高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題29《定義法或幾何法求空間角》教師版

1、專題29 定義法或幾何法求空間角一、單選題1在長方形ABCD中，AB=2AD，過AD，BC分別作異于平面ABCD的平面，若，則l與BD所成角的正切值是（ ）AB1C2D4【答案】C【分析】將異面直線平移到同一平面ABCD中即有l(wèi)與BD所成角為，即可求其正切值.【詳解】由及線面平行的判定定理，得，再由線面平行的性質(zhì)定理，得所以與所成角是，從而故選：C【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條到同一平面內(nèi)；（2）認(rèn)定：確定異面直線所成的平面角； （3）取舍：由異面直線所成的角的

2、取值范圍是，當(dāng)角為鈍角時，應(yīng)取補角作為兩條異面直線所成的角2在正方體，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正方體中，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計算即可.【詳解】在正方體中，所以異面直線與所成角為，如圖設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選:C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：幾何法：平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.向量法：求兩直線的方向向量；求兩向量夾角的余弦；因為直線夾角為銳角，所以對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所

3、成角的余弦值.3已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式，求得，結(jié)合線面角的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，底面是邊長為的正三角形，可得，設(shè)點是的中心，所以，解得，又由，在直角中，可得，又，所以.故選：B.4空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么異面直線AC和BD所成的角是（ ）ABCD【答案】B【分析】由異面直線所成角的定義確定異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算【詳解】AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，異

4、面直線AC和BD所成的角是（或其補角），中，異面直線AC和BD所成的角為故選：B5如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個側(cè)面都是正方形，、分別是和的中點，則與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】D【分析】取的中點，連接、，設(shè)，證明出四邊形為平行四邊形，可知異面直線與所成的角為或其補角，設(shè)，計算出三邊邊長，利用余弦定理計算出，即可得解.【詳解】取的中點，連接、，設(shè)，設(shè)，、分別為、的中點，則且，在正三棱柱中，且，為的中點，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，所以，異面直線與所成的角為或其補角，則，由余弦定理可得.因此，與所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其

5、基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角6如圖在四面體中，平面，那么直線和所成角的余弦值（ ）ABCD【答案】A【分析】設(shè)，分別取的中點，連接 ，則，所以（或其補角）就是直線和所成的角，根據(jù)三角形的余弦定理可求得選項.【詳解】設(shè)，分別取的中點，連接 ，則，所以（或其補角）就是直線和所成的角，又平面，平面，所

6、以 ，所以，又，所以在中，所以直線和所成角的余弦值為.【點睛】本題考查求異面直角所成的角，平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角7如圖所示，點是二面角棱上的一點，分別在、平面內(nèi)引射線、，若，那么二面角的大小為（ ）ABCD【答案】D【分析】過上一點分別在、內(nèi)做的垂

7、線，交、于點、，則即為二面角的平面角，設(shè)，通過解三角形即可求出答案【詳解】解：過上一點分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點、，則即為二面角的平面角，如下圖所示：設(shè)，又，為等邊三角形，則，故選：D8如圖，是正方體，則與所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【分析】通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.【詳解】過點A在平面內(nèi)作，再過點在平面內(nèi)作，如圖，則或其補角即為與所成的角，因為是正方體，不妨設(shè)，則，所以在中，.故選：A.9在長方體中，、分別為上底面的邊、的中點，過、的平面與底面交于、兩點，、分別在下底面的邊、上，平面與棱交于點，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（ ）.ABCD【答案】A

8、【分析】根據(jù)題意畫出圖形，通過分析可知，直線與側(cè)面所成角為，則，然后根據(jù)圖形中的幾何條件分析計算出及的長度即可解得答案.【詳解】延長和交于點，連接，平面，平面/平面，/平面，又平面，且，/，又/，又，且，且，又，根據(jù)線面夾角的概念可知，直線與側(cè)面所成角為，則.故選：A.【點睛】本題考查直線與平面夾角的計算問題，利用定義法求解線面夾角時，一般步驟如下：（1）找出斜線在平面內(nèi)的投影，或根據(jù)題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角；（2）根據(jù)幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長；（3）根據(jù)解三角形的方法計算所求角的三角函數(shù)值.10如圖，在正四棱錐中，設(shè)直線與直線、平面所成的角分別為、，二面角的大小為

