高等數(shù)學(xué)(下)6_5課件

1、6.5 曲面與空間曲線6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個(gè)基本問題 :(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的

2、點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀故所求方程為例6.15 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例6.16 研究方程解 配方得此方程表示:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. C6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 又如,方程組表示上半球面與圓

3、柱面的交線C. 6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .6.5.2 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程引例 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義6.4平行定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋

4、物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線6.5.3 以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 :6.5.3 以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到6.5.3 以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面思考 當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？6.5.3 以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面例6.17