解直角三角形基礎講義

1、教學內容知識點一：銳角三角函數(shù)及其計算 TOC o 1-5 h z 邊角之間的關系(銳角三角函數(shù))：abasin A - - ,cos A - -, tan A - ccbsin A , 2 .2 _ sin A =cos(90* - A) = cosB, tan A ,sin A cos B =1 cos A30 , 45 , 60的三角函數(shù)值(見下表)3Cfl45n603sinap12立 2君 TcpsaT也1tanaj走 31J3【例】(1)計算：sin60 - tan30 +cos 2 45 =(2)把ABC#邊的長度都擴大 3倍得RtAA B C ,那么銳角 A、A的余弦值的關系為

2、(3)在 ABO43, / C= 90 , tan A= 1 ,則 sin B= , cosB= 3(4)如果cos A 1 +|J3tan B 3 =0 那么 ABO是(5)在 UABC中，a,b,c 分別是/A, ZB, /C 的對邊，已知 a=而,b=J3+J2, c =73-/2 ,則bsinB +csinO的值等于(6)已知cos a 1 B . m=1 C. mK 1 D. mll知識點二：解直角三角形在解直角三角形及應用時經常接觸到的一些概念仰角和俯角(2)坡度i =tana (3)方位角【例1】 蘭州市城市規(guī)劃期間，欲拆除黃河岸邊的一根電線桿AB（如圖），已知距電線桿 AB水平

3、距離14米處是河岸，即BA 14米，該河岸的坡面 CD的坡角/ CDF的正切值為2,岸高CF為2米，在坡頂C處測得桿頂A的仰角為30。，D E之間是寬2米的人行道，請你通過計算說明在拆除電線桿AB時，為確保安全，是否將此人行道封上？（在地面上以點B為圓心，以AB長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域 ）【例2】 梯形ABC虛攔水壩的橫斷面圖，（圖中i =1： J3是指坡面的鉛直高度 DE與水平寬度CE的比），/ B=60 ,AB=6, AD=4,求攔水壩的橫斷面 ABCD勺面積.（結果保留三位有效數(shù)字.參考數(shù)據(jù)：3 =1.732 , J2 = 1.414 ）【例3】如圖，一條小船從港口 A出發(fā)，沿北偏東

4、40方向航行20海里后到達B處，然后又沿 北偏西30方向航行10海里后到達C處.問此時小船距港口 A多少海里？（結果精確到1海里） sin 40、0.6428 , cos40 = 0.7660 , tan 40二 0.8391 , 6= 1.732.【例4】如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從 A地到B地需要經過DC沿折線A-AC2B到達，現(xiàn)在新建了橋EF,可直接沿直線 AB從A地到達B地.一直BG=11km, Z A=45 , Z B=37 .橋D5口 AB平行，則現(xiàn)在從 A地到達B地可比原來少走多少路程？（結果精確到0.1km.參考數(shù)據(jù)：J2 &1.41 , sin37 0.60 ,

5、cos37 0.80 ）【例5】由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測得沙塵暴中心在 A城的正南方向240km的B處，以每小時12km的速度向北偏東 30方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū) 域。（1） A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？【經典習題】1.雄偉壯觀的“千年塔”屹立在?？谑形骱０稁罟珗@的“熱帶海洋世界”“千年塔”的高度，雯雯在離塔底139米的C處（C與塔底B在同一水平線上.在一次數(shù)學實踐活動中，為了測量這座）,用高1.4米的測角儀CD測得塔項A的仰角“ =43 （如圖

6、），求這座“千年塔”的高度AB（結果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：tan4300.9325, cot43 1.0724)2 .如圖，一漁船以32千米/時的速度向正北航行，在A處看到燈塔S在漁船的北偏東30,半小時后航行到 B處看到燈塔S在船的北偏東750,若漁船繼續(xù)向正北航行到C處時，燈塔S和船的距離最短，求燈塔 S與C的距離。（計算過程和結果一律不取近似值）（sin 75。=F3.如圖，已知兩座高度相等的建筑物 AB、CD的水平距離BC = 60米，在建筑物 CD上有 一鐵塔PD,在塔頂P處觀察建筑物的底部 B和頂部A,分別測行俯角a =450,P =30,37求建筑物AB的高。（計算過程和

7、結果一律不取近似值）BD米到達D,在D處測得A的仰角為454.如圖，河對岸有鐵塔AB,在C處測得塔頂A的仰角為30。，向塔前進14 求鐵塔AB的高。B5.下圖為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高 AB=CD=30m,現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光的影響情況。 平線的夾角為30。時。試求：當太陽光與水1)若兩樓間的距離 AC =24m時，甲樓的影子，落在乙樓上有多高?2)若甲樓的影子，剛好不影響乙樓，那么兩樓的距離應當有多遠？6.如圖，A城氣象臺測得臺風中心在 A城的正西方300千米處，以每小時1047千 口n甲ABD米的速度向北偏東 60o的BF方向移動，距臺風中心 200千米的范圍內是受這次臺風影響的區(qū)域

