方差與頻率分布

1、2009年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識(shí)講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練方差與頻率分布知識(shí)講解方差的定義在一組數(shù)據(jù)x1，x2xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差.通常用“S2 ”表示，1,_、即 S2= (x】x )2+(X2 X)2+.+(Xn X)牛2.方差的計(jì)算(1)基本公式1-S2= (X x ) 2+ (x2 x )+ (x x ) 2(2)簡(jiǎn)化計(jì)算公式(I)1S2= 一 (x12+x22+.+Xn2)n x 21也可寫(xiě)成S2=n(x12+x22+.+xn2) x 2，此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.(3)簡(jiǎn)化計(jì)算公式(II)1-S2

2、= (x12+x、22+. .+xn2) nx x、2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可以依照簡(jiǎn)化平均數(shù)的計(jì)算方法，將每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組數(shù)據(jù)x =x a，x =x a，.x =x a，那么1122n n11S2= (x12+x、22+.+xn2) n x2，也可寫(xiě)成 S2= (x12+x、22+.+x2) x2 .記憶方 n法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方.3.標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用”表示，即S= S 2 =、； (x x)2 + (x x)2 +1IIII -(x x)24.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差和標(biāo)準(zhǔn)

3、差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，我們所研究的權(quán)是這兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等、平均數(shù)相等或比較接近時(shí)的情況.方差較大的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，方差較小的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小.前面學(xué)習(xí)的平均數(shù)與方差，反映了樣本和總體的兩個(gè)特征：平均水平和波動(dòng)大小.但是 在許多問(wèn)題中，只知道這些還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍所占的比例的大小， 這就需要研究如何對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，以便得到它的頻率分布.6.研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念研究樣本的頻率分布的一般步驟：計(jì)算極差(最大值與最小值的差)；決定組距與組數(shù)；決定分點(diǎn)；列頻率分布 表；畫(huà)出頻率分布直方圖.頻率分布的有關(guān)概念：極差：最大值與

4、最小值的差；頻數(shù)：落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總體(樣本容量n )的比值叫做這一小組的頻率.幾個(gè)重要的結(jié)論：各小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)；各小組的頻率之和等于1；頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，各小長(zhǎng)方形面積之和等 于1；各小長(zhǎng)方形的高與該組頻數(shù)成正比.例題解析例1甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組各4名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?單位：分)甲組：86 82 87 85乙組：85 81 85 89分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差；哪個(gè)學(xué)習(xí)小組學(xué)生的成績(jī)比較整齊？【分析】應(yīng)用平均數(shù)計(jì)算公式和方差的計(jì)算公式求平均數(shù)和方差.-1-1【解答】(1)尤甲=

5、4 (6+2+7+5) +80=85，尤乙=4 (5+1+5+9) +80=85.1S 甲2=4 (86-85) 2+ (82-85) 2+ (87 85) 2+ (85 85) 2=3.5，S 乙21=(85 85) 2+ (81 85) 2+ (85 85) 2+ (89 85) 2=8.4VS乙2S甲2，甲組學(xué)習(xí)成績(jī)較穩(wěn)定.【點(diǎn)評(píng)】方差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量.例2為了迎接全市體育中考，某中學(xué)對(duì)全校初三男生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目測(cè)試，并 從參加測(cè)試的500名男生中隨機(jī)抽取了部分男生的測(cè)試成績(jī)（單位：m，精確到0.01m）作 為樣本進(jìn)行分析，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每組含最低值，不含

6、最高值）已知圖中從左到右每個(gè)小長(zhǎng)方形的高比依次為2： 4： 6：5： 3,其中1.802.00這一小組的頻數(shù)為8,請(qǐng)根據(jù)有關(guān)信息解答下列問(wèn)題:（1）請(qǐng)指出樣本成績(jī)的中位數(shù)落在哪一小組內(nèi)，并說(shuō)明理由;（3）樣本中男生立定跳遠(yuǎn)的人均成績(jī)不低于多少米?（2）（4）請(qǐng)估計(jì)該校初三男生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?.00m以上（包括2.00m）的約有多少人?【分析】樣本容量是樣本數(shù)據(jù)，不帶單位，確定中位數(shù)時(shí)，首先將樣本數(shù)據(jù)按大小排序 后再求出，然后分析落在哪個(gè)小組.【解答】（1）由于1.802.00小組的頻數(shù)為8，占總份數(shù)中的4份，總份數(shù)是20分， 故樣本容量為：84=40. 2.402.60這個(gè)小組的頻率為3-20