9、，則（ ）ABCD【答案】A【分析】連接、交于，連，取的中點，連，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知，再比較三個角的正弦值可得結(jié)果.【詳解】連接、交于，連，取的中點，連，如圖：因為，所以，又因為四棱錐為正四棱錐，所以，由正四棱錐的性質(zhì)可知，平面，所以，易得，所以，因為，且，所以，又都是銳角，所以，因為，且，所以，因為都是銳角，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，利用異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義得到這三個角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.11已知在正方體中，分別為，上的點，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】A【分析】取線段上一點，使，連接，證明（或其補

10、角）為異面直線與所成的角，在中求出此角的余弦即可【詳解】取線段上一點，使，連接，如圖所示，因為，所以，所以，又，所以易知（或其補角）為異面直線與所成的角.正方體中平面，平面，所以，所以設(shè)該正方體的棱長為，則，所以在中，所以.故選：A【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題時需根據(jù)定義作出異面直線所的角，并證明，然后再計算12如圖所示，已知正方體，則直線與平面所成的角為（ ）A30B45C60D90【答案】B【分析】把與平面所成的角轉(zhuǎn)化為與平面所成的角，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，得到為與平面所成的角，在直角中，即可求解.【詳解】由題意，在正方體中，可得，所以直線與平面所成的角，即為與平面所

11、成的角，連接交于點，可得，又由平面，因為平面，可得由線面垂直判定定理，可得平面，所以為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，可得,在直角中，因為，所以.故選：B.13如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面，是線段上的點(不含端點).設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)空間角的定義作出異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，歸結(jié)在直角三角形中計算正弦值、余弦值，然后可得角大小【詳解】如圖，取中點，連接，而平面平面，平面平面，平面，連接，作交于，則平面，為直線與所成的角，即，作于，連接，則是直線與平面所成的角，即，顯然，作交于，則，連接，

12、由平面得，平面，是二面角的平面角，即，同樣，由圖可知，（都是銳角），（也是銳角），又，根據(jù)上面作圖過程知是矩形，綜上故選：D【點睛】本題考查空間角：異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，解題關(guān)鍵是根據(jù)它們的定義作出這些角（平面上的角），然后利用三角函數(shù)值比較它們的大小14在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】A【分析】如圖所示，分別取，的中點，則，為異面直線與所成角【詳解】解：如圖所示，分別取，的中點，則，為異面直線與所成角設(shè)，則，異面直線與所成角的余弦值為，故選：【點睛】平移線段法是

13、求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角15已知長方體的高，則當(dāng)最大時，二面角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【分析】先由基本不等式得確定當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，接著求出，再取的中點，連接，并確定就是二面角的平面角，最后在三角形中由余弦定理求得解題.【詳解】解：設(shè)，則由題意得：，所以，由基本不等式得

14、：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，此時，所以，取的中點，連接，如圖，則，則就是二面角的平面角，在等腰三角形中，因為，所以，在等腰三角形中，因為，所以，在長方體，求得，故在三角形中，由余弦定理得，故選：B.【點睛】方法點睛：本題主要考查二面角的余弦值的求解，是中檔題.求二面角的常用方法：（1）找（確定二面角的平面角）點（定義法）：再二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直與棱的射線；線（三垂線定理）：過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角；面（垂面法）：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

15、角即是二面角的平面角.（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）在三角形中，利用余弦定理求值；射影面積公式求值；利用公式法求值.還可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值.二、多選題16在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（ ）AD1DAFBA1G平面AEFC異面直線A1G與EF所成角的余弦值為D點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍【答案】BCD【分析】利用正方體的性質(zhì)，平移異面直線得到它們的平面角進(jìn)而證D1D、AF是否垂直及求直線A1G與EF所成角的余弦值即可，利用等體積法可求G到平面AEF的距離與點C到平面AEF

16、的距離的數(shù)量關(guān)系，利用線面平行的判定即可判斷A1G、平面AEF是否平行.【詳解】A選項，由，即與并不垂直，所以D1DAF錯誤.B選項，如下圖，延長FE、GB交于G連接AG、GF，有GF/BE又E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，所以，而，即；又因為面 面=，且面，面，所以A1G平面AEF，故正確.C選項，取中點，連接，由題意知與平行且相等，所以異面直線A1G與EF所成角的平面角為，若正方體棱長為2，則有，即在中有，故正確.D選項，如下圖若設(shè)G到平面AEF的距離、C到平面AEF的距離分別為、，則由且，知，故正確. 故選：BCD【點睛】思路點睛：求異面直線所成角時平移線段，將它們置于同一個

