高考數(shù)學(xué)壓軸專題新備戰(zhàn)高考《空間向量與立體幾何》難題匯編附答案解析

1、4數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)、選擇題1.若 a,b是不同的直線，,B是不同的平面，則下列四個(gè)命題：若aP ,b /,a b，則；若 a P , b /,a / b，貝 U /;若aba/ b，則 /;若a P , b,a b，則.正確的個(gè)數(shù)為()A. 0B.1C.2D. 3【答案】B【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析得解 【詳解】命題中a與B還有可能平行或相交；命題中a與B還有可能相交；命題中a與B還有可能相交；/ a Pb, a ，二b ，又bP .故命題正確.故選B.【點(diǎn)睛】 本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和 空間想象能力 2如圖，在長(zhǎng)方體

2、 ABCD AiBQDi中，AB AD J3, AA 1,而對(duì)角線AB上存在一點(diǎn)P，使得|AP Df 取得最小值，則此最小值為（）A. .7B. 3C. 1+. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】把面AAiB繞AB旋轉(zhuǎn)至面BAM使其與對(duì)角面 AiBCDi在同一平面上，連接 MDi并求出, 就是最小值.【詳解】把面AAiB繞A1B旋轉(zhuǎn)至面BAM使其與對(duì)角面 ABCD!在同一平面上，連接 MD! . MDi就是|AP| |DP|的最小值，Q | AB | | AD |3，| AA! | 1，所以 MAQgoO+GOISO0ta n AA1B_2iAA,B 6OO .MDiAiDi AiM2AiD

3、i AM cos MAiDi7故選A .【點(diǎn)睛】 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，空間想象能力，解決此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn) 化為在同一平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，是中檔題.3.已知圓錐SC的高是底面半徑的3倍，且圓錐SC的底面直徑、體積分別與圓柱OM的底面半徑、體積相等，則圓錐SC與圓柱OM的側(cè)面積之比為（）A. .io：ib. 3:iC. 2:id. . io ：2【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐SC的底面半徑為r，可求得圓錐的母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得側(cè)面積；由 圓錐體積與圓柱體積相等可構(gòu)造方程求得圓柱的高，進(jìn)而根據(jù)圓柱側(cè)面積公式求得圓柱側(cè) 面積，從而求得比值【詳解】設(shè)圓錐SC的底

4、面半徑為r，則高為3r ,圓錐SC的母線長(zhǎng)|, r2 9r2Or，圓錐SC的側(cè)面積為rlr2；圓柱OM的底面半徑為2r ,高為h ,又圓錐的體積V r2 3r r3,4r2h3圓柱OM的側(cè)面積為2 2rh 4 rh r2,圓錐SC與圓柱OM的側(cè)面積之比為iO r2: r2iO :i.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐和圓柱側(cè)面積的求解問(wèn)題，涉及到圓錐和圓柱體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 4.已知正方體ABCD ABGd中，M , N分別為AB , AA的中點(diǎn)，則異面直線 CiM與BN所成角的大小為（）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，可將異面直線轉(zhuǎn)化共

5、面的相交直線，再進(jìn)行求解【詳解】如圖：DiG作AN的中點(diǎn)N，連接NM , CiN由題設(shè)可知NMPBN，則異面直線 CiM與BN所 成角為 NMCi或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為4，由幾何關(guān)系可得，|NM|,CiM| 6 , CiN 74?，得 CiN2 |NM|2 CiM|2，即 NMG 90故選D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的求法，屬于基礎(chǔ)題1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則A. 920B. 926C. 520D. 5 26【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱

6、的底面半圓半徑為1，高為4長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1, 2,高為4，所以該幾何體的2 1表面積 S 121412214224520，故選 C.2【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)6設(shè) 為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是（）A.若 a/ ， b/ ，則 a/bB.若 a， a/b，則 bc.若 a，a b，則 b/D.若 a/ ，； b，則 b【答案】B【解析】【分析】利用空間線線、線面、面面間的關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】若 a/，b/ ，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；若a，a/b