7、=0.15.（2）由于樣本容量是40，則中位數(shù)是第20人和第21人成績(jī)的平均數(shù)，而第20人和 第21人的成績(jī)均在2.002.20這個(gè)小組，則中位數(shù)落在2.002.20這個(gè)小組.（3）因?yàn)榈谝唤M到第五組人數(shù)依次為4人，8人，12人，10人，6人，則可求得樣 本中男生立定跳遠(yuǎn)的人均成績(jī)不低于2.03m.（4）初中男生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?.00m以上的約有|x500=350 （人）.【點(diǎn)評(píng)】頻率分布直方圖中各小組頻率之和為1，掌握它是解題的關(guān)鍵.強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1. （2005,荊門(mén)市）已知數(shù)據(jù)：1，2, 1，0，-1，-2, 0，-1，這組數(shù)據(jù)的方差為 （2005,宜昌市）甲、乙、丙三臺(tái)包裝機(jī)同時(shí)分

8、裝質(zhì)量為400g的茶葉，從它們各自 分裝的茶葉中分別隨機(jī)抽取了 10盒，得到它們的實(shí)際質(zhì)量的方差如下表所示.根據(jù)表中數(shù) 據(jù)，可以認(rèn)為三臺(tái)包裝機(jī)中，包裝機(jī)包裝的茶葉質(zhì)量穩(wěn)定.甲包裝機(jī) 乙包裝機(jī) 丙包裝機(jī)方差/g231.967.9616.322005年沈陽(yáng)市春季房交會(huì)期間，某公司對(duì)參加本次房交會(huì)的消費(fèi)者進(jìn)行了隨機(jī)的問(wèn) 卷調(diào)查，共發(fā)放1000份調(diào)查問(wèn)卷，并全部收回.根據(jù)調(diào)查問(wèn)卷，將消費(fèi)者年收入情況整理 后，制成表1;將消費(fèi)者打算購(gòu)買(mǎi)住房的面積的情況整理后，制成表2,并作出部分頻率分 布直方圖（如圖）.表1被調(diào)查的消費(fèi)者年收入情況年收入/萬(wàn)元1.2 1.8 3.0 5.0 10.0被調(diào)查的消費(fèi)者數(shù)/人

9、200 500 200 70 30表2 被調(diào)查的消費(fèi)者打算購(gòu)買(mǎi)住房的面積的情況分組/m2頻數(shù) 頻率40.560.50.0460.580.50.1280.5100.50.36100.5120.5120.5140.50.20140.5160.50.04合計(jì)1000 1.00注：住房面積取整數(shù)請(qǐng)你根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1） 根據(jù)表1可得，被調(diào)查的消費(fèi)者平均年收入為萬(wàn)元；被調(diào)查的消費(fèi)者年收入的中位數(shù)是萬(wàn)元；在平均數(shù)，中位數(shù)這兩個(gè)數(shù)中，更能反映出被調(diào)查的消費(fèi)者年收入的一般水平；（2） 根據(jù)表2可得，打算購(gòu)買(mǎi)100.5120.5m2房子的人數(shù)是人；打算購(gòu)買(mǎi)住房面 積不超過(guò)100m2的消費(fèi)者的人數(shù)占

10、被調(diào)查人數(shù)的百分?jǐn)?shù)是；（3）在下圖中補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖.40.5 60.5 80.5 100.5120.5140.5160.5 住房面積血青少年視力水平的下降已經(jīng)引起全社會(huì)的關(guān)注，某校為了了解初中畢業(yè)年級(jí)500名 學(xué)生的視力情況，從中抽查了一部分學(xué)生視力，通過(guò)數(shù)據(jù)處理，得到如下頻率分布表和頻率 分布直方圖.分組頻數(shù)頻率3.954.250.044.254.550.124.554.85254.855.150.045.155.451.00合計(jì)請(qǐng)你根據(jù)給出的圖表回答：（1）填寫(xiě)頻率分布表中未完成部分的數(shù)據(jù).（2） 在這個(gè)問(wèn)題中，總體是，樣本容量是.（3） 在頻率分布直方圖中，梯形ABCD的面積是.

