專題提升二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題分類整理

1、專題提升（八）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用【經(jīng)典母題】某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為 9元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)在10元到 14元之間（含10元，14元）浮動(dòng)時(shí)，每瓶售價(jià)每增加0.5元，日均銷量減少40 瓶；當(dāng)售價(jià)為每瓶12元時(shí)，日均銷量為400瓶.問(wèn)銷售價(jià)格定為每瓶多少元 時(shí)，所得日均毛利潤(rùn)（每瓶毛利潤(rùn)=每瓶售價(jià)-每瓶進(jìn)價(jià)）最大？最大日均毛利 潤(rùn)為多少元？解：設(shè)售價(jià)為每瓶x元時(shí)，日均毛利潤(rùn)為y元，由題意，得日均銷售量為40040（x12）65 = 1 360 80 x,y=（x9）（1 360- 80 x）=80 x2+2 080 x-12 240（1g x 14）. TOC o 1-5 h

2、 z _2 080= 132a 2X （ 80）v1013 14, .當(dāng) x=13 時(shí),y 取最大值,y 最大=80X 132+2 080X 13-12 240=1 280（元）.答：售價(jià)定為每瓶13元時(shí)，所得日均毛利潤(rùn)最大，最大日均毛利潤(rùn)為1 280元.【思想方法】 本題是一道復(fù)雜的市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題，在建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，在這個(gè)取值范圍內(nèi),需了解函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值,變化情況，對(duì)稱性，特殊點(diǎn)等）和圖象，然后依據(jù)這些性質(zhì)作出結(jié)論.【中考變形】1. 2017錦州某商店購(gòu)進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為20元/件的日用商品，第一個(gè)月，按進(jìn)價(jià) 提高50%的價(jià)格出售，售出400件，第二個(gè)月，商店準(zhǔn)備在

3、不低于原售價(jià)的 基礎(chǔ)上進(jìn)行加價(jià)銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少.銷 售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系如圖Z8-1所示.y（件）（1）圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是 當(dāng)售價(jià)定為35元/件時(shí)、銷售量為300件;銷售單價(jià)每提高1元時(shí)，黑匚二銷售量相應(yīng)減少_20件；圖 Z8-1（2）請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式：_y= 20 x+ 1 000 ;自變量x的取值范圍為 30& x&50 ;（3）第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是：當(dāng)售價(jià)定為35元/件時(shí)，銷售量為300 件；第一個(gè)月的該商品的售價(jià)為20X（1+ 50%

4、） = 30（元），銷售單價(jià)每提高1元時(shí)， 銷售量相應(yīng)減少數(shù)量為（400 300）中35 30） = 20（件）.解得,k= 20,、b= 1 000,（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 y= kx+ b,將點(diǎn)（30, 400）, （35, 300）代入，400=30k+ b,得、300=35k+ b,；y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y= - 20 x+ 1 000.當(dāng) y= 0 時(shí)，x=50,自變量x的取值范圍為30 x 50.設(shè)第二個(gè)月的利潤(rùn)為W元，由已知得 W= （x 20）y=（x 20）（ 20 x+1 000）= 20 x2+ 1 400 x- 20 000= 20（x35）2+4 500

5、,v-200, .當(dāng) x=35 時(shí),W取最大。4 500.答：第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為35元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是 4 500 元.2.2016寧波一模大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，集資5萬(wàn)元開(kāi)品牌專賣店，已知該品牌商 品成本為每件a元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間存在次函數(shù)關(guān)系，如下表所示:銷售價(jià)x（元/件）110115120125130銷售量y（件）5045403530若該店某天的銷售價(jià)定為110元/件，雇有3名員工，則當(dāng)天正好收支平衡（即 支出=商品成本+員工工資+應(yīng)支付的其他費(fèi)用 ）.已知員工的工資為每人每 天100元，每天還應(yīng)支付其他費(fèi)用200元（不包括集資款）.求日

6、銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該店現(xiàn)有2名員工，試求每件服裝的銷售價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店每天 的毛利潤(rùn)最大（毛利潤(rùn)=銷售收入一商品成本一員工工資一應(yīng)支付的其他費(fèi)用)；(3)在(2)的條件下，若每天毛利潤(rùn)全部積累用于一次性還款，而集資款每天應(yīng)按其萬(wàn)分之二的利率支付利息，則該店最少需要多少大(取整數(shù))才能還清集資 款？解：(1)由表可知，y是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+ b,解得k= - 1,、b= 160,將 x= 110, y= 50; x=115, y=45 分另1J代入，f110k+ b=50,得k115k+ b=45, .y= x+ 160(0 x50 0

