飛機結構設計(同名57)

1、圖形變換圖形變換1. 數學基礎 矢量運算矩陣運算圖形變換采用齊次坐標所謂齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。如向量(x1,x2,xn)的齊次坐標表示為(hx1,hx2,hxn,h)，其中h是一個實數顯然一個向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標的h取不同的值都表示的是同一個點，比如齊次坐標8,4,2、4,2,1表示的都是二維點2,1。 齊次坐標的必要性它提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法。它可以表示無窮遠的點。n+1維的齊次坐標中如果h=0，實際上就表示了n維空間的一個無窮遠點。方便統(tǒng)一變換變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點

2、便于變換合成便于硬件實現幾何變換 窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標變換二維圖形的幾何變換三維幾何變換二維圖形的顯示流程圖（1/4）坐標系：建立了圖形與數之間的對應聯(lián)系 世界坐標系(world coordinate) 用戶坐標系(user coordinate) 局部坐標系(local coordinate) 二維圖形的顯示流程圖（2/4)屏幕坐標系(screen coordinate) 設備坐標系(device coordinate) 二維圖形的顯示流程圖（3/4）窗口在世界坐標系中指定的矩形區(qū)域 用來指定要顯示的圖形 視區(qū)在設備坐標系（屏幕或繪圖紙）上指定的矩形區(qū)域 用來指定窗口內的圖形在屏幕上顯示的大

3、小及位置 窗口到視區(qū)的變換 二維圖形的顯示流程圖（4/4）窗口到視區(qū)的變換（1/2） 目標將窗口之中的圖形變換到視區(qū)中變換的求法變換的分解與合成窗口到視區(qū)的變換（2/2）窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標變換實際的窗口區(qū)與視圖區(qū)往往不一樣大小，要在視圖區(qū)正確地顯示形體的，必須將其從窗口區(qū)變換到視圖區(qū)。 比例關系，兩者的變換公式為： 二維齊次坐標變換的矩陣的形式是：其中：對圖形進行縮放、旋轉、 對稱、錯切 對圖形進行平移 投影 整體縮放 二維圖形的幾何變換二維基本變換（1/3） 平移變換 1）平移變換 2）縮放變換 二維基本變換（2/3）旋轉變換點P(x,y,)的極坐標表示繞坐標原點旋轉角度 （逆時針為正，順

4、時針為負） 3）旋轉變換 在直角坐標平面中，將二維圖形繞原點旋轉角的變換形式如下：逆時針為正，順時針為負4）對稱變換 對稱變換其實只是a、b、d、e取0、1等特殊值產生的一些特殊效果。例如： 當b=d=0，a=-1，e=1時有x=-x，y=y，產生與y軸對稱的圖形。當b=d=0，a=-1，e=-1時有x=x，y=-y，產生與x軸對稱的圖形。當b=d=0，a=e=-1時有x=-x，y=-y，產生與原點對稱的圖形。當b=d=1，a=e=0時有x=y，y=x，產生與直線y=x對稱的圖形。當b=d=-1，a=e=0時有x=-y，y=-x，產生與直線y=-x對稱的圖形。5）錯切變換當d=0時，x=x+b

5、y，y=y，此時，圖形的y坐標不變，x坐標隨初值 （x，y）及變換系數b作線性變化。當b=0時，x=x，y=dx+y，此時，圖形的x坐標不變，y坐標隨初值 （x，y）及變換系數d作線性變化。復合變換及變換的模式（1/6） 問題：如何實現復雜變換？關于任意參照點 的旋轉變換 變換分解變換合成復合變換及變換的模式（2/6）關于任意參照點 的放縮變換 復合變換及變換的模式（3/6）變換的結果與變換的順序有關（矩陣乘法不可交換）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House();復合變換及變換的模式（4

6、/6）變換的固定坐標系模式 相對于同一個固定坐標系先調用的變換先執(zhí)行，后調用的變換后執(zhí)行 Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();復合變換及變換的模式（5/6）人的思維方式每次變換產生一個新的坐標系變換的活動坐標系模式先調用的變換后執(zhí)行，后調用的變換先執(zhí)行（圖形系統(tǒng)一般用堆棧實現） 復合變換及變換的模式（6/6）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();例子6）復合變換如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個變換矩陣綜合起來進行一步到位的變換。復合變換有如下的性質：復合平移 對同一圖形做兩次平移相當于將兩次的平移兩加起