11、（4）請(qǐng)你用樣本估計(jì)總體，可以得到哪些信息（寫(xiě)一條即可）： 組距DC3.954.25/1 4.85 B 5.45 視力甲，乙兩種產(chǎn)品進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)， 得知乙產(chǎn)品比甲產(chǎn)品的性能更穩(wěn)定，如果甲，乙兩種產(chǎn)品抽樣數(shù)據(jù)的方差分別是S甲2與S乙2，則它們的方差的大小關(guān)系是. 已知：一組數(shù)據(jù)一1，x，1，2, 0的平均數(shù)是0， 這組數(shù)據(jù)的方差是.若樣本數(shù)據(jù)1, 2, 3, 2的平均數(shù)是a,中位數(shù)是b,眾數(shù)是c,則數(shù)據(jù)a, b, c的標(biāo)準(zhǔn)差是.若已知一組數(shù)據(jù)：, x2,，xn的平均數(shù)為x,方差為S2,那么另一組數(shù)據(jù)：3x1 2, 3x22, _, 3xn2的平均數(shù)為，方差為.二、選擇題在一次射擊練習(xí)中，甲，乙兩

12、人前5次射擊的成績(jī)分別為（單位：環(huán)）甲：10 8 10 10 7乙：710 9 910則這次練習(xí)中，甲，乙兩人方差的大小是（）A. S甲2S乙2B. S甲2S乙2C. S甲2=S乙2D.無(wú)法確定 已知甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.055,乙組數(shù)據(jù)的 方差S乙2=0.105,則（）甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)波動(dòng)大B.乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)大C.甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)一樣大D.甲，乙兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小不能比較（2005，宜昌市）衡量樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)是（）A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.中位數(shù)某少年軍校準(zhǔn)備從甲，乙，丙三位同學(xué)中選拔一人參加全市射擊比賽，他們?cè)谶x

13、拔 比賽中，射靶十次的平均環(huán)數(shù)是x甲；乙；丙=8.3，方差分別是S甲2=1.5, S乙2=2.8, S丙2=3.2.那 么，根據(jù)以上提供的信息，你認(rèn)為應(yīng)該推薦參加全市射擊比賽的同學(xué)是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.不能確定 （2005,廣州市）甲，乙兩人在相同情況下，各射靶10次，兩人命中環(huán)數(shù)的平均 數(shù)是x甲；乙=7,方差S甲2=1.0, S乙2=1.2，則射擊成績(jī)較穩(wěn)定的是（）A.甲 B.乙C. 一樣D.不能確定為參加電腦漢字輸入比賽，甲和乙兩位同學(xué)進(jìn)行了 6次測(cè)試，成績(jī)?nèi)绫硭荆杭缀鸵覂晌煌瑢W(xué)6次測(cè)試成績(jī)（每分鐘輸入漢字個(gè)數(shù)）及部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表第1次第2次第3次第4次第5次第6次平均數(shù)方差甲

14、1341371361361371361361.0乙135136136137136136136有四位同學(xué)在進(jìn)一步算得乙測(cè)試成績(jī)的方差后分別作出了以下判斷，其中說(shuō)法正確的 是（）甲的方差大于乙的方差，所以甲的成績(jī)比較穩(wěn)定甲的方差小于乙的方差，所以甲的成績(jī)比較穩(wěn)定乙的方差小于甲的方差，所以乙的成績(jī)比較穩(wěn)定乙的方差大于甲的方差，所以乙的成績(jī)比較穩(wěn)定在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表，通過(guò)計(jì)算可知兩組的方差為S 甲2=172, S乙2=256.下列說(shuō)法：兩組的平均數(shù)相同；甲組學(xué)生成績(jī)比乙組學(xué)生成績(jī)穩(wěn)定; 甲組成績(jī)的眾數(shù)乙組成績(jī)的眾數(shù)；兩組成績(jī)的中位數(shù)均為80，但成績(jī)280的人數(shù)甲 組比乙組多，

15、從中位數(shù)來(lái)看，甲組成績(jī)總體比乙組好；成績(jī)高于或等于90分的人數(shù)乙組 比甲組多，高分段乙組成績(jī)比甲組好.其中正確的共有（）分?jǐn)?shù)5060708090100人 甲組251013146數(shù) 乙組441621212A. 2種B. 3 種C.4種D. 5種（2005,鹽城市）如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)，那么這 組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)和方差都不變B.平均數(shù)不變，方差改變C.平均數(shù)改變，方差不變D.平均和方差都改變?nèi)?、解答題某校初三（1）班，三（2）班各有49名學(xué)生，兩班一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如 下表：班級(jí)平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差初三（1）班79708719.8初三（2）班7970795.

