正方形幾何綜合專題-40道題目(含答案)

1、01如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GEDC于點(diǎn)E，GFBC于點(diǎn)F，連接AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的等量關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長為1，AGF105，求線段BG的長解：(1)AG2GE2GF2；理由：如解圖，連接CG，四邊形ABCD是正方形，ADGCDG45，ADCD，DGDG，ADGCDG，AGCG，又GEDC，GFBC，BCD90，四邊形CEGF是矩形，CFGE，在RtGFC中，由勾股定理得，CG2GF2CF2，AG2GE2GF2；(2)如解圖，過點(diǎn)A作AMBD于點(diǎn)M，GFBC，ABGGBC45，BAMBGF45，AB

2、M，BGF都是等腰直角三角形，AB1，AMBMeq f(r(2),2)，AGF105，AGM60，tan60eq f(AM,GM)，GMeq f(r(6),6)，BGBMGMeq f(r(2),2)eq f(r(6),6)eq f(3r(2)r(6),6).02如圖，正方形ABCD中，AB6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF下列結(jié)論：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )ABCDFEG10題圖A1 B2 C3 D4考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正

3、方形的性質(zhì)可證ABGAFG；在直角ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明AGB=AGF=GFC=GCF，由平行線的判定可得AGCF；由于SFGC=SGCESFEC，求得面積比較即可解答：解：正確因?yàn)锳B=AD=AF，AG=AG，B=AFG=90，ABGAFG；正確因?yàn)椋篍F=DE= QUOTE CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6x在直角ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6x）2+42=（x+2）2，解得x=3所以BG=3=63=GC；ABCDFEG10題圖正確因?yàn)镃G=BG=GF，所以FGC是等腰三角形，GFC=GCF又AGB=AGF，AGB+AGF=180FGC=GFC+GCF，AGB

4、=AGF=GFC=GCF，AGCF；錯(cuò)誤過F作FHDC，BCDH，F(xiàn)HGC，EFHEGC， QUOTE = QUOTE ，EF=DE=2，GF=3，EG=5，= QUOTE =，SFGC=SGCESFEC= QUOTE 34 QUOTE 4（ QUOTE 3）= QUOTE 3故選C點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算，有一定的難度03如圖，在一方形ABCD中E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED，（1）求證：BECDEC：（2）延長BE交AD于點(diǎn)F，若DEB=140求AFE的度數(shù)考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰

5、補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CD=CB，DCA=BCA，根據(jù)SAS即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等求出AEF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出DAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，CD=CB，DCA=BCA，CE=CE，BECDEC（2）解：DEB=140，BECDEC，DEC=BEC=70，AEF=BEC=70，DAB=90，DAC=BAC=45，AFE=1807045=65答：AFE的度數(shù)是65點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌

6、握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵04如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，CDE是等邊三角形，連接EB、EA，延長BE交邊AD于點(diǎn)F（1）求證：ADEBCE；（5分）（2）求AFB的度數(shù)（5分）【答案】解：（1）四邊形ABCD是正方形，ADC=BCD=90，AD=BCCDE是等邊三角形，CDE=DCE=60，DE=CE ADC=BCD=90，CDE=DCE=60，ADE=BCE=30AD=BC，ADE=BCE，DE=CE，ADEBCE（2）ADEBCE，AE=BE，BAE=ABEBAE+DAE=90，ABE+AFB=90，BAE=ABE，DAE=AFBAD=CD=DE，DAE=DEA

7、ADE=30，DAE=75，AFB=7505如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CEBKAG（1）求證：DEDG； DEDG（2）尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：（4）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出 QUOTE 的值解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90又CEAG，DCEGDA，DEDG，EDCGDA，又ADEEDC90，ADEGDA90，DEDG（2）如圖 （3）四邊形CEFK為平行四邊形

8、證明：設(shè)CKDE相交于M點(diǎn)，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG，BKAG，KGABCD，四邊形CKGD是平行四邊形，CKDGEF，CKDG，KMEGDEDEF90，KMEDEF180，CKEF，四邊形CEFK為平行四邊形（4） QUOTE QUOTE 點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)平行四邊形的判定及作圖，解題的關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜。06如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，且EOF=90，BO、EF交于點(diǎn)P則下列結(jié)論中：（

9、1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF= QUOTE eq r(2)OA；（4）AE2+CF2=2OPOB，正確的結(jié)論有（）個(gè)A、1B、2C、3D、4考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等，垂直且互相平分，且平分每一組對(duì)角解答：解：（1）從圖中可看出全等的三角形至少有四對(duì)故（1）錯(cuò)誤（2）OBE的面積和OFC的面積相等，故正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍，故（2）正確（3）BE+BF是邊長，故BE+BF= QU

10、OTE OA是正確的（4）因?yàn)锳E=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OPOB是正確的故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等07在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EFAB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EGCG（1）將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想（2）將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；

11、正方形的性質(zhì)?！痉治觥繌膱D（1）中尋找證明結(jié)論的思路：延長FE交DC延長線于M，連MG構(gòu)造出GFEGMC易得結(jié)論；在圖（2）、（3）中借鑒此解法證明【解答】 解：（1） EG=CG，EGCG （2分）（2）EG=CG，EGCG （2分）證明：延長FE交DC延長線于M，連MGAEM=90，EBC=90，BCM=90，四邊形BEMC是矩形BE=CM，EMC=90，又BE=EF，EF=CMEMC=90，F(xiàn)G=DG，MG= QUOTE FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，F(xiàn)M=DM，F(xiàn)=45又FG=DG，CMG= QUOTE EMC=45，F(xiàn)=GMCGFEGMCEG=CG，F(xiàn)GE=