7、來復合縮放 兩次連續(xù)的縮放相當于將縮放操作相乘：復合旋轉 兩次連續(xù)的旋轉相當于將兩次的旋轉角度相加：縮放、旋轉變換都與參考點有關，上面進行的各種變換都是以原點為參考點的。如果相對某個一般的參考點（xf，yf）作縮放、旋轉變換，相當于將該點移到坐標原點處，然后進行縮放、旋轉變換，最后將（xf，yf）點移回原來的位置。切記復合變換時，先作用的變換矩陣在右端，后作用的變換矩陣在左端。關于（xf，yf）點的縮放變換 繞（xf，yf）點的旋轉變換 其它變換(2/6)關于任意軸的對稱變換 三維幾何變換由于用齊次坐標表示，三維幾何變換的矩陣是一個4階方陣三維幾何變換（1/5）三維其次坐標(x,y,z)點對應

8、的齊次坐標為標準齊次坐標(x,y,z,1)右手坐標系 三維幾何變換（2/5）平移變換 放縮變換三維幾何變換（3/5）旋轉變換繞x軸繞x軸三維幾何變換（4/5）繞z軸錯切變換三維幾何變換（5/5）對稱變換關于坐標平面xy的對稱變換三維變換的一般形式坐標系之間的變換 什么是？建立坐標系之間的變換關系將圖形從一個坐標系中變換到另一個坐標系中怎樣求？投影8.1 三維圖形的基本問題 8.2 平面幾何投影 8.3 觀察坐標系中的投影變換 *投影舉例 8.4 三維圖形的顯示流程圖 8.5 三維裁剪 *圖形顯示過程小結 8.1 三維圖形的基本問題（1/4）顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法-

9、投影三維顯示設備正在研制中二維形體的表示-直線段,折線,曲線段,多邊形區(qū)域二維形體的輸入-簡單（圖形顯示設備與形體的維數一致）1. 在二維屏幕上如何顯示三維物體？2. 如何表示三維物體？三維圖形的基本問題（2/4）三維形體的表示-空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片三維形體的輸入、運算、有效性保證-困難解決方法-各種用于形體表示的理論、模型、方法物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關系遮擋關系是空間位置關系的重要組成部分解決方法-消除隱藏面與隱藏線3. 如何反映遮擋關系？三維圖形的基本問題（3/4）何謂真實感圖形逼真的示意的人們觀察現實世界產生的真實感來源于空間位置關系-近大遠小的透視

10、關系和遮擋關系光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法-建立光照明模型、開發(fā)真實感圖形繪制方法4. 如何產生真實感圖形三維圖形的基本問題（4/4）三維圖形的基本研究內容投影三維形體的表示消除隱藏面與隱藏線建立光照明模型、開發(fā)真實感圖形繪制方法8.2 平面幾何投影（1/12） 照像機模型與投影 如何投影?生活中的類比-如何拍攝景物？拍攝過程選景取景-裁剪對焦參考點按快門-成像移動方式移動景物移動照相機兩個坐標系平面幾何投影（2/12）投影照相機模型選定投影類型 設置投影參數 拍攝方向、距離等三維裁剪 取景投影和顯示 成像簡單的三維圖形顯示流程圖平面幾何投影（3/12）平面幾何投影及其分類 投

11、影將n維的點變換成小于n維的點 將3維的點變換成小于2維的點投影中心(COP:Center of Projection)視覺系統(tǒng)觀察點、視點電影放映機光源 投影面不經過投影中心平面-照相機底片曲面球幕電影,視網膜平面幾何投影（4/12）投影線從投影中心向物體上各點發(fā)出的射線 直線光線曲線噴繪平面幾何投影 投影面是平面投影線為直線 投影變換投影過程投影的數學表示 平面幾何投影（5/12）投影分類投影中心與投影平面之間的距離為無限 投影中心與投影平面之間的距離為有限 根據投影方向與投影平面的夾角根據投影平面與坐標軸的夾角平面幾何投影（6/12）平面幾何投影（7/12）透視投影投影中心與投影平面之間

