第28章橢圓的性質及應用

1、第二十八章橢圓的性質及應用【基礎知識】橢圓具有一般圓錐曲線的性質外，還具有如下有趣性質： TOC o 1-5 h z 22性質1橢圓土+=i（a AbA0）的左右焦點分別為 Fi, F2 ,其上任意一點P（X0 , V。）處的兩條焦半徑長分另1J為PFi|=%, PF2 =a e% （其中e為橢圓離心率，F(xiàn)1, F2分別為左、右焦點.下均同）性質2以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相切. 22證明設P為橢圓x2+4=i（a b 0）上一點，O為中心，M為PF2的中點，則 a b1.11MO =-|PF1 =-（2a -PF2 ）=a-|PF2 ,即圓心距等于兩圓半徑之差，故 eM與eO

2、 （a）相切.為敘述方便，定義橢圓上非頂點的某一點P與兩焦點Fi, F2所構成的三角形為焦點三角形，且稱頂點P的內、外角平分線（即 P點處的法、切線）與長軸的交點分別為內點M、外點N .性質3橢圓焦三角形中，內點 M到一焦點之距離與該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e.證明設內點為|MFj |MF2|MF1| +|MF2| 2cPF1 - PF2| |PF1 - PF2 一%性質4橢圓焦三角形中，（I）其內心I將內點M與P點連線段分成定比e； （n）半焦距為內點 M、外點N到橢圓中心的距離的比例中項，即 c2=OM| ON ;（出）橢圓中心到內點之距與內點到同側焦點之距，半焦距與外點到同側焦點之距

3、成比例,即理=明；（1）半焦距、外點與橢圓中心連線段、MF2F2N內焦與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成比例，即of1|_Imf2|ON| |F2N（V）過一焦點F2向P點處外角平分線（即 P點處切線）引垂線，則橢圓中與垂足Q連線必與另一焦半徑 PF1所在直線平行（注意 F2Q / MP ）；（VI） OQ =a ; （口）cos/FzPNcos/F2NP（設F2為F2關于PN的對稱點，則/F2PN =90s-ZE* ,4NP =90 0-ZF2F2N ,F1F2sin. F2F2F1 TOC o 1-5 h z 22性質5橢圓x2 +y2 =1（a AbA0）上任一點P, （I） P（

4、x0 , y0 ）點處的兩焦半徑的乘積， 其最大值為a2 a b一2.c . 一 . c V0b2最小值為b ;（n）若/F1PF2 =26，則Sa p、f2 =b2tanH ,且a8=及兩焦半徑的乘積為定值 by-bcos 二證明（I ）當P點在短軸頂點時，|PF1| | PF2 |=a2 ;當P點在長軸頂點時，PF1 PF2 =a2c2=b2;（n）如圖28-1,設PF1F2的內切圓半徑為r ,注意切線長定理則可證明：r=（a -cetane .又PF1F2的周長為 2a +2c ,則 sapff = (2a+2c) r = (a -c2) tanQ =b2tan日， 22從而 PF1H

5、PF2 二2SA PF1F2b2由22c.yo - ,tane,得匕田冬性質6設P為橢圓m-r a +P a cos sec222x y2 + 2 =i(a b a0 )上一點，F(xiàn)i, F2 為焦點, a b-P=e.2/PF1F2 =a , ZPF2F1 = P,證明由F1F2IPFi PF2I |PFi 卜 PF2sin 1；2-s j sin | sin sin -sinsin 工-jsin ：.，sin I ：=cos secU .即證.22性質7橢圓的焦點弦，(I)兩端點處的切線相交在焦點對應的準線上;(H)兩端點處的切線所成的角小于90口； (m)兩端點處的法線相交于Q ,過Q與長

6、軸平行的直線平分焦點弦；(IV)其中點軌跡也是橢圓;(V)垂直于兩端點處切線交點與該焦點的連線.22性質8設P是橢圓 與+%=i(abA0)上異于長軸頂點的一點，F(xiàn)i, F2是其左、右焦點,a bO是中心,設 OP| =d，則 | PF1I PF2 +d2 =b2 +a2.證明在PF1F2中，由中線長公式，得 PFi 2+PF2/ =2d2 +2 OF22 .配方，得(PF1 +PF2| j=2d2+2c2+2PF1 PF2 ,由橢圓定義，得 PFi PF2 +d2 =2a2 -c2 =b2+a2.22性質9直線Ax +By +c =0與橢圓 與+與=i相交、相切、相離的充要條件是 A2a2

