2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)(解析版)14：推理與證明-(1560)

1、.2012高考真題分類匯編：推理與證明觀【 2012高考真題江西理6】察下列各式：ab1, a2b23, a3b34, a4b47, a5b511,則 a10b1028【答案】 C76C 123D 199【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?解 析 】 等 式 右 面 的 數(shù) 構(gòu) 成 一 個(gè) 數(shù) 列1,3,4,7,11， 數(shù) 列 的 前 兩 項(xiàng) 相加 后 面 的 項(xiàng) ， 即n 2anan1a，所以可推出a10123 ，選 C.【 2012 高考真題全國(guó)卷理12】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為71，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn)F 在邊 BC 上，AE BF.動(dòng)點(diǎn) P 從 E

2、出發(fā)沿直線喜愛那個(gè)F 運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時(shí)反彈，反3彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P 第一次碰到E 時(shí)， P 與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（A） 16（ B） 14（ C） 12(D)10【答案】 B【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA 點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可 .【 2012 高考真題10】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中湖北理“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積 V ，求其直徑d 的一個(gè)近似公式d3 16 V . 人們還用過(guò)一些類似

3、的近.根似公式據(jù)9=3.141 59判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是113 16VB.dd323300VVCdD d321V【答案】D【解析】9157114d 33 6V，設(shè)選項(xiàng)中常數(shù)a6b69由V()得d,為, 則 =；A中代入得 =b=3.37，5.32a16中代入B得=6 1=3，C 中代入得 =6 15=73.14,D 中代入得=611=3.142857，2由于 D 中值最接近 的真實(shí)值，故選擇D 。【 2012 高考真題30021陜西理11】 觀察下列不等式1312221151，22333111712232424?第 - 1頁(yè) 共-6頁(yè).照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為.【答案】11111

4、111.2232425262【解析】通過(guò)觀察易知第五個(gè)不等式為611111111.223242526265.【 2012 高考真題湖南理16】設(shè) N=2 n（ n N * ， n 2），將 N 個(gè)數(shù) x1,x 2, ?，xN 依次放入編號(hào)為1,2 ，?，N 的 N 個(gè)位置， 得到排列P0=x1x2?xN. 將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后 N 個(gè)位置，得到P1=x1x3?xN-1x2x4?N 排列xN ，將此操作稱為 C 變換，將P 分成兩段，每段122N個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作2C 變換，得到p2 ；當(dāng) 2 i n-2 時(shí)，將 Pi 分成 2iN段，每段 2i

5、個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C 變換，得到 Pi+1 ，例如，當(dāng) N=8時(shí)， P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，x此時(shí)位置 P.中的第4 個(gè)72（1）當(dāng) N=16 時(shí)， x7 位于 P2 中的第 個(gè)位置；（2）當(dāng) N=2 n（ n 8）時(shí)， x173 位于 P4 中的第 個(gè)位置 .【答案】（ 1） 6；（ 2） 32n411【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí) ,P0 x1x2 x3 x4 x5 x6x16 , 可設(shè)為 (1,2,3,4,5,6,16) ,6xx15 x2 x4P1x1 x3 x5 x7x, 即為 (1,3,5,7,9, 2,4,6,8,16) ,16x1x5 x9 x13 x3 x7Px11x

6、15 x2 x6,15,2,6,16) ,x7位于 P2 中的第2位置 , ；x16 , 即 (1,5,9,13,3,7,116 個(gè)（ 2）方法同（1） , 歸納推理知 x1位于 P 中的7第 334n411 個(gè)位2置 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.62012 高考真題湖北理13】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左如 22，【. 讀都一樣的正整數(shù) 3443，94249等顯然 2 位回文數(shù)有121，?， 191， 202， ?，999則（） 4 位回文數(shù)121，9 個(gè)： 11，22， 33，?，

7、99 3 位回文數(shù)有90個(gè)： 101， 111，有個(gè)；（）2n1( n【答案】N ) 位回文數(shù)有個(gè)990，10 n【解析】（） 4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有 9（19）種情況，第二位有10（ 09 ）種情況，所以答案： 904 位回文數(shù)有91090種。（）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1 位回文數(shù)和2n+2 位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2 位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2 位回文數(shù)只用看前n+1 位的排列情況，第一位不能第 - 2 -頁(yè) 共 6 頁(yè).為 0 有 9 種情況， 后面n 項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為910n .法二、可以2 位

8、數(shù)9 個(gè)回文數(shù)，3 位看出有數(shù) 90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2 位數(shù)的中間“ 00,11,22?,?99”，因此四位數(shù) 90添加成對(duì)的的回文數(shù)有個(gè)十,而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的按此規(guī)律推導(dǎo)最中間添加09這,則答案?jìng)€(gè)數(shù)，因此為 910 n .【 2012 高考真題北京理20】（本小題共13 分）【答案】解：（1）由題意可知r1AkA0.71.2 ，r2A1.2 ，c1 A1.1， c2A0.7 ， c3A1.8（2）先用反證法證明kA 1 ： 若kA1則 | c 1A| | a1|a11 ， a0同理可知b0 ， ab0由題目所有數(shù) 和為0即 abc1 c1ab1與題目條件