12、的距離為有限參數：投影方向例子：室內白熾燈的投影，視覺系統(tǒng)滅點：不平行于投影平面的平行線，經過透視投影之后收斂于一點，稱為滅點.主滅點:平行于坐標軸的平行線的滅點。一點透視兩點透視三點透視特點：產生近大遠小的視覺效果，由它產生的圖形深度感強，看起來更加真實。 滅點的個數?主滅點的個數由什么決定?平面幾何投影（8/12）平面幾何投影（9/12）平面幾何投影（10/12）平行投影 投影中心與投影平面之間的距離為無限是透視投影的極限狀態(tài)平面幾何投影（11/12）正投影與斜投影平面幾何投影（12/12）三視圖：正視圖、側視圖和俯視圖 8.3 觀察坐標系中的投影變換（1/15）-如何進行投影變換？-觀察

13、坐標系生活中的類比-移動舞臺還是移動攝像機移動舞臺投影（攝像）簡單移動難度大移動攝像機移動容易投影復雜變換的分解與合成采用觀察坐標系，投影簡單觀察坐標系中的投影變換（2/15）什么是觀察坐標系View Reference Coordinate或VRC照相機所在的坐標系如何建立觀察坐標系坐標原點-聚焦參考點在底片（投影平面）上的投影，稱為觀察參考點VRP（View Reference Point)n軸-照相機鏡頭方向（投影平面的法向）v軸-照相機向上的方向（觀察正向）u軸-觀察坐標系中的投影變換（3/15）觀察坐標系中的投影變換（4/15）為什么需要觀察坐標系簡化和加速投影變換投影平面- n=0

14、投影中心- （0，0，d)視見體視見體是三維裁剪窗口建立步驟定義窗口形成觀察空間形成視見體發(fā)出射線前后裁剪面觀察坐標系中的投影變換（5/15）投影參考點PRP:Projection Reference Point透視投影：COP=PRP平行投影：投影方向DOP=窗口中心CW-PRP觀察坐標系中的投影變換（6/15）觀察空間有限觀察空間亦稱視見體或裁剪空間觀察坐標系中的投影變換（7/15）參數作用投影類型定義投影是平行投影還是透視投影觀察參考點VRP在世界坐標系中指定，為觀察坐標系原點觀察平面法向VPN在世界坐標系中指定，為觀察坐標的n軸觀察正向VUP在世界坐標系中指定，確定觀察坐標系的v軸投影

15、參考點PRP在觀察坐標系中指定確定投影中心或投影方向前裁剪面裁距F在觀察坐標系中指定，nF為前裁剪面后裁剪面裁距B在觀察坐標系中指定，nB為后裁剪面窗口umin、umax、vmin、vmax在觀察坐標系的uv平面上指定，確定窗口與視見體定義一個視見體所需的投影參數及其作用觀察坐標系中的投影變換（8/15）透視投影變換問題-在uvn中，投影平面為n=0，投影中心為（0，0，d)，待投影點為P，求投影點Q觀察坐標系中的投影變換（9/15）投影線的參數方程投影平面方程 n=0Q點的坐標由此式可解釋為什么透視投影產生近大遠小的視覺效果觀察坐標系中的投影變換（10/15）透視投影變換矩陣觀察坐標系中的投

16、影變換（11/15）平行投影變換問題-在uvn中，投影平面為n=0，投影方向為（0，0，-1)，待投影點為P，求投影點Q觀察坐標系中的投影變換（12/15）投影線的參數方程投影平面方程 n=0Q點的坐標觀察坐標系中的投影變換（13/15）平行投影變換矩陣透視投影與平行投影之間的關系觀察坐標系中的投影變換（14/15）從世界坐標系到觀察坐標系的變換條件VRC的坐標原點（觀察參考點）VRP（ ， ， ）投影平面法向VPN觀察正向VUP ， 觀察坐標系中的投影變換（15/15）結論*投影舉例（1/5） 待投影的單位立方體缺省投影參數 參數 值投影類型 平行投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（W

17、C） （0,0,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,1）窗口（VRC） （0,1,0,1）F(VRC)正無窮B(VRC) 負無窮投影舉例（2/5）透視投影一點透視參數 值投影類型 透視投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （0,0,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC）（0.5,0.5,4）窗口（VRC）（-0.5,1.5,-0.5,1.5）參數 值投影類型 透視投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （0,0,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC）（2.0,2.0,4.0）窗口（VRC）（-0.5,1.5,-0.