7、+B2b2Q2 a b(A, B不同時為 0, a 0 , b 0).AC證明僅證相切情形，當B 0時，有y =x-C ,并代入橢圓方程消去yB B，化簡得(A2a2 +B2b2 卜2 2a2ACx+a2 (C2 B2b2 )=0,由其 A=0化簡得 A2a2 +B2b2 =C2,這說明直線與橢圓有兩個重合交點(即相切)的充要條件為A2a2 +B2b2 =C2 .當B =0 ,則直線必切橢圓于左或右頂點，x = a ,從而有Aa+C=0或 Ba+C=0,即有A2a2 =C2 ,亦有A2a2 +B2b2 =C2 .反之A2a2 =C2 ,推知x = a ,這表示一條過長軸頂點的切線.22推論直線

8、 Ax + By + C=0與橢圓 儼；, 1 +b0 )相交、相切、相離的充要條件是2222_2A a + B b (Am+Bn+C ).性質10設橢圓的一個焦點為 F ,直線l與過橢圓長軸的端點 A, A的切線相交于 M，M ,則(1) FM- FM-=0u 直線l與橢圓相切；(2)FM,FM-0=直線i與橢圓相離；(3)FM，F(xiàn)M1b 0 ), F (c , 0 ), A(-a , 0 , A(a , 0 ).直線 l ： y = kx + m . a bFM FM = -a -c , m -ka i (a -c, m ka 222 I 2 2=c -a m -k a2 ,22, 2=m

9、 -b -a k .-222 Lt由#了消去y,得y = kx m(b2 +a2k2 X +2a2kmx+a2 (m2 -b2 )=0. =4a2b2 (b2 +a2k2 -m2 ).FM FM =0u m2 b2 a2k2 =0U A = 0u 直線 l 與橢圓相切； FM FM 0u m2 b2 a2k2 0。Ac。直線 l 與橢圓相離；(3) FM FM 0U m2b2a2k2 0u 直線 l 與橢圓相交. 22性質11設l是過橢圓 與+4=1上異于長軸頂點的一點的切線，(I) l與過長軸頂點 A,丹的切線分a a別交于R, P2,則,PA1I PA2 I與2; (n)兩焦點F1、F2到

10、直線l的距離分別為d1 , d2,則d1 d2=b2 .證明(I )設 P(acos6, bsin 0),過 P 的切線方程為 bcosO x + asinO y = ab ,由 x = a 得P2A2 =b1 -cos 日sin 6同理，由x = -a得PA =b1 cos 二2故 PA I IP2A2 =b .(n)由(-c, 0 %(c, 0 1到直線 bcos日 x +asin 日.y _ab=0 的距離分別為 d1 - |cbcos + ab|b2 cos a2 sin 二cbcos【-ab2d2 = J 22 I ,故 di d2 =b .,b2 cos 1 a2sin2122性質

11、12設P, Q是橢圓x2 +y2 =l(a Ab a0)上兩點，(I)設O為中心，OP_LOQ,則1111一2 +2 =F +f ； ( n )設PQ通過焦點F ,弦CD也過點F ,且PQ _LCD ,則OP|OQ a b2工+口+ a |pQ| |CD| , a2 b2(出)設PQ通過焦點F , Q是橢圓上一點，且OQ _L PQ ,則21111 2 +2 = -2 -2 .a PQOQ2 a2 b2證明(I)設 P(OP cosQ, OP sine ),貝U Q(-OQ|，sin8,|OQ cosQ ).分別代入橢圓方程，相加即證.(H)設橢圓的極坐標方程為PQ| 1 PF I -iQF

12、=2ep 21 -e cosp =ep,可求得 1 ecos?2ab2同理, CD=bd&由此即可證.(出)由(I) , (n),知22.2.2a cos wb sin :22.21 b c sin :2OQ2. 2a b，PQ2ab2即證.性質13設M, y ),橢圓方程為與+%=1(a Ab0),對于直線l的方程線十y孚=1 ,則 a ba b(1)當M在橢圓上時,(2)當M在橢圓外時,(3)當M在橢圓內時,l為橢圓的切線；l為橢圓的切點弦直線；l為以M為中點的弦平行且過此弦端點切線交點的直線.事實上，這可由第二十五章的性質 【典型例題與基本方法】7推論后的注即得.這里，其實l為點M關于橢