8、。(1) 問A城是否會受到這次臺風的影響?為什么?(2) 若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風影響的時間有多長?【精選練習】-、選擇題:1.已知等腰三角形底邊上的高等于腰的30045 060 090 0A2.菱形 ABC面對角線 AC=10, BD=6,貝U tan =2(C)(D)以上都不對3.在高出海平面 )100米的山巖上一點A,看到一艘船B的俯角為30,則船與山腳的水平距離為(A) 50 米(B) 200 米(C) 100擲米(D)%馬米34.正方形的對角線長為 卮則正方形的面積為(A) 9(B).32(C)623(D) 25 .如果三角形的斜邊長為4, 一條直角邊長為2J3

9、,那么斜邊的高為(A)2、,3(B)(C)(D)6. RtMBC中，/ C=9C?,斜邊AB的坡度為1:2,若 BCAC 貝U BC:AC BA等于 (A) 1:2: .(B)1 : 3:2(C)1 ： M3 ： 5( d)1: 2: 57.若從山項 A望地面C、D兩點的俯角分別為 )450、300, C、D與山腳B共線，若CD=100米，那么山高 AB為(A) 100 米(B) 50 米(C) 50。2 米(D) 50 ( + 1 )米8.已知ABC中,AD是高，AD=2 DB=2, CD=2百，貝U/BAC=(A) 1050(B) 150(C) 1050 或 150(D) 600 ABC

10、中，/ ABC=90 , / ACB=45 , D 在450 + ,BC的延長線上，且 CD=CA 則cot 士-的值為2(A)2 1(C)% 2 -1(D)210,已知： ABC中，/ BCA=90, CDLAB于 D,若 AD=1,AB=3,那么/ B的余弦值為()(A)3(B)3(C)36(D)2二、填空題：1.若地面上的甲看到高山上乙的仰角為200,則乙看到甲的俯角為度。2.已知一斜坡的坡度為1: J3,則斜坡的坡度為.已知一斜坡的坡度為 1: 4,水平距離為20米，則該斜坡的垂直高度為 。.在山坡上種樹，要求株距為5.5米，測得斜坡的傾斜角為 30,則斜坡上的相鄰兩株間的坡面距離是米

11、。.已知直角梯形 ABCM, AB/ CD / D=9C, AC BQ 若 AC=3 BC=3 貝U AB=。.已知銳角 ABC中，AD BC于 D, / B=45, DC=1 且 S咨BC=3,則 AB= 。.已知菱形的兩條對角線分別是8和8不，則菱形的周長為 。.已知如圖，將兩根寬度為 2cm的紙帶交叉疊放，若/ “為已知，則陰影部分 面積為。.如圖所示，某建筑物 BC直立于水平地面，AC=9米，要建造階梯 AB,使每階高 不超過20厘米，則階梯至少要建 階。（最后一階的高不足 20厘米時，按一階計算； 羽=1.732 ）三、解答題：1、已知如圖，RtABC中，/ ACB=90, D是 A

12、B的中點，sin a =2 ,AC=4J5 ,求 S&BC 3已知如圖：四邊形 ABCD43, / B=Z D=90), / BAD=60,且 BC=11, CD=2 求 AC的長。我人民解放軍在進行“解放一號”軍事演習時，于海拔高度為600米的某海島頂端 A處設立了一個觀察點（如圖）上午九時，觀察員發(fā)現(xiàn)“紅方C艦”和“藍方D艦”與該島恰好在一條直線上，并測得“紅方C艦”的俯角為300,測得“藍方D艦”的俯角為8。，請求出這時兩艦之-0- /-0間的距離。（參考數(shù)據(jù)：43*.73，的8 =0.14，向8 =7.12）.如圖所示，一勘測人員從B出發(fā)，沿坡度為150的坡面以5千米/時的速度行至 D

13、點，用了 12分鐘，然后沿坡度為20的坡面以3千米/時行至山頂A處，用了 10分鐘，求山高（即 AC的長度）及 A B兩點的水平距離。（即BC的長度）（精確到0.01千米）（sin15 0=0.2588 , cos150=0.9659 , sin200=0.3420 , cos20 0=0.9397）.在生活中需要測量一些球（如足球、籃球）的直徑，某校研究學習小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面的測量方法： 如圖所示，將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子AB,設光線DA CB分別與球相切于點 E、F,則EF即為球的直徑，若測得 AB的長為41.5cm, / ABC=37,請你計算出球的直徑（精確到1cnD。6.某村計劃開挖一條長 圖所示）。實際開發(fā)渠道時, 米。1500米的水渠，渠道的斷