16、2（1）請(qǐng)你對(duì)下面的一段話給予簡(jiǎn)要分析：初三（1）班的小剛回家對(duì)媽媽說(shuō)：“昨天的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，全班平均79分，得70分的人最多，我得了 85分，在班上可算上游！”（2）請(qǐng)你根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對(duì)這兩個(gè)班的測(cè)驗(yàn)情況進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，并提出教學(xué)建議.武漢市教育局在中學(xué)開(kāi)展的，創(chuàng)新素質(zhì)實(shí)踐行”中，進(jìn)行了小論文的評(píng)比.各校交論文的時(shí)間為5月1日至30日，評(píng)委會(huì)把各校交的論文的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制 了頻率分布直方圖，已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2： 3： 4： 6： 4： 1，第二組的頻數(shù)為18.請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)本次活動(dòng)共有多少篇論文參加評(píng)比?(2)哪組上交的論文數(shù)量最多？有多少篇?(3)經(jīng)過(guò)評(píng)比，第

17、四組和第六組分別有20篇4篇論文獲獎(jiǎng)，問(wèn)這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?59.5 71.5 83.595.5107.5 119.5（2008，金華）九（3）班學(xué)生參加學(xué)校組織的“綠色奧運(yùn)”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，老師將對(duì)學(xué)生的成績(jī)按10分的組距分段，統(tǒng)計(jì)每個(gè)分?jǐn)?shù)段出現(xiàn)的頻數(shù)，填入頻數(shù)分布表，并繪制頻數(shù)的分布直方圖.九（3）班“綠色奧運(yùn)”知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)段/分49.559.559.569.569.579.579.589.589.599.5組中值/分54.564.574.584.594.5頻數(shù)a910145頻率0.0500.2250.2500.350b頻數(shù)分布表中a=(1)b=(2)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整

18、;(3)學(xué)校設(shè)定成績(jī)?cè)?9. 5分以上的學(xué)生將獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)，等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)作業(yè)本15本及獎(jiǎng)金50元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)作業(yè)本10本及獎(jiǎng)金30元.已知這部分學(xué)生共獲得作業(yè)本335本，請(qǐng)你求出他們共獲得的獎(jiǎng)金.，頻數(shù)/人 1412 ：9_ 10.1.1.1.一績(jī)/分九（3）班“綠色奧運(yùn)”知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布直方圖甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績(jī)情況如圖6-28所示.（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：平均數(shù)方差中位數(shù)命中8環(huán)以上次數(shù)甲71.21乙5.4（2）請(qǐng)從下列四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析.從平均數(shù)和方差相結(jié)合看；從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）；從平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合

19、看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）;從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看（分析誰(shuí)更有潛力）.在“3. 15”消費(fèi)者權(quán)益日的活動(dòng)中，對(duì)甲、乙兩家商場(chǎng)售后服務(wù)的滿意度進(jìn)行了 抽查.如圖反映了被抽查用戶對(duì)兩家商場(chǎng)售后服務(wù)的滿意程度（以下稱(chēng)：用戶滿意度），分 為很不滿意，不滿意，較滿意，很滿意四個(gè)等級(jí)，并依次為1分，2分，3分，4分.請(qǐng)問(wèn)：甲商場(chǎng)的用戶滿意度分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為 分；乙商品的用戶滿意度分?jǐn)?shù)的眾 數(shù)為 分.分別求出甲、乙兩商場(chǎng)的用戶滿意度分?jǐn)?shù)的平均分.(精確到0.01)請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷哪家商場(chǎng)的用戶滿意度較高，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.參考答案 TOC o 1-5 h z 1.二2.乙2 (1) 2.39；

20、1.8；中位數(shù)(2) 240； 52%(3)略(1)第二列從上至下兩空分別填15, 50；第三列從上至下兩空分別填0.5, 0.3(2)500名學(xué)生的視力情況；50 (3) 0.8 (4)該校初中畢業(yè)年級(jí)學(xué)生視力在4.554.85的人 數(shù)最多，約250人；或該校初中畢業(yè)年級(jí)學(xué)生視力在5.15以上的與視力在4.25以下的人數(shù)基本相等，各有20人左右5. S 乙2S 甲2 6. 2 7. 0 8. 3；2 9S29. A 10. B 11. C 12. A 13. A 14. C 15. D 16. C(1)從平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)角度分析；(2)平均分，眾數(shù)均相同，但三1)班的成績(jī)中位數(shù)高，表示三1)班成績(jī)比三(2)班好，但三(2)班標(biāo)準(zhǔn)差比