13、圓的極線.2例1試確定m的取值范圍，使對直線 y=4x+m,在橢圓x4=1上有不同兩點A, B關于該直線對稱.解設P(x0, v。)是弦AB的中點，由性質10 ,知曲線X +=1關于點P對稱的曲線為x02=1 .兩式相減整理得公共弦方程:2, 22x0 x +4y0y3x0 -4y0 =0 .而公共弦的斜率為_1 ,故有k =43x01=一4 ,即 y。=3x。.又 P（比 , v。y =4x+4 上，有 y0 =4% + m ,由此兩方程求得 x0=-m, y0=-3m.因P（x0, y枝橢圓內部，故有22224鋁,即有苧+苧1,故2 132 13 %m b 0 ）對中心張角的弦恒與圓 x2

14、+y2 =-a2相切.a ba b證明設弦AB對中心O張直角,O到AB的距離為d .由三角形面積公式，知12 AB1 .，,一d =-|OA -OB .從而d2由性質11d22.2a bOA OBOA| |OBAB2 2OB a22OA OBOA OB由此即證得弦AB恒與圓相切.例6已知直線l的斜率為1,且過橢圓22212 +譽=1(ab0 )的左焦點與橢圓相交于A, B兩點，橢圓的中心為O,O點到直線AB的距離d=1 ,且弦AB的長是橢圓長軸的45求橢圓方程.解由題意可設AB的方程為y=；(x+c),它到原點的距離 d =又AB4=2a ,由性質11 (出)，5上 2 8a 1有一 ,2a

15、5 OP于是，得又易知OP的方程為y = -2x ,將其代入橢圓方程，解得x2OP22,2a b224a bb24a*)2 24a b224a b.于是_222OP =x y =2. 25a b224a2 b2*)式化簡得4a2 =9b2 ,再注意c2 =5，求得a=3 , b=2 .故所22求橢圓方程為x工例7設橢圓方程為100 363 39,F1, F2是焦點，求 PF1F2的內切圓方程.解顯然P點在橢圓PF1F2的內心為I PI交x軸于M ,易知Fi(8, 0), F2(8, 0),可求得PFi =15, PF21=5.由 jPF1 F1Mpf2mf2由性質又內切圓半徑MIPI=5 ，4

16、=e =一5故所求圓的方程為3922注由此例，促使我們探求對于橢圓x2+B=1（ab：0）上任意異于長軸頂點的點P,焦點PF1F2的a b內切圓圓心的方程為 (a -c2例19作斜率為1的直線l與橢圓C: x +y =1交于A、 36 4 +(a +c )y2 =(a -c p2 (y =0 ).事實上，可設/PF1F2=a, ZPF2F1,內心I（x,y）,在 PFR 中由正弦定理可求得a -ctan tan、之一=22 a c又 kiF1 = , ,kiF2 = (y =0 從而x cx -ck|F1 k|F2=tan- -tan二一 2整理得(a -c 卜2 十(a +c )y2 =(a

17、 c2 (y 0 ).22C1例8已知C0： x2+y2=1和C1：與+/=1（abA0）.試問：當且僅當 a, b滿足什么條件時，對上任意一點P,均存在以P為頂點、與C0外切、與Ci內接的平行四邊形？并證明你的結論.（2000年全國高中聯(lián)賽題）解所求條件為工+4=1 .a b必要性：易知圓外切平行四邊形必是菱形，圓心即為菱形中心.假設結論成立，則對點（a, 0）,有（a,為頂點的菱形與C1內接，與C。外切，（a,0 ）的相對頂點為（-a, 0）.由于菱形的對角線互相垂直平分,另外兩個頂點必在 y軸上且為（0, b）和（0, -b ）,菱形一條邊的方程為 + =1 ,即bx+ay=ab. a

18、bab1 1于麥形與C0外切，故必有2 =1 ,即為 =1 .a bab11 充分性：設$+斗=1, P是C1上任意一點，過 P, O作C1的弦PR,再過O作與PR垂直的弦QS,a b則 PQRS 為與 C1 內接的菱形.設 OP| =r1, OQ| =r2,則 P(r1cos仇 r1sin ),Q(r2cos(日+90).sinW +90*).代入橢圓方程，得b2 TOC o 1-5 h z 22 T22 -r1 cos 1 r sin ir22 sin222cos2i十=12. 2ab是Top|oq0r?+ sin2 8 + cos29 又在RtAPOQ中,設點O到PQ的距離為h ,則工h