9、矛盾kA 1 易知當(dāng) ab 0 時(shí)， kA1 存在 kA的最大值為 1（ 3） kA 的最大值為 2t1.t2首先構(gòu)造滿足k( A)2t1 的 At2 ai ,j ( i1,2, j1,2,.,2 t1)：a1,1a1,2. a1,t1,a1,t1a1,t2.a1,2 t1t1 ，t2第 - 3 -頁(yè) 共 6 頁(yè).aa.at 2t1,aa 2,.a1 .2,2 t2,12,2tt(t2)2, t 12,t 21經(jīng)計(jì)算知，A 中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且2| r 1( A) | | r( A) |2t1 ，t2| c 1 ( A) |c 2 ( A)t2t1t12t1|.|

10、c t ( A) |1t (t1，2)t2t2|1 ( A) | | ct 2 ( A)ct|.| c 2t 1( A) | 1t12t1.表 At2t2下 面 證 明2t1t22t1是 最 大值 .若 不 然 ， 則 存 在 一 個(gè) 數(shù)S(2,2 t1) ， 使得k (A)x. t2由 k( A) 的定義知A 的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于x ，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1 的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2，故 A 的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間 x, 2 中 . 由1于 x，故 A 的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同， 且絕對(duì)值均不小于x1.設(shè) A 中有 g 列的列和為正，有 h 列的列和為負(fù)

11、，由對(duì)稱性不妨設(shè)gh ，則gt, ht1.另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)A 的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮 A 的第一行，由前面結(jié)論知A 的第一行有不超過(guò)t 個(gè)正數(shù)和不少于t1 個(gè)負(fù)數(shù)， 每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1（即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò)1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于1（即每x個(gè)1負(fù)數(shù)均不超過(guò)| r 1( A) r1x ）.因此|( A)t 1(t1)(1 x)2t1 (t1)xx2t1(t2) xx ，A 的最大值為故 A 的第一行行和的絕對(duì)值小于x ，與假設(shè)矛盾.12t因此 k。t2.【 2012 高考真題湖北理】（本小分且 0r1 . 求 f (x) 的題滿分14）（）已知函數(shù)f (x)rxxr(

12、1 r ) (x0) ，其中 r 為有理數(shù)，最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：bbb設(shè) a10,， b1 , b2 為正有理，則a20 數(shù) . 若 b121a1 1a22a1b1a2b2 ；（）請(qǐng)將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸(x納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式)x 1 .【答案】（）f ( x)r1r1rrxr (1x) ，令f ( x)，解得0 x1.第 - 4 -頁(yè) 共 6 頁(yè).時(shí)，f當(dāng)( x)0 x10 ，所以f (x) 在 (0, 1) 內(nèi)是減函數(shù)；f當(dāng) x1時(shí)，(x)0 ，所以f ( x)在 (1,1f) 內(nèi)是增函數(shù) .故函數(shù)f (x)在 x處

13、取得最小值(1)0 .r（）由（） 知，當(dāng)x(0,) 時(shí)，有f( x)立；bb a2f (1)0 ，即 x rx(1r )若，a1a2a中有一個(gè)為0，則2a11a1b1 a2b2成2若a1均不0，為又bb1得12，可b1b21，于是在中令xa1 ， rb1 ，可得( a1 )b1b1 a1(1b1) ，a2a2a2b1b a1ba2即1bba1 b1 )，亦即a2b2a1a2 1 1(1a11 a22b1.綜上，bb10, a2 012b2b11b1b2對(duì)121 1 22為正有理， ，數(shù)且，總有a aa ba b .（）（）中命題的推廣形式為：設(shè) a1,a2 , an 為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1 , b

14、2 , bn 為正有理數(shù) .bbbbbn21若b11a1，則 a22anna2a1b1b2anbn .用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)n1 時(shí)， b11，有a1a1 ，成立 .（2）假設(shè)當(dāng)nk 時(shí)，成立，即若a1 , a2, ak 為非負(fù)實(shí)數(shù)，,b1 , b2 , bk 為正有理數(shù)，bkbbb且b1，則 1 a2a ka ba bab.b12a12k1122kk當(dāng) n k1 時(shí)，已 a1, a2 , , ak , ak 1 為非負(fù)實(shí)b1 ,b2 ,bk , bk 1 為正有理.是知數(shù)，數(shù)，且b1b2bk1，此時(shí)k1bk 1，即1bk 10 ，于bbbbbb bbbb1b2k1a1 aaak(a1

15、a)11 b 1 b1b1 bb122kk k 11 a22k kakk1= (a1a kk 12 1akk1 )k 1 akk.11b1b2因1bk11bk 1b1b2bkbk1 bk11 ，由歸納假設(shè)可得ak1bk1 b1 bb1b2bka1b1a2 b2bka1a2ak，aakka1111bk 11bk 11bk 11bk 112kabab1 bk1ababk 1 .從而 a b1 a b21 122kkk11 bk111akbk12akbk又因 (1bk1 )bk11 ，由得第 - 5 -頁(yè) 共 6 頁(yè).a1b1a2 b2 bkak bk1bk 1akbk 11a1b1a2b2ak(1bk 1 )ak 1bkbk1111bk1a1b1a2 b2akbkak 1bk 1 ，b bbbk11k ak 1a從 而 1 a 2aba babab.a12k122kkk 1k 1k故當(dāng)1 時(shí)，成n立 .由（ 1）（ 2）可知，對(duì)一切正整數(shù)n ，所推廣的命題成立.說(shuō)明：（）中如果推廣形式中指出 式對(duì) n2 成立，則后續(xù)證明中不需討論n1 的情況 .【 2012 高考真題福建理17】13（本小題滿分分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1） sin 213 +cos2 17