7、00+ 0.000 2X 50 000t,解得 t102-2. 49.t為整數(shù)，t的最小值為103天.答：該店最少需要103天才能還清集資款.3. 2017青島青島市某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每間淡季旺季未入住房間數(shù)100日總收入(元)24 00040 000價(jià)格比淡季上漲1.下表是去年該酒店豪華問(wèn)某兩天的相關(guān)記錄：31(1)該酒店豪華間有多少問(wèn)？旺季每間價(jià)格為多少元？(2)今年旺季來(lái)臨，豪華間的問(wèn)數(shù)不變，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)(注：上漲價(jià)格行去年旺季的價(jià)格，那么每天都客滿；如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元, 每天未入住房間數(shù)增加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪

8、華間的價(jià)格上漲多少元時(shí)，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元?需為25的倍數(shù))解：(1)設(shè)淡季每間的價(jià)格為x元，依題意得40000 x1 + 324 000 x+ 10,解得x = 600,酒店豪華間有40 00040 000600X 1+3）50（間）,旺季每間價(jià)格為x+ 1x= 600+1X 600= 800（元）. 33答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價(jià)格為800元;(2)設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲x元，日總收入為y元，y = (800+ x) ,0 25 )= 25(x 225)2 + 42 025,當(dāng)x = 225時(shí)，y取最大值42 025.答：該酒店將豪華間的價(jià)格上漲 225

9、元時(shí)，豪華間的日總收入最高，最高日 總收入是42 025元.4.某公司經(jīng)營(yíng)楊梅業(yè)務(wù)，以3萬(wàn)元/t的價(jià)格向農(nóng)戶收購(gòu)楊梅后，分揀成 A, B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售，B類楊梅深加工再銷售. A類楊梅的包裝成本為1萬(wàn)元/t,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，它的平均銷售價(jià)格y(萬(wàn)元/t)與銷售數(shù)量x(x2)(t) 之間的函數(shù)關(guān)系式如圖Z82, B類楊梅深加工總費(fèi)用s(單位：萬(wàn)元)與加工數(shù)量t(單位：t)之間的函數(shù)關(guān)系是s= 12 +3t,平均銷售價(jià)格為9萬(wàn)元/t.圖 Z8-2(1)直接寫出A類楊梅平均銷售價(jià)格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)第一次該公司收購(gòu)了 20 t楊梅，其中A類楊梅x t,經(jīng)營(yíng)這批楊梅所獲得

10、的 毛利潤(rùn)為W萬(wàn)元(毛利潤(rùn)=銷售總收入一經(jīng)營(yíng)總成本).求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若該公司獲得了 30萬(wàn)元毛利潤(rùn)，問(wèn)：用于直接銷售的A類楊梅有多少噸？ (3)第二次該公司準(zhǔn)備投人132萬(wàn)元資金，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使公司獲得 最大毛利潤(rùn)，并求出最大毛利潤(rùn).解：(1)y=x+ 14 (2x8);(2)二銷售A類楊梅x t,則銷售B類楊梅(20 x)t.當(dāng)20 x8 時(shí)，W= 6x+9(20-x)-3X20-x- 12+3(20 x) = x + 48,函數(shù)表達(dá)式為W=x2 + 7x+ 48 (2x8);當(dāng) 20 x8 時(shí)，x+48 = 30,解得 x= 18.答：當(dāng)毛利潤(rùn)達(dá)到30萬(wàn)元時(shí)，直接銷售的A

11、類楊梅有18 t;設(shè)該公司用132萬(wàn)元共購(gòu)買m t楊梅，其中A類楊梅為x t, B類楊梅為(m x)t,購(gòu)買費(fèi)用為3m萬(wàn)元.由題意，得 3m+x+ 12+3(mx) = 132,化簡(jiǎn)，得3m=x+ 60.當(dāng) 20 x8 時(shí)，W= 6x+9(m-x)-132,由 3m=x+60,得 W= 48,當(dāng) x8 時(shí), 毛利潤(rùn)總為48萬(wàn)元.答：綜上所述，購(gòu)買楊梅共64 t,且其中直銷A類楊梅4 t, B類楊梅52 t公司能獲得最大毛利潤(rùn)64萬(wàn)元.【中考預(yù)測(cè)】某襯衣店將進(jìn)價(jià)為 30 元的一種襯衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，調(diào)查表明：這種襯衣售價(jià)每上漲1 元，其銷售量將減少10 件(1)寫出

12、月銷售利潤(rùn)y(元)與售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售價(jià)定為45元時(shí)，計(jì)算月銷售量和銷售利潤(rùn)；(3)襯衣店想在月銷售量不少于300件的情況下， 使月銷售利潤(rùn)達(dá)到 10 000元，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？(4)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)？求出最大利潤(rùn)解：(1)由題意可得月銷售利潤(rùn)y 與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(x30)600 10(x 40) = 10 x2+ 1 300 x 30 000;(2)當(dāng) x=45 時(shí)，60010(x 40) = 550(件)，y = 10 X 452 + 1 300X 45-30 000= 8 250(元)；(3)令y=10 000,代入(1)中函數(shù)

