(整理)第十二章微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、精品文檔第十二章微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要（一）基本概念1微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程2微分方程的階微分方程中的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)3微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)4通解微分方程中帶有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解5特解利用定解條件，確定通解中任意常數(shù)的解。6定解條件用來(lái)確定通解中的任意常數(shù)的條件，常見的定解條件是初始條件。（二）一階微分方程的解法1可分離變量方程f(x)dx-g(y)dy解：Jf(x)dx=fg(y)dy+C2齊次方程dydx解：令2=u，貝y空=u+xdu，故xdxdxdudxJ(A=J+CFu丿一ux3一階線性方程y+P(x)y=Q(x

2、)解：y=eP(x)dxQ(xfp(x)dxdx+C4貝努利方程y+P(x)y=f(x)(豐0,1)解：令z=yi-a，貝Vdx+(-a)p(x)z=(1-a)f(x)再按線性方程的方法求解。5全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(其中)dxdy解：存在u(x,y)，使du=Pdx+Qdy，貝Uu(x,y)=JxP(x,y)dx+JyQ(x,y)dy+Cx0y00(三)可降階的高階微分方程的解法y(n)=f(x)12用n次不定積分求得方程的通解。y=f,y)3dP令y=P，則y=dP，得到一階微分方程dx字=f(x，P)dxy=f(y,y)令y=P則y=牛另=P-緊得到一階微分方程

3、P竽=f(y,P)dy(四)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)設(shè)二階線性齊次微分方程為y+P(x)y+Q(x)y=0它的n個(gè)解的線性組合Cy+Cy+Cy仍是方程的解；1122nn它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解的線性組合Cy+Cy是方程的通解。1122設(shè)二階線性非齊次微分方程為y+P(x)yr+Q(x)y=f(x)式的通解y(x)與式的一個(gè)特解y*之和是式的通解y二yw+y*若y*1，y*分別為方程12y+P(x)y+Q(x)y=f(x)1y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的特解，則方程2y+P(x)y+Q(x)y=f(x)+f(x)的一個(gè)特解為y*+y*1212(五)二階線性常系數(shù)齊次微分方程的解法設(shè)二階線性常

4、系數(shù)齊次微分方程為y+py+qy=0的特征方程為r2+pr+q=0r，1(1)若r，r為兩個(gè)不相等的實(shí)根，則式的通解為12y=Cer1x+Cer2x1122(2)若r，1r為兩相等的實(shí)根，則式的通解為2y=(C+Cx)er1x121(3)若r=aP是一對(duì)共軛復(fù)根，則式的通解為1,2it=eabcosPx+CsinPx12(六)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的解法設(shè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程為y+py+qy=f(x)(1)若fG)=e人p(x)，其中p(x)為x的m次多項(xiàng)式，則可令mmy*=xke人Q(x)，其中QG)為m次多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)型k=1,當(dāng)九mm0,當(dāng)九不是特征根是一個(gè)特征根2,當(dāng)九是兩

5、個(gè)特征根(2)若f(x)=e人p(x)cosx+p(x)sinx，其中p(x)，p(x)分別是l次、lnlnn次多項(xiàng)式，則可令y*=xke人LG)(x)cosx+RC)sinwxmm其中m=max（l,n）,RG）（x）和是兩個(gè)不同的m次多項(xiàng)式。m0,當(dāng)九wi不是特征根1,當(dāng)九wi是特征根根二、學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1許多科學(xué)及技術(shù)問(wèn)題的研究都?xì)w結(jié)到解微分方程。例如：研究最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)就有微分方程：-=w2s=0，這是二階微分方程。dt22在初學(xué)本章時(shí),首先要掌握微分方程的階、解、通解、特解這四個(gè)基本定義。3應(yīng)當(dāng)注意到,微分方程的通解不一定是所有解。如：y=丄是一階微分方程y+y2=0的通解，但該微分

6、方程還有另x+C一解，即y=0。在解n階微分方程時(shí)，因?yàn)橥ń庵杏衝個(gè)任意常數(shù)，為確定是這n個(gè)參數(shù),初始條件包含x=x時(shí)，函數(shù)y=p（x）的值及這函數(shù)的直到（n-1）階的導(dǎo)數(shù)在0 x=x時(shí)的值。例如：當(dāng)n=2時(shí)，初始條件為：0yI=p（x）=y及y，I=申心）=yx=x000 x=x000在一階微分方程一節(jié)中，學(xué)生必須能夠識(shí)別這幾種類型的微分方程并掌握它們的解法。在三種高階微分方程的求解時(shí)，也首先要能夠認(rèn)識(shí)三種類型，然后要知道每一類型該用什么方法去解。在二階及高階線性微分方程的理論中，關(guān)于線性無(wú)關(guān)的解的概念有著重要的意義，同學(xué)應(yīng)加深理解。應(yīng)當(dāng)注意到，如果常系數(shù)齊次線性方程的特征方程有復(fù)根a土卩i

