三排序不等式 (2)

1、三排序不等式【自主預(yù)習(xí)】1.順序和、亂序和、反序和的概念設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:a1a2an;b1b2bn,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任意一個(gè)排列.(1)順序和:_.(2)亂序和:_.(3)反序和:_.a1b1+a2b2+anbna1c1+a2c2+ancna1bn+a2bn-1+anb12.排序不等式(排序原理)設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,則_a1c1+a2c2+ancn_,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an或b1=b2=bn時(shí),反序和等于順序和.a1bn+a2bn-1+anb1a1b1+a2b2+anbn【即時(shí)小測(cè)】1.已知a,b,cR

2、+,則a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小關(guān)系是()A.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aD.a3+b3+c3a2b+b2c+c2a【解析】選B.因?yàn)閍,b,cR+,不妨設(shè)abc,則a2b2c2,由排序不等式得a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.2.若abc,xyz,則下列各式中值最大的一個(gè)是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz【解析】選D.因?yàn)閍bc,xyz,由排序不等式:反序和亂序和順序和,得:順序和ax+by+cz最大.3.已知a,b,c0

3、,且a2+b2+c2=3,則的最大值是_.【解析】因?yàn)閍,b,c0,不妨設(shè)abc,則a2b2c2, 則 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立,又a2+b2+c2=3,所以a=b=c=1,于是 的最大值為3.答案:3【知識(shí)探究】 探究點(diǎn)排序不等式1.使用排序不等式的關(guān)鍵是什么?提示:使用排序不等式,關(guān)鍵是出現(xiàn)有大小順序的兩列數(shù)(或者代數(shù)式)來探求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積的和的大小關(guān)系.2.已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,試檢驗(yàn)它們的順序和是否最大?反序和是否最小?提示:反序和S1=16+25+34=28,亂序和S=14+26+35=31,S=15+24+36=31,S=15+26+34=29,S=16+24+35

4、=29,順序和S2=14+25+36=32.由以上計(jì)算知S1SS2,所以順序和最大,反序和最小.【歸納總結(jié)】1.對(duì)排序不等式的理解排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組來研究不同的乘積和的問題,能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式:順序和、反序和、亂序和,對(duì)這三種不同的搭配形式只需注意是怎樣的“次序”,兩種較為簡(jiǎn)單的是“順與反”,而亂序和也就是不按“常理”的順序了.2.排序不等式的本質(zhì)兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小.3.排序不等式取等號(hào)的條件等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列,即a1=a2=an或b1=b2=b3

5、=bn.4.排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問題時(shí),常常涉及一些可以比較大小的量,它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序,那么在解答問題時(shí),我們可以利用排序原理的思想方法,將它們按一定順序排列起來,繼而利用不等關(guān)系來解題.因此,對(duì)于排序原理,我們要記住的是處理問題的這種思想及方法,同時(shí)要學(xué)會(huì)善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來處理實(shí)際問題.類型一利用排序不等式求最值【典例】設(shè)a,b,c為任意正數(shù),求 的最小值.【解題探究】本例中要利用排序原理求解最小值,關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組,然后根據(jù)反序和亂序和順序和求解最小值.【解析】不妨設(shè)abc,則a+ba+cb+c, ,由排序不等式得, + + + + +

6、+ + + 上述兩式相加得:2 ( + + )3,即 + + .當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí), + + 取最小值 .【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值,往往所給式子是順(反)序和式.然后利用順(反)序和不小(大)于亂序和的原理適當(dāng)構(gòu)造出一個(gè)或二個(gè)亂序和從而求出其最小(大)值.【變式訓(xùn)練】1.已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一個(gè)排列,則1c1+2c2+3c3的最大值是_,最小值是_.【解析】由反序和亂序和順序和知,順序和最大,反序和最小,故最大值為32;最小值為28.答案:32282.設(shè)00,則 .因而 又a5b5c5.由排序不等式,得 =又由不等式

7、性質(zhì),知a2b2c2, 根據(jù)排序不等式,得 = + + .由不等式的傳遞性知 + + = .【延伸探究】本例中若將要證明的不等式改為 如何證明呢?【證明】不妨設(shè)abc,則 ,bccaab.由排序原理,得 即 a+b+c.因?yàn)閍,b,c為正數(shù),所以abc0,a+b+c0,所以 abc.【方法技巧】利用排序不等式證明不等式的策略(1)利用排序不等式證明不等式時(shí),若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系,則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和.利用排序不等式證明即可.(2)在排序不等式的條件中,需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系,如果對(duì)于它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序,那么在解答問題時(shí),我們要根據(jù)各字母在不等式中的地位的對(duì)稱性將它們按一定順序排列起來,進(jìn)而用不等關(guān)系來解題.【變式訓(xùn)練】設(shè)x,y,zR+,且x+y+z=1