13、關(guān)系式，得10 000= - 10 x2+1 300 x- 30 000,解得 x = 50, x2=80.當(dāng)x= 80時(shí)，600-10(80-40) = 200300(不合題意，舍去)，故銷售價(jià)應(yīng)定為50 元；(4)y= 10 x2+1 30cx30 000= 10(x 65)2+ 12 250, . .x= 65 時(shí)，y 取最大 值 12 250.答：當(dāng)銷售價(jià)定為 65元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為 12 250元次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題分類整理1、理論應(yīng)用 (基本性質(zhì)的考查：解析式、圖象、性質(zhì)等)2、實(shí)際應(yīng)用 (拱橋問(wèn)題，求最值、最大利潤(rùn)、最大面積等) 類型一：最大面積問(wèn)題例一：如圖在長(zhǎng)200米

14、，寬80米的矩形廣場(chǎng)內(nèi)修建等寬的十字形道路，綠地面積y(itf)與路寬x(m)之間的關(guān)系？并求出綠地面積的最大值?變式練習(xí)1:如圖，用50m2的護(hù)欄全部用于建造一塊靠墻的長(zhǎng)方形花園，寫出長(zhǎng)方形花園的面積y(itf)與它與墻平行的邊的長(zhǎng) x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式？當(dāng) x為多長(zhǎng)時(shí)，花園面積最大？類型二：利潤(rùn)問(wèn)題例二：某商店經(jīng)營(yíng)T恤衫，已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是 2.5元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售量與銷售單價(jià) 滿足如下關(guān)系：在某一時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13.5元時(shí)，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元，就可以 多售出200件.請(qǐng)你幫助分析：銷售單價(jià)是多少時(shí)，可以獲利最多？設(shè)銷售單價(jià)為x元，(0VXW13.5)元，那么銷售

15、量可以表示為 ;銷售額可以表示為 ;所獲利潤(rùn)可以表示為;當(dāng)銷售單價(jià)是 元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是 變式訓(xùn)練2.某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià) 1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？變式訓(xùn)練3:某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷從虧損到盈利的過(guò)程，如下圖的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)y （萬(wàn)元）與銷售時(shí)間x （月）之間的關(guān)系（即前 x個(gè)月的利潤(rùn)之和y與x之間的關(guān)系）.（1）根據(jù)圖上信息，求累積利潤(rùn) y （萬(wàn)元）與銷售時(shí)間 x （月

16、）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元？（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？為（萬(wàn)元）變式訓(xùn)練4.某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件 70元，試銷中銷售量 y （件）與銷售單價(jià) x （元）的關(guān)系可以近似 的看作一次函數(shù)（如圖）.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)公司獲得的總利潤(rùn)(總利潤(rùn)=總銷售額-總成本)為P元，求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大？最大值是多少？類型三：實(shí)際拋物線問(wèn)題例三：某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖10所示。(1

17、)以隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)某卡車空車時(shí)能通過(guò)此隧道，現(xiàn)裝載一集裝箱箱寬3m,車與京f共高4.5m,此車能否通過(guò)隧道？并說(shuō)明理由。變式練習(xí)3:如圖是拋物線型的拱橋，已知水位在AB位置時(shí)，水面寬例2圖4/6米，水位上升3米就達(dá)到警戒水位線 CD,這時(shí)水面寬4/3米,若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.25米的速度上升，求水過(guò)警戒線后幾小時(shí)淹到拱橋頂?8米,變式練習(xí)4:如圖，某大學(xué)的校門是一拋物線形狀的水泥建筑物，大門的地面高度為兩側(cè)距地面4米高處各有一個(gè)掛校名的橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為 6米，則校門的高度為。(精確

18、到0.1米)題圖變式：1如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn) 。處練習(xí)發(fā)球，將球從 。點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把 球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度 y (m)與運(yùn)行的水平距離 x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6) 2+h.已知球網(wǎng) 與。點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距 。點(diǎn)的水平距離為18m。(1)當(dāng)h=2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)(2)當(dāng)h=2.6時(shí)，球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。課后練習(xí)：一，利潤(rùn)問(wèn)題:1.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存， 商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出 2件.(1)若商場(chǎng)平均每天要盈利 1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？(2)每件襯衫降低多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？二，面積問(wèn)題：2,如下圖，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)設(shè)長(zhǎng)方形的一邊 AB= x m,那么AD力的長(zhǎng)度如何表示？(2)設(shè)長(zhǎng)方形的面積為 y m2,當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？.有一個(gè)拋物線形拱橋，其最大高度為16m,跨度為40m,現(xiàn)把它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖該拋物線的解析式為 。.