18、5,1.5）投影舉例（3/5）兩點透視參數 值投影類型 透視投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （1,0,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,4）窗口（VRC） （-1.5,1.5, -1.5, 1.5） 參數 值投影類型 透視投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （1,0,1）VUP（WC） （1,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,4）窗口（VRC） （-1.5,1.5, -1.5, 1.5） 投影舉例（4/5）平行投影參數 值投影類型 平行投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （0,0,1）VUP（WC） （

19、0,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,1）窗口（VRC） （-0.5,1.5,0.5,1.5） 參數 值投影類型 平行投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （1,1,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,2）窗口（VRC） （-0.5,1.5,0.5,1.5） 投影舉例（5/5）前、后裁剪面的影響 參數 值投影類型 透視投影VRP（WC） （0,0,0）VPN（WC） （0,0,1）VUP（WC） （0,1,0）PRP（VRC） （0.5,0.5,2）窗口（VRC） （-0.5,1.5,-0.5,1.5）F（VRC） 1.2B（VRC） 0

20、.2 8.4 三維圖形的顯示流程圖(1/14) 顯示流程圖觀察變換：從世界坐標系到觀察坐標系的變換三維圖形的顯示流程圖(2/14)模型變換模型坐標系Modeling Coordinate 物體的局部坐標系在模型坐標系中物體的表示簡單三維圖形的顯示流程圖(3/14)模型變換Modeling Transformation將物體從本身的模型坐標系變換到上層物體的模型坐標系（或世界坐標系）的幾何變換模型變換是構造復雜物體的方法例子：模型變換1三維圖形的顯示流程圖(4/14)何時裁剪投影之前裁剪-三維裁剪優(yōu)點只對可見的物體進行投影變換缺點三維裁剪相對復雜投影之后裁剪-二維裁剪優(yōu)點二維裁剪相對容易缺點需要

21、對所有的物體進行投影變換三維圖形的顯示流程圖(5/14)采用二維裁剪的三維圖形顯示流程圖在投影之前裁剪的理由三維物體的表面通常被離散表示成多邊形或折線，而對這類簡單圖元，三維裁剪同樣比較簡單。三維圖形在顯示過程中需要被消隱，做這個工作要有圖形的深度信息，所以必須在投影之前完成 。 消隱很費時，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可見的圖形，可使 需要消隱的圖形減至最小。三維圖形的顯示流程圖(6/14)規(guī)范視見體平行投影的規(guī)范視見體半立方體透視投影的規(guī)范時間體四棱臺三維圖形的顯示流程圖(7/14)為什么引入規(guī)范視見體簡化投影簡化裁剪規(guī)范化變換將任意視見體變換成規(guī)范視見體的變換規(guī)范投影坐標（三維屏幕

22、坐標 ）經規(guī)范化的觀察坐標系三維圖形的顯示流程圖(8/14)采用規(guī)范視見體的三維圖形顯示流程圖三維圖形的顯示流程圖(9/14)平行投影視見體的規(guī)范化將任意的平行投影視見體變換為規(guī)范平行投影視見體方法：變換的分解與合成步驟結果三維圖形的顯示流程圖(10/14)三維圖形的顯示流程圖(11/14)透視投影視見體的規(guī)范化將任意的透視投影視見體變換為規(guī)范透視投影視見體方法：變換的分解與合成步驟結果三維圖形的顯示流程圖(12/14)三維圖形的顯示流程圖(13/14)規(guī)范視見體之間的變換將透視投影的規(guī)范視見體變換為平行投影的規(guī)范視見體為什么關于長方體的裁剪較關于正四棱臺的裁剪簡單。平行投影較透視投影簡單。透視投影與平行投影都采用同一套裁剪與投影程序，處理一致，便于用