17、平面，而證明線面平行主要應(yīng)用線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)證明.1、平移：將異面直線置于同一平面且有一個公共點，結(jié)合其角度范圍為.2、線面平行判定：由直線平行該直線所在的一平面與對應(yīng)平面的交線即可證線面平行.3、由、即可求G、C到平面AEF的距離比.17在棱長為1的正方體中中，點P在線段上運動，則下列命題正確的是（ ）A異面直線和所成的角為定值B直線和平面平行C三棱錐的體積為定值D直線和平面所成的角為定值【答案】ABC【分析】A：由正方體的性質(zhì)判斷平面，得出，異面直線與所成的角為90；B：由，證明平面，即得平面；C：三棱錐的體積等于三棱錐的體積的體積，判斷三棱錐的體積為定值；D：找出直線和平面

18、所成的角，可知其不是定值.【詳解】解：對于A，因為在正方體中，又，平面，所以平面，而平面，所以，故這兩個異面直線所成的角為定值90，所以A正確；對于B，因為平面與面是同一平面，面，平面，故平面，即平面，故B正確；對于C，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而平面為固定平面，且大小一定，又因為，因為，平面，平面，所以平面，所以點A到平面的距離即為點P到該平面的距離，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D，由線面夾角的定義，令與的交點為O，所以平面，可得即為直線與平面所成的角，當(dāng)P移動時這個角是變化的，故D錯誤.故選：ABC.【分析】本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質(zhì)，異面直線所成的

19、角，直線與平面所成的角，空間中的距離，屬于較難題.18世紀(jì)年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài). 其中立方八面體（如圖所示）有條棱、個頂點，個面（個正方形、個正三角形），它是將立方體“切”去個“角”后得到的幾何體.已知一個立方八面體的棱長為，則（ ）A它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為B它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直C它的體積為D它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD【分析】利用立方八面體與正方體之間的關(guān)系計算出正方體的棱長

20、，可判斷A、C選項的正誤；計算出不共面的棱所成角的大小可判斷B選項的正誤，計算相鄰的兩個面所成二面角的大小可判斷D選項的正誤.【詳解】如下圖所示，由題意可知，立方八面體的頂點為正方體各棱的中點，故立方八面體的棱為正方體相鄰兩條棱的中點的連線，故正方體的棱長為，由對稱性可知，立方八面體的外接球球心為正方體的中心，外接球的直徑為正方體的面對角線長，該球的半徑為，A選項正確；設(shè)、為立方八面體的兩條不共面的棱，如下圖所示，則，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，由于，易知為等邊三角形，則，所以，與所成角為，B選項錯誤；立方八面體的體積為，C選項正確；設(shè)正方體底面的中心為點，連接交立方八面體的棱于點，

21、連接，則為的中點，且為等邊三角形，所以，為的中點，、分別為、的中點，則，所以，為立方八面體的底面與由平面所成二面角的平面角，立方八面體的棱長為，平面，平面，在中，所以，同理可知，立方八面體的相鄰兩個面所成二面角的余弦值為，D選項正確.故選：ACD.【點睛】作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角三、解答題19如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC平面ABCD.BDC=90，BC=1，BP=，PC=2.（1）求證：CD平面PBD；（2）若BD與底面PBC所成的角為，求二面

22、角B-PC-D的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由已知求解三角形證明，再由平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，則，又由已知可得，利用直線與平面垂直的判定可得平面；（2）證明為等腰直角三角形，得，取中點，連接，則，可得平面，過作，垂足為，連接，可得，則為二面角的平面角，求解三角形可得二面角的正切值【詳解】（1）證明：在中，由，可得，又平面平面，且平面平面，平面，平面，則，又，且，平面；（2）平面平面，平面，在底面上的射影在上，則與底面所成的角為，由已知得，為直角三角形，為等腰直角三角形，且，取中點，連接，則，又平面平面，且平面平面，平面，平面，過作，垂足為，連接，可得，則為二面角