7、,則對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)根的線性無(wú)關(guān)的特解為ecxcosBx和ecxsinpx。三、典型例題（一）一階微分方程1可分離變量的方程例1.求微分方程xydx=（+y2X1+x2dy的通解。解：原方程變形為：=dx=旦2dyvi+x2y兩邊積分得通解k=ln|y|+與+CxC2+xy+y2二0的通解。2.齊次方程2-xy+y2解：將方程整理為dy=_yx2-xy+y2dxxx2+xy+y2令2=u，則空=u+x-du，原方程化為xdxdx1+u+u22Xdu=-dxu1+u2xdu二-dxx兩邊積分得InIuI+arctanu=-2lnIxI+C將u=2代入，得原方程的通解為xInII+arctan=C一2

8、lnIxIxx即InIxyI+arctan=Cx3.一階線性微分方程例3：求微分方程空+ycosx=e-sinx的通解。dx解一：先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解令dy+ycosx=0，則通解dxy=Ce-sinx用常數(shù)變量法令C=uG)，將y=u(x)e-sinx代入原方程的標(biāo)準(zhǔn)型得:f(x)=1，貝Uu(x)=x+C原方程的通解為y=(x+C)e-sinx解二：公式法P(x)=cox,Q(x)=e-sinx代入求解公式中，得y=e-fcosxdxfe-sinxecosxdxdx+C例4.求微分方程y=1的通解。xcosy+sin2y解：用y是關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系去看這個(gè)方程，它既不是變量可分離方程，又不

9、是一階線性微分方程，但是把x作為y的函數(shù)關(guān)系來(lái)看，則有dx一=xcosy+sin2y。這是一階線性非齊次微分方程，其通解為:dyx=Cesiny-2(siny+1)4全微分方程例5.求微分方程Isinxy+xycosxydx+x2cos解：P(x,y)=sinxy+xycosxy,Q(x,y)=x2cosxyap=2xcosxy-x2ysinxy=aQax所以此方程是全微分方程用不定積分法求解因里=p(x,y)ax所以u(píng)(x,y)=JP(x,y)dx=fCinxy+xycosxydx=xsinxy+申(y)而翌=x2cosxy+申(y)=QG,y)Qy艮卩x2cosxy+申(y)=x2cosx

10、y得申(y)=0，則申(y)=C，故通解為xsinxy=C(二)可降階的高階微分方程例6：求方程y=-1+y22。解：該方程既不顯含x，又不顯含y，兩種解法均可，但應(yīng)注意這時(shí)兩種解法可能有難易程度的差別，應(yīng)注意比較，選用較簡(jiǎn)單的方法。若令y=p，則y=p，方程化為:pdx=-dp，x=-+C(+p2Y1+p2這時(shí)求解p比較繁，若令y=p，則y=pdp，方程化為dyPdp=-(+p22，dy即1+p2=()-(y-C)21所以p=*1-(y-Ci“y-C1dy1-(y-C而=dxy-C1-1dy=+dxV1-(y-C1)2可得方程的通解(x-C)2+(y-C)2二1。21(三)高階線性微分方程例

11、7：設(shè)二階線性微分方程y+P(x)yr+Q(x)y=f(x)的3個(gè)特解為y=x,y=ex，21y=e2x，求此方程滿足條件y(0)=1，y(0)=3的特解。3解：已知x、ex、e2x是方程的3個(gè)特解，則exx，e2xx是對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，且皀二冬豐C，故此二解為無(wú)關(guān)解，所以原方程的通解為e2x-x1x)+C(2xx)+x2由yG)=1，y心)=3，求得C=-1，C二2，故所求特解為122xx)+x2e2xex。例8：求方程y-2y+2y=excos2x-cosx的通解。解：原方程化為y一2y+2y=ex(cosx+cos3x)2對(duì)應(yīng)齊次方程y-2yr+2y=0特征方程為r2-2r+2=0特征根r=1土i，則齊次方程的通解為y=ex(Ccosx+Csinx)12對(duì)非齊次項(xiàng)的第一部分-excosx，由于a土冊(cè)=1土i是方程的特征根,2故設(shè)y*=xex(Acosx+Bsinx)1111對(duì)非齊次項(xiàng)的第二部分2excos3x，由于aPi二1土3i不是特征根，故ex(A2cos3x+Bsin2則非齊次方程的特解為y*=xex(Acosx+Bsinx)+ex(Acosx+Bsin3x)112將y*及其一、二階導(dǎo)數(shù)代入原方程，比較系數(shù)得A=0，A=-，B=-，B121614故原方程的通解為：y=ex(Ccosx+Csinx)+xexsinx一excos3xTOC o 1-5 h z12416