7、，則由直線與平面垂直的判定定理知b，故B正確;若a，a b，則b/或b，故C錯(cuò)誤；若 a/，a b，則b/ ，或b，或b與相交，故D錯(cuò)誤.故選：B .【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).7如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷正確的是()平面PBQ 平面ACDiAP平面ACD1n異面直線AiP與ADi所成角的取值范圍是 0,3三棱錐Di APC的體積不變A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的判定定理判斷 ，由面面平行的性質(zhì)定理判斷 ，求出P在特殊位置處時(shí)異面直線所成的角，判斷 ，由換底求體積

8、法判斷 【詳解】正方體中易證直線 AC 平面BDDiBi，從而有AC BQ，同理有BQ八ADi，證得BiD 平面ACDi，由面面垂直判定定理得平面PBiD 平面ACDi ,正確；正方體中AiB/CDi, BCi/ADi，從而可得線面平行，然后可得面面平行，即平面ABG / /平面ACDi，而AP 平面ABCi，從而得AP/平面ACDi ,正確；當(dāng)P是BCi中點(diǎn)時(shí)， AP在平面AiBiCD內(nèi)，正方體中仿照上面可證 ADi 平面ABiCD，從而ADi AiP , AiP與ADi所成角為90 錯(cuò)；t Vd1 apc Vp ad1c，由BCi / /平面ACDi，知P在線段BCi上移動(dòng)時(shí)，P到平面AC

9、Di 距離相等，因此VP AD1C不變，正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理、異面直線所成的角、棱錐的體積等 知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.8.在正方體ABCD A1 BiCi Di中，點(diǎn)E 平面AA3B，點(diǎn)F是線段AA1的中點(diǎn)，若DiE CF ,則當(dāng)VEBC的面積取得最小值時(shí),Sa ebcSabcd5mB1GD1EBCEBC.空51EB a101B.-2A.蘭【解析】【分析】根據(jù)DiE CF分析出點(diǎn)E在直線BiG上，當(dāng)VEBC的面積取得最小值時(shí)，線段 EB的長(zhǎng)度為點(diǎn)B到直線BiG的距離，即可求得面積關(guān)系.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論 P：若平面外的一條

10、直線 I在該平面內(nèi)的射影垂直于面內(nèi)的直線m，則I丄由三垂線定理可得：CF DiBi,CF在平面AiBiBA內(nèi)的射影為FB , FB所以CF 平面BiDiG ,當(dāng)VEBC的面積取最小值時(shí),即：已知直線I在平面內(nèi)的射影為直線 OA, 0A丄OB,求證：I丄0B.證明：直線I在平面內(nèi)的射影為直線 0A,不妨在直線I上取點(diǎn)P,使得PA丄OB, 0A丄OB, OA, PA是平面PAO內(nèi)兩條相交直線,所以O(shè)B丄平面PAO, PO 平面PAO,所以PO丄OB,即I丄OB以上這就叫做三垂線定理如圖所示，取AB的中點(diǎn)G ,正方體中：AjCi Di Bi, CF在平面ABiGDi內(nèi)的射影為AG ,由三垂線定理可得

11、：CF當(dāng)點(diǎn)E在直線B-|G上時(shí),CF ,1設(shè) BC a，則 Sa ebc2【答案】DBiG與DiB是平面BiDiG內(nèi)兩條相交直線,線段EB的長(zhǎng)度為點(diǎn)B到直線BiG的距離,線段EB長(zhǎng)度的最小值為a.5，1 aSa ebc2 15-/5 .2Sabcda10故選：D.【點(diǎn)睛】 此題考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，通過(guò)位置關(guān)系討論面積關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂 直關(guān)系的判定和平面圖形面積的計(jì)算9已知m,l是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則卜列可以推出的是()A. m l,m,1B. ml,l,mC. m / /l, m,1D. l,m/l ,m/【答案】D【解析】【分析】A,有可能出現(xiàn),平行這種情況