19、 OP1+2 =1 ,故得h =1 .同理O到QR , RS, OQSP的距離也為1 .故菱形PQRS與C0外切，證畢.B兩點（圖略），且P（3我,五）在直線l的（1）證明；4PAB的內切圓的圓心在一條定直線上;（2）若 /APB=60。，求 4PAB 的面積.解（1）設直線l222x 6mx 9m于是，有XiX2（2012年全國高中聯(lián)賽題）11- y = x +m , A(x1，y1)， B(X2 , V2 將 y =x +m 代入 33-36 =0 .22X +y =中，化簡整理得36 4=-3m ,X1X29m2 -36._y1-V2_y2-42, kAP -=， kPB -=2x -3

20、、. 2x2 -3.2則 kPA.kPB-2 X”C2X1 3,2X2 -3 22”mr m-2.2 -3m L6.2 m /2_2：L_)0.X1 -3 .2 X2 -3 2又P在直線l的左上方，因此，/APB的角平分線平行于 y軸所在直線，所以4PAB的內切圓的圓心在直線x=3點在上.（2）若 ZAPB =60。，則由（1）知 kpA =點,kpB = m3 .直線PA的方程為y %5=J3（x3夜），代入22上+L=1 ,消去y得36414x2 +976(1 -3君 X +18(13 -3 )=0 .此方程的兩根分別是X1和3拒，所以X1 37218 13 -3 3142_3 2 3 3

21、 1于是PA=13X1 -3 2 =同理PB3 2 3 3 -1 7所以S/B二 2 PApBsin60 二*為所求.【解題思維策略分析】1.注意平面幾何知識的綜合運用2例10設P為橢圓X2 a2+ y2 =1（a b 0）上異于長軸頂點 A, A2的任一點，過P點的切線與分別過 A1,bA的切線相交于B1,B2,則以B1B2為直徑的圓必過兩焦點F1, F2 .證明如圖 28-2,設P（acos日，bsinQ ）,則過P的切線方程為 X c0s+ y sinH =1,它與 丫軸交于點 b0(0, bcscQ ), C 是線段 B1B2 的中點，從而 |CF1 =CF2 = Jc2 + b2 c

22、st 日y聯(lián)xcos日 ysin 0 / /口 一 聯(lián)乂 x ，+-=1 ,得 B1 /1 cos 二 b2B1B2 =BC =, -a2 * 44 (1 +cos 日 b bsin 9 sin 0Jc2 + b2 csc2 0 .1，, -從而 CF1 =cf2| =3 B1B2 ,故 fi2.注意三角知識的綜合應用,F2在以B1B2為直徑的圓上.例11在面積為1的 PMN中,1tanM = tanN =-2 ,建立適當?shù)淖鴺讼?，求出?M , N為焦點且 2過點P的橢圓方程.解以MN所在直線為x軸，線段方面，tanP=_tan M N =MN的中垂線為y軸建立直角坐標系.tan M tan

23、N 3tan M tan N -1 42tan P另一方面,tanP =2r-,從而,2 P1 -tan -2P2tan 一2_2 P1 -tan24 即3tan2 P P 一十8tan - -3=0 .（舍去）.P 1 P 斛得 tan = 一或 tan - = -3由性質5 （n）P Ccot- =1 3=3 .2作 PQ _LMN ,垂足為Q ,設PQNQ =m ,由 tanM =h-=2c m1h一及 tan/PNQ =一=2 ,易得、，4X2故所求橢圓方程為絲1533 ,即有42+ =1 .3 4 一h - c 又 SA PMN34c22c =1 ,得 c33.注意代數(shù)知識的綜合運用

24、22例12設橢圓X2 +y2 =1（ab0）的兩焦點為 匕了2,則橢圓上存在在點 P,使得ZFiPF2=9（09h a b的充要條件是sin 1 e （ e為橢圓的離心率）.證明設F1（-c, 0 ）,F2 (c, 0 ),點P的坐標為(x , y ),則kPF1 =-，kPF2x c由對稱性，僅考慮點P在上半橢圓，則kPF2 -kPF1tan 71 二1kPF2 kPF,0 .（上述前式不適合斜率不存在或日=90的2yc222-222，即 x 力 -c = y2，x y -c直線，而后式則適合于些直線.）22橢圓上存在點 P ,使ZF1PF2 =6的充要條件是方程組有解，這又等價于方程x y