23、的平面角，在等腰直角三角形中，由，可得，由，可得，得，在中，可得二面角的正切值為【點睛】方法點睛：本題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，定義法找二面角歸納如下：設(shè)平面與平面的交線為，空間中一點，1. 點在平面內(nèi)，但不在交線上：過作平面的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接，角為二面角的平面角；2. 點在交線上：過在平面與平面內(nèi)分別作垂直于交線的射線，角為二面角的平面角；3. 點在兩平面外：過作平面的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，過在平面內(nèi)作交線的垂線，則角為二面角的平面角20如圖所示，平面ABEF平面ABC，四邊形ABEF是矩形，AB2，AF，ABC是以A為直角的等腰直角三角形，點P

24、是線段BF上的一點，PF3.（1）證明：ACBF；（2）求直線BC與平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線線垂直，需證明線面垂直，利用題中的垂直關(guān)系，易證明平面；（2）由題中所給的長度，證明平面，即BCP為直線BC與平面PAC所成的角，在RtBCP中，求線面角的正切值.【詳解】(1)證明：因為ABC是以A為直角的等腰直角三角形，所以ACAB，又平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，所以AC平面ABEF.因為BF平面ABEF，所以ACBF.(2)在矩形ABEF中，AB2，AF2，則BF4，又PF3，所以FA2PFBF，所以BFAP，由(1

25、)知ACBF，又ACAPA，所以BF平面PAC，則BCP為直線BC與平面PAC所成的角.如圖，過點P作PMAB交BE于點M，過點P作PNAB于點N，連接NC，因為BF4，PF3，所以PB1，則，所以PMBN，BMPN，ANABBN2， 所以CN，PC.在RtBCP中，tanBCP. 故直線BC與平面PAC所成角的正切值為.【點睛】方法點睛：本題考查計算線面角，注意包含以下方法：1.利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角中的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；2.在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法解垂線段的長度，而不必畫出線面角，利用/斜線段長，進(jìn)行求角；3.建立

26、空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.21如圖BCBD，ABBD，ABD60，平面BCD平面ABD，E、F、G分別為棱AC、CD、AD中點.（1）證明：EF平面BCG；（2）若BC4，且二面角ABFD的正切值為，求三棱錐GBEF體積.（注意：本題用向量法求解不得分）【答案】（1）證明見解析 （2）【分析】（1）由平面BCD平面ABD，可得平面，從而可證平面，又 ，可證.（2）過作于點，為的中點,過作于點，連接, 可得平面,則,從而平面.從而為二面角ABFD的平面角，再求三角形邊長進(jìn)行計算得出答案.【詳解】（1）由平面BCD平面ABD，且平面BCD平面

27、ABD 又BCBD，平面，所以平面又平面，則又, 為中點，則而,則平面又E、F分別為棱AC、CD中點，則 所以EF平面BCG；（2）由ABBD，ABD60，則為正三角形.過作于點，為的中點,過作于點，連接由平面BCD平面ABD，且平面BCD平面ABD，可得平面.所以,從而平面.所以為二面角ABFD的平面角.設(shè)，在中， 所以 則，則所以為等腰直角， 由，平面,平面,則平面則 所以三棱錐GBEF體積為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查線面垂直的證明和根據(jù)二面角的大小解決體積問題，解答本題的關(guān)鍵是利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，由平面BCD平面ABD，過作于點，可得平面，從而得出為二面角ABFD的平面

28、角，屬于中檔題.22中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且，于H，將沿折起，點A到達(dá)，此時滿足面面（1）若，求直線與面所成角大??；（2）若E，F(xiàn)分別為，中點，求銳二面角的余弦值；（3）在（2）的條件下，求點B到面的距離【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）折疊過程中與保持垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而可得為直線與面所成角，解即可得；（2）由（1）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦得二面角的余弦（注意銳二面角）；（3）同樣求出平面的一個法向量，由在法向量方向上的投影的絕對值即為點B到面的距離可得結(jié)論【詳解】（1）因為，所以為

