自由滑至B點(diǎn)所需的時(shí)間 （7.6） 顯然J的值與函數(shù)y(x)有關(guān)，最速落徑問(wèn)題就是求J的極值問(wèn)題，即y(x)取什么函數(shù)時(shí)，函數(shù)Jy(x)取極小值。Jy(x)稱為函數(shù)y(x)的泛函數(shù)。Jy(x)取極值的條件為J = 0 （7.6） 算符稱為變分記號(hào)。變分運(yùn)算法則和微分運(yùn)算法則相似： （7.8） （2）變

5、分問(wèn)題的歐拉方程求泛函Jy(x)的變分J = 0的條件：為普遍起見(jiàn)，將（7.6）式改寫(xiě) （7.9） 對(duì)上式求變分，令J=0： 因此，（7.10） （7.10）是泛函Jy(x)取極值時(shí)函數(shù)y(x)必須滿足條件，稱為歐拉方程，思考：歐拉方程形式上與拉格朗日方程有無(wú)區(qū)別？（3）哈密頓原理 一個(gè)具有s自由度的體系，它的運(yùn)動(dòng)由s個(gè)廣義坐標(biāo) 來(lái)描述。在體系的s維位形空間中，這s個(gè)廣義坐標(biāo)的值確定體系的一個(gè)位形點(diǎn)， 隨著時(shí)間的變動(dòng)，位形點(diǎn)在位形空間描繪出體系的運(yùn)動(dòng)軌道。設(shè)在時(shí)刻 和 體系位于位形空間的 點(diǎn)和點(diǎn)，相應(yīng)的廣義坐標(biāo)為 和 （或縮寫(xiě)為和）， 由 點(diǎn)通向和點(diǎn)有多種可能的軌道（路徑），但體系運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌

6、道只能是其中的一條。如何從眾多的可能軌道中挑選出體系運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌道？即在 時(shí)間內(nèi)，為何確定體系的s個(gè)廣義坐標(biāo) ？ 哈密頓原理提供了確定體系運(yùn)動(dòng)真實(shí)軌道的方法。 定義：體系的拉格朗日函數(shù)在內(nèi)的積分 （7.11） 為哈密頓作用量（或主函數(shù)），是的泛函數(shù)。 哈密頓原理 1843年哈密頓提出：對(duì)于一個(gè)保守系的完整力學(xué)體系，其由動(dòng)力學(xué)規(guī)律所決定的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌道可由泛函數(shù) 取極值的條件（7.12） 給出哈密頓原理。對(duì)于非保守系，哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（7.13） 式中為廣義力。由哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日方程、正則方程以及各種動(dòng)力學(xué)方程，因此，哈密頓原理是力學(xué)的第一性原理或最高原理。在力學(xué)中凡能起“幾何公

7、里”作用，可由它導(dǎo)出全部力學(xué)定律的原理或假說(shuō)，稱為力學(xué)第一性原理或最高原理，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、虛功原理、達(dá)朗貝爾原理等都是力學(xué)第一性原理，所以力學(xué)第一性原理的表述形式是多種多樣的，各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都是等價(jià)的。7.3 正則變換（1） 選好廣義坐標(biāo)的重要性 選取不同的廣義坐標(biāo)，所得的微分方程的形式不同，求解方程的難易程度不同。如果選取的廣義坐標(biāo)使H函數(shù)中能多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，就能在正則方程中多得出一些積分，對(duì)微分方程的求解就更有利，否則微分方程的求解就變得十分困難，因此，為何選取廣義坐標(biāo)是理論力學(xué)中最富技術(shù)性的環(huán)節(jié)。 （2）正則坐標(biāo)變換的目的和條件 正則坐標(biāo)變換（正則變換）的理論，就是尋找最佳坐標(biāo)，使

8、H函數(shù)中出現(xiàn)更多的循環(huán)坐標(biāo)，求解微分方程組變得更容易的方法。 設(shè)原來(lái)的正則變量為p、q，通過(guò)變量變換新的正則變量為P、Q，它們的變換關(guān)系為 （7.14） 如果變換后，新的哈密頓函數(shù)仍然滿足正則方程 （7.15） 滿足（7.15）式子的正則坐標(biāo)變換稱為正則變換。滿足正則變換（7.15）式的具體條件（證明見(jiàn)P.256-257）是： （7.16）式中F為正則變換母函數(shù)。由（7.16）式可得（7.17） （7.18） 以上二式表明：由 時(shí)，可任意規(guī)定；規(guī)定后， 則由規(guī)定，F(xiàn)由來(lái)選取，由來(lái)確定。 （3）四種不同類(lèi)型的正則變換 （7.16）式是正則變換的一種形式，是以（q，Q）為獨(dú)立變量的形式，對(duì)應(yīng)的母函