12、.B,會(huì)出現(xiàn)平面,相交但不垂直的情況.c,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷.D，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷【詳解】對(duì)于A,m l , m，若l，則/，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,會(huì)出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況，故 B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)閙/l , m，則l，又因?yàn)閘/ ，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,l, m / lm，又由m /，故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行、垂直關(guān)系的判定，還考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力， 屬于中檔題.10如圖，平面四邊形 ABCD中，AB AD CD 1, BD 2，BD CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體 A BCD，使平面A BD 平面BCD，若四面體 A BCD的 頂點(diǎn)在

13、同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）AA. 3B.二C. 4D. 24【答案】A【解析】【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)是E,連接DE,由四面體A -BC的特征可知，DE即為球體的半徑【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)是E,連接DE，A ,因?yàn)?AB= AD= 1, BD=、. 2由勾股定理得：BA丄AD又因?yàn)锽D丄CD,即三角形 BCD為直角三角形所以DE為球體的半徑DE故選A【點(diǎn)睛】求解球體的表面積、體積的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是求球體的半徑，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于球體半徑R的方程式，構(gòu)造常用的方法是構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理建立關(guān)于半徑R的方程11設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，ABC是斜邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形,若三

14、棱錐D ABC體積的最大值為27,則該球的表面積為（）A. 36【答案】CB. 64 nC. 100D. 144【解析】【分析】 由題意畫(huà)出圖形，求出三棱錐 D ABC的外接球的半徑，代入表面積公式求解.【詳解】 解：如圖,ABC是斜邊BC長(zhǎng)為6的等腰直角三角形，則當(dāng) D位于直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐D ABC體積取最大值為27，由 AB AC，AB AC，BC 6，可得斜邊 BC 上的高 AE 3，AB AC 3、, 2，1 1由 一 一3 2 32 DE 27，解得 DE 9，3 2ntt AE2 TOC o 1-5 h z 則 EF1 DE球O的直徑為DE EF 10,1則球O的半徑為丄105

15、2 該球的表面積為 S 452100故選C.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.12.設(shè)三棱錐V-ABC的底面是A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，VA丄底面ABC, M是線段BC上的點(diǎn)（端點(diǎn)除外），記 VM與AB所成角為a, VM與底面ABC所成角為3,二面角A-VC- B為y,貝卩（)A. V B.V ,V C. , 222D. ,V 2【答案】C【解析】【分析】由最小角定理得由已知條件得AB平面VAC ,過(guò)A作AN VC，連結(jié)BN ,得BNA,推導(dǎo)出BVA,由VA平面ABC,得VMA，推導(dǎo)出MVA，從而，即可得解.【詳解】由三棱錐V ABC的底面是

16、A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,VA 平面ABC, M是線段BC上的點(diǎn)（端點(diǎn)除外），記VM與AB所成角為 ，VM與底面ABC所成角為 ，二面角A VC B為 由最小角定理得，排除A和B;由已知條件得 AB 平面VAC，過(guò)A作AN VC，連結(jié)BN，得 BNA,本題查了線線角、線面角、二面角的關(guān)系與求解，考查了空間思維能力，屬于中檔題13.在正四面體ABCD中，P是AB的中點(diǎn)，Q是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則直線 PQ與AC所成角可能為（5C.12D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，取BC的中點(diǎn)M，連接MQ，則AC/MQ，所以 QPM為異面直線PQ與 tantanBNAABAN，而tanBVAABA

17、V，ANAV , tanBNAtanBVA,BVA,/ VA平面ABC , VMA,MVA2，/ tanMVAAMAV，ABAM , - tanBVAtanMVAAC所成角，在利用余弦定理可得 MQ 4x22x，易知PQ MQ，所以在等腰三AC所成角，在利用余弦定理可得 MQ 4x22x，易知PQ MQ，所以在等腰三角形PMQ中cos QPM-=12,0*4 x 2x4 ，即可求出cos QPM靈43123，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】 取BC的中點(diǎn)M，連接MQ，則AC/MQ，所以 QPM為異面直線PQ與AC所成角，如下圖所示:BCD的棱長(zhǎng)為設(shè)正四面體ABQ x，0 x4 ,在BMQ中,2 2MQ