29、中點，所以，又平面平面，所以平面，所以為直線與面所成角若，由得，所以，又，是銳角，所以；（2）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為E，F(xiàn)分別為，中點，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，即，平面的一個法向量為，所以銳二面角的余弦值為（3）由（2），設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，即，所以點B到面的距離為【點睛】本題考查求直線與平面所成的角，考查用空間向量法求二面角，求點到平面的距離，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量然后只要計算即可得23在四棱錐中，（1）求證：面；（2）已知點F為中點，點P在底面上的射影為點Q，直線與平面所成角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求異面直

30、線與所成角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）在直角梯形中先求出，然后可求得，從而可證明，由線面垂直判定定理證明線面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知在上，為直線與平面所成的角，設(shè)（），求出三棱錐的體積，由二次函數(shù)知識求得最大值，及此時的值，得為中點，從而有，為異面直線與所成角（或補角），由余弦定理可得【詳解】（1）證明：，又，由余弦定理得，又，又，平面，平面（2）由（1）平面平面，平面平面，點在上，為直線與平面所成的角，設(shè)（），則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則當(dāng)最大時，為中點，為中點，為異面直線與所成角（或補角），則由平面得，又，則，異面直線與所成角的余弦值為【點睛】本題考查線面

31、垂直的判定定理，考查直線與平面所成的角，異面直線所成的角，三棱錐的體積等，旨在考查學(xué)生的空間想象能力，運算求解能力，邏輯推理能力屬于中檔題24如圖，已知四棱錐中，平面，是的中點.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）證明見解析；（） .【分析】（）要證明線面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行，取中點，連，可證明四邊形為平行四邊形，從而證明；（）法一，連結(jié)，證明平面，即為所求；法二：是中點，連轉(zhuǎn)化為求與平面的線面角.【詳解】（）取中點，連.易知，且，且,所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為，所以 （）(一)連.由，所以，.在直角梯形上，.又，所以 又.，所以為直線與平面所

32、成角(二)設(shè)是中點，連因為，則，作，所以為，也即直線與平面所成角【點睛】方法點睛：1.利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角中的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；2.在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法解垂線段的長度，而不必畫出線面角，利用/斜線段長，進(jìn)行求角；3.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.25如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把折起，使點C移到點，且在平面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】

33、（1）證明：由面面垂直的判定可證得平面平面ABD再由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可得證；（2）由線面垂直的判定可證得平面再由面面垂直的判定可得證；（3）由（2）知，由二面角的定義可得二面角的平面角是，解三角形可得答案【詳解】解：（1）證明：由題意得平面ABD平面平面平面ABD又，平面平面，平面，；（2）證明：，平面又平面，平面平面（3）由（2）知，在中，二面角的平面角是，二面角的余弦值是【點睛】本題考查線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)，二面角的計算，屬于中檔題.關(guān)鍵在于作出二面角的平面角，常常有以下的方法，A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；B：利用面的垂線(三垂線定理或其逆定理)作平面

34、角；C：利用與棱垂直的直線,通過作棱的垂面作平面角；D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角.26如圖，已知三棱錐中，D為的中點.（1）求證：；（2）若，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點E，連接，利用已知條件得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面，即可得證；（2）取的中點F，連接，過D作于H；先利用已知條件以及線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面，所以就是與平面所成角，利用已知條件求解即可.【詳解】（1）取的中點E，連接.， ，D，E分別是的中點， ， ， ， ， ， 平面， .（2）取的中點F，連接，過D作于H.

35、，.D，F(xiàn)分別是的中點，平面，平面，就是與平面所成角，與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.27如圖，三棱柱中，平面，（）證明：；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析； （2）.【分析】（1）在中，根據(jù)勾股定理，證得，進(jìn)而證得，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）過點作，證得平面，在直角中，求得，

36、進(jìn)而得到點到平面的距離等于點到平面的距離，結(jié)合線面角的定義，即可求解.【詳解】（1）連接，在中，因為，由余弦定理，可得，可得，所以，又因為平面，平面，所以，又由，且平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）過點作于點，在三棱柱中，因為平面，可得平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在直角中，可得，又由，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，其距離，又在矩形中，可得，設(shè)直線與平面所成角，可得所以直線與平面所成角的正弦值為【點睛】求解直線與平面所成角的方法：1、定義法：根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值；2、向量法：分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個向量方法向量的夾角（或補角）；3、法向量法：求出斜線的方向