9、數(shù)F（q，Q，t）為第一類(lèi)正則變換母函數(shù)。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）為獨(dú)立變量。 第一類(lèi)正則變換 （7.19） 第二類(lèi)正則變換 第二類(lèi)正則變換 第二類(lèi)正則變換 （4）正則變換的關(guān)鍵 若變換后新哈密頓函數(shù)只是變量及t的函數(shù)，即 則由（7.15）式知 =常數(shù)可得力學(xué)體系2s個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，于是體系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題就完全解決了。體系能否有2s積分，全靠母函數(shù)F規(guī)定得如何而定，所以體系的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分，從正則變換的眼光看，就變成為何尋找合適的母函數(shù)F的問(wèn)題了，F(xiàn)規(guī)定適當(dāng)，變換后出現(xiàn)很多循環(huán)坐標(biāo)，問(wèn)題即可大為簡(jiǎn)化。 例1 用正則變換法求平面諧振子的運(yùn)動(dòng)，振 解：設(shè)振子沿x，y方向的動(dòng)量為動(dòng)頻率為

10、，哈密頓函數(shù)為設(shè)母函數(shù)由（7.19）式，得 （2）將（3）式中的及表示代入（1）中，得 （4） （5） 由（7.15）式，得 （6） 積分得 （7） 積分常數(shù)由起始條件決定。 由（3）式得振子運(yùn)動(dòng)方程 （8） 7.4 哈密頓雅可比方程 （1）方程的推導(dǎo)通過(guò)正則變換可使新的哈密頓函數(shù) 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，從而使正則方程易于求解。最理想的情況是 ，這時(shí) （常數(shù)），（常數(shù)）。的結(jié)構(gòu)形式與母函數(shù)F有關(guān)。在四類(lèi)正則變換中，母函數(shù)和新舊哈密頓函數(shù)的關(guān)系為 （7.23） 取第二類(lèi)母函數(shù)，則由（7.20）式得 （7.24） 并根據(jù)=0的要求，令，則（7.23）式為（7.25）由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的

11、解，則 （常數(shù)） （7.26） 也是方程的解，故（7.25）式可改寫(xiě)成 （7.27） （7.27）式稱為哈密頓雅可比方程，其中S（q,t）稱為哈密頓主函數(shù)。 從（7.27）式求出S，再由 求出，由求出，就可得出正則方程的全部積分了。這樣， 正則方程的求解問(wèn)題歸納為為何從哈密頓雅可比方程（7.27）式求S的問(wèn)題。 （2）方程的解 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)H=E（常數(shù)），即討論能量守恒或廣義能量守恒問(wèn)題的求解。 哈雅方程為 （7.28） 由于上式是包含s個(gè)q和t的變量的偏微分方程，故對(duì)t積分后得 （7.29） 式中 稱為哈密頓特征函數(shù)，將 （7.30） 代入關(guān)系H=E，得 （7.31） 從（7.31）式可解

12、得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E體系的哈密頓雅可比方程的解，于是正則方程的求解又歸結(jié)到從（7.31）式中求特征函數(shù)W的問(wèn)題了。通常采用“分離變量法”求（7.31）的解。 7.5 解題指導(dǎo) （1）習(xí)題類(lèi)型及基本解法 哈密頓理論的三個(gè)重力學(xué)方程（正則方程、哈密頓原理、雅可比方程）主要用于建立體系的動(dòng)力學(xué)方程，這是本章習(xí)題內(nèi)容和類(lèi)型。 基本解法：將體系的拉格朗日函數(shù)L或哈密頓函數(shù)H代入相應(yīng)的方程即得 體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。解起的要點(diǎn)和步驟是： 析體系約束類(lèi)型，主動(dòng)力性質(zhì)； 確定自由度，選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)； 正確寫(xiě)出體系的L函數(shù)和H函數(shù)； 將L或H代入相應(yīng)的哈密頓理論的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行運(yùn)算，

13、可得出體系的運(yùn)動(dòng)微分方程； 方程，出要求的量。 范例 例1 用哈密頓原理建立開(kāi)普問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程。 解：用極坐標(biāo)描述開(kāi)普勒問(wèn)題較方便。自由度為2，以r，Q為廣義坐標(biāo)，拉格朗日函數(shù)為 代入哈密頓原理表達(dá)式，得 例2 用哈密頓雅可比方程解開(kāi)普勒問(wèn)題。 解：開(kāi)普勒問(wèn)題能量守恒，其哈密頓-雅可比方程形式為 （1） 哈密頓函數(shù) （2） 由，代入（2）和（1）得哈密頓雅可比方程為 （3） 求出方程（3）的解，代入 （4） 可得用乘（3）式兩邊，并移項(xiàng)得 （5） 用分離變量法求解，令 （6） 將（6）代入（5）得 （7） 上式左邊只是r的函數(shù)，右邊只是的函數(shù)，要使其對(duì)任意的r、都成立，只有當(dāng)它們都等于同一個(gè)常量時(shí)才有可能。這個(gè)常量必為正值，因此把它用 來(lái)表示，由此可得 （