18、BM2BQ 2BMBQ cos60 42小x 2x,在正四面體ABCD中，易知PQ MQ，所以在等腰三角形PMQ 中，cos QPM1廠x22x，0所以cos QPM3，二3，所以異面直線1235PQ與AC所成角可能為 12故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線成角, 生的應(yīng)用能力和空間想象能力,余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題考查了空間幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，考查學(xué)14.在三棱錐P ABC中,PA平面ABC ,AP 4，AB AC 2 . 3，則三棱錐P ABC的外接球的表面積為（A. 32 n【答案】C【解析】B. 48 nC. 64 nD. 72 n【分析】3先求出VABC的外接圓的半徑，然后取

19、VABC的外接圓的圓心 G，過(guò)G作GO/AP ,1且GO AP 2，由于PA 平面ABC，故點(diǎn)O為三棱錐P ABC的外接球的球心,2OA為外接球半徑，求解即可【詳解】在 VABC 中，AB AC 2 3，BAC 2T，可得 ACB 6，則VABC的外接圓的半徑rAB2sin ACB2 32sin n62 3，取VABC的外接圓的圓心1G，過(guò) G 作 GO/AP，且 GO AP 2,因?yàn)镻A 平面ABC，所以點(diǎn)O為三棱錐P ABC的外接球的球心, 則OA2 OG2 AG2，即外接球半徑 R 22 2.3 4,則三棱錐P ABC的外接球的表面積為 4nR24n 1664 n本題考查了三棱錐的外接球

20、表面積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題15.女口圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A. 64B. 16C. 28D. 16【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三視圖，還原直觀圖，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，計(jì)算體積，即可.【詳解】結(jié)合三視圖，還原直觀圖，得到故體積V2 r22 4 3 22 2 316 竽，故選 B【點(diǎn)睛】本道題考查了三視圖還原直觀圖,考查了組合體體積計(jì)算方法，難度中等.16.已知空間四邊形 OABC，其對(duì)角線為OB , AC , M , N分別是邊OA, CB的中占八、：點(diǎn)G在線段MN上，且使 MG 2GN ,()UUVuuv2 uuv2 uu

21、vA.OGOA OB2 OC33uuv1 uuv1 uuv1 uuvC.OGOAOB-OC633【答案】C解爭(zhēng)析】【分析】uuv uuu uuivuuv 口用向量 OA，OB，OC表示向量 OG是uuv1 uuv2 uuv2uuivB.OG-OA OBOC233uuv1 uuv1 uuv2uuvD.OGOAOBOC633根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)O出發(fā),示，就可以得到結(jié)論.【詳解】把不是基底中的向量，用是基底的向量來(lái)表UULTQOGUUUT OMUUUU MGUUUDOMuuuu MN ,3UUUUOMuuu uuu MO OC3UUUTCN1 UUUU OM3UUUT OC3UULT

22、OG1 UULT -OA1 UUU -OB1 UUUT -OC ,故選：C.1 uuu uuurOB OC31 UULT 1 UUU 1 ULUT OA OB OC63317.如圖1，已知正方體5D.2【點(diǎn)睛】 本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿 著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過(guò)程.ABCD-A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 2, M , N, Q 分別是線段 AD1, BiC,3C. _2【答案】C【解析】【分析】判斷俯視圖的形狀，利用三視圖數(shù)據(jù)求解俯視圖的面積即可.【詳解】 由正視圖可知： M是AD1的中點(diǎn)，N在B1處，Q在GD1的中點(diǎn), 俯視圖如圖所示：1113可得其面積為：22 211112,故選C.2 2 2 2【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖求解幾何體的面積與體積，判斷它的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題已知，是不同的兩個(gè)平面，直線 a 點(diǎn)，條件q: / ，則p是q的（）A.充分不必要條件C.充要條件【答案】B【解析】/ a與b沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，a與b所在的平面 上）命題p : a與b沒(méi)有公共點(diǎn)？命題q:，直線b ，條件p: a與b沒(méi)有公共B.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件可能平行，也可能相交（交點(diǎn)不在直線b/，為假命題又/ 時(shí)，a與b平行或異面，即a與b沒(méi)有公共點(diǎn)命題q:/?命