25、-2 -k7 :1 ,a b 222x y c =2yc cot 1(c2 * +2yc cotO -y2 )b2 +a2y2 =a2b2,2 22即 c y 2yb ccot日一b4=0在區(qū)間（0, b上有解.設 f (y )=c2y2 +2yb2c cot 9 -b4 ,則-4 一f (0 )=4 0b22 cb .-2 cote -1 0cos t -1u - b0）, e。： a b22的2條切線，切點分別為M , N.若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為 m, n ,證明：當+與證明設P（X0,y0）, M,yi）, N（X2,y2），則由圓的性質12,知PM、PN的方程分別為Xix

26、+ y1y =b, x2x +y2 y =b2.由于點 P 在 2 條切線上，有 x1x0+y1y0 =b2 , x2x0+y2y0 =b2.因此，直線MN的方程為x0 x+y0y=b2 （此亦可由性質12即得）.2.2令y =o ,得m = ；令x =0 ,得n = .注意到P(x0 , y0而橢圓上, x0y。2 a b2注(1)由橢圓性質13,知點P處的橢圓切線的斜率為k1 =2沙，此時直線MN的斜率為k2 =-上，a y0y。從而有ki -byk2 =0 .a(2)若記上述例題中的橢圓為22G, e O 為 C2 ,且 C2 為 x + yP在C2上，則類似于(1)有2 2有a y0,

27、2 22, 2 a b+b x0 a b ,故；一2 十2 =x2 +y2=a2上，則類似地有22(3)若將(2)中 Ci 改為雙曲線x2_-y2=i(a0, b0),b2 ki +k2 =0 . ab2(4)在(3)中，若點P在Ci即雙曲線上，則類似地有 ki +-2k2 =0 . a22(5)在上述(2)中，若C2為雙曲線 與4=i(a0, b0),類似地有ki +k2=0 .a b此時，若點P在C1時，亦有k1 +k2 =0 .例i4如圖28-3,經過橢圓b2x2 +a2y2=a2b2(abA0)的長軸左頂點 A的弦AB交y軸于C , MN是過左焦點F1的弦.若 MN / AB ,則a

28、MN| = AB AC| .證明設平行弦AB、一 . 一x = -a tcosMN的傾斜角為a,則AB的參數(shù)方程為x (t為參數(shù))y =tsin 工代入橢圓方程并整理,b2 cos2 工；a2 sin2 1)t2 -2ab2cosu t = 0 ,是 AB = tB| =2ab2 cos，|.222.2b cos :工 .a sin :又在AB的參數(shù)方程中，令 x =0 ,得 AC =|tc| =aseco(| .2 2上述兩式相乘，得 AB AC 一TA b cos 工二 a sin :P=_ep從而1 ecos 1MN= NFi| -|MFi =2ep：221 -e cos :22ab27

29、22 . 2 b cos 不+a sin ;以Fi為極點，Ex為極軸建立極坐標系，則橢圓方程為故 a MN = AB J AC .【模擬實戰(zhàn)】習題A22.一 x V1 .已知橢圓&2 +y2 =1(a b0)上存在一點P,使得上FiPF2=60i ( Fi, F2為橢圓焦點).求離心率e的取值范圍. 22.試問橢圓。+看=i(ab 0戶勺離心率e在什么范圍內，橢圓上恒存在一點 P,使得點P到兩焦點 的距離之積等于焦距的平方？48.已知橢圓的長軸長為 4,焦距為2,過左焦點的兩條互相垂直的弦的長度之和為竺.試求這兩條弦7的長度之積.已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于

30、 P, Q兩點，且OP_LOQ,PQ| =?.求橢圓方程.(1991年全國高考題) TOC o 1-5 h z X2 V23 3.試證：橢圓 今+4=1 (ab0)的內接三角形的面積的最大值為*ab.a b4226.試證：橢圓 與+與=1(a b 0 )內接矩形的面積的最大值為 2ab . a b22.設AB是過橢圓 t + 4=1 (a Ab 0)中心的弦，F(xiàn)是焦點，則 AABF面積的最大值是 a b222bc(c =a -b ).設P是橢圓的準線l與對稱軸的交點，F(xiàn)是對應焦點，AB是過F的弦，則/APB的最大值為2arctane (e為離心率).22.設橢圓。+冬=1(a b 0 ),兩焦點Fi(-c, 0 ), F2(c, 0),點Q為橢圓上異于長軸頂點的點，過a b焦點Fi (或F2)作NF1QF2的外角平分線的垂線，垂足為 P ,則P點的軌跡是以原點為圓心，a為半徑的圓(除點(-，0