12、MGC （2分）FMC=90，MF=MD，F(xiàn)G=DG，MGFD，F(xiàn)GE+EGM=90，MGC+EGM=90，即EGC=90，EGCG （2分）【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點(diǎn)，因此難度較大08如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且MAN=45，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，

13、若EG=4，GF=6，BM=3 QUOTE eq r(2)，求AG，MN的長考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形相等，進(jìn)而證明角相等，從而求出解（2）用三角形全等和正方形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角的知識(shí)可證明結(jié)論（3）設(shè)出線段的長，結(jié)合方程思想，用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（圖）MN（3）由（1）知，設(shè)，則，解這個(gè)方程，得，（舍去負(fù)根）在（2）中，設(shè)，則即點(diǎn)評(píng)：本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)角線平分每一組對(duì)角，以及全等三角形的判

14、定和性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)點(diǎn)等09如圖9，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF.（1）求證：ADPEPB；（2）求CBE的度數(shù)；（3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，PFDBFP？并說明理由. 圖9【答案】（1）證明：四邊形ABCD是正方形APBC90，ABAD，ADPAPD901分DPE90 APDEPB90ADPEPB.2分（2）過點(diǎn)E作EGAB交AB的延長線于點(diǎn)G，則EGPA903分又ADPEPB，PDPE，PADEGPEGAP，ADABPG，APEGBG4分CBEEBG45.5分（3）方法一：

15、當(dāng)時(shí)，PFEBFP.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分設(shè)ADABa，則APPB，BFBP8分，9分又DPFPBF90，ADPBFP10分方法二：假設(shè)ADPBFP，則.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分，8分，9分PBAP， 當(dāng)時(shí)，PFEBFP.10分10已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：當(dāng)E在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，根據(jù)正方形ABCD，得到AD=CD，ADC=90，根據(jù)等邊CDE，得到CD=DE，CDE=60，推出AD=DE，得出DAE=AED，根據(jù)三角形的內(nèi)

16、角和定理求出即可；當(dāng)E在正方形ABCD外時(shí)，根據(jù)等邊三角形CDE，推出ADE=150，求出即可解答：解：有兩種情況：當(dāng)E在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，正方形ABCD，AD=CD，ADC=90，等邊CDE，CD=DE，CDE=60，ADE=9060=30，AD=DE，DAE=AED= QUOTE （180ADE）=75；當(dāng)E在正方形ABCD外時(shí)，等邊三角形CDE，EDC=60，ADE=90+60=150，AED=DAE= QUOTE （180ADE）=15故答案為：15或75點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)

17、行推理是解此題的關(guān)鍵（第25題）11如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足EAF=45，連接EF，求證DE+BF=EF感悟解題方法，并完成下列填空：將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF 方法遷移：如圖，將沿斜邊翻折得到ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且EAF=

18、DAB試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想（第25題）問題拓展：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足,試猜想當(dāng)B與D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說明理由）（第25題）【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假設(shè)BAD的度數(shù)為，將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上EAF= 2+3=BAD-EAF=1=2， 1+3=即GAF=EAF又AG=AE，

19、AF=AFGAFEAFGF=EF，又GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF （第25題）解得圖當(dāng)B與D互補(bǔ)時(shí)，可使得DE+BF=EF12已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF2OA，OE2OD，連結(jié)EF，將FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖2）.探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；當(dāng)30時(shí)，求證：AOE為直角三角形.【答案】（1）AEBF證明：如圖2，在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中線AM，如圖3.則OE2OM

20、2OD2OAOAOM30AOM60AOM為等邊三角形MAMOME，又AMO即26030AOE306090AOE為直角三角形.13如圖1，獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長線于點(diǎn)G（1）求證：EFEG；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若ABa,BCb，求的值 圖1 圖2 圖3（1）證明

21、：GEBBEF90，DEFBEF90， DEFGEB，（ 1分） 又EDBE， RtFEDRtGEB，（ 2分） EFEG（ 3分）(2)成立（ 4分） 證明：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I， 則EHEI，HEI90，（ 5分） GEHHEF90，IEFHEF90， IEFGEH，（ 6分） RtFEIRtGEH, EFEG（7分） (3)解：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N ，則MEN90，EMAB，ENAD,（ 8分） ， , （9分） GEMMEF90，F(xiàn)ENMEF90， FENGEM，RtFENRtGEM, （10分）（11分） 14已知正方形

22、ABCD的邊長為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長線上時(shí)，求PEPF的值. 【解】（1）四邊形ABCD為正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=.（2）四邊形ABCD為正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=

23、.15如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG= QUOTE ，求EB的長考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）在GAD和EAB中，GAD=90+EAD，EAB=90+EAD，得到GAD=EAB從而GADEAB，即EB=GD；（2）EBGD，由（1）得ADG=ABE則在BDH中，DHB=90所以EBGD；（3）設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，由AB=AD=2在RtABD中求得DB，所以得到結(jié)果解答：（1）證明：在

24、GAD和EAB中，GAD=90+EAD，EAB=90+EAD，GAD=EAB，又AG=AE，AB=AD，GADEAB，EB=GD；（2）EBGD，理由如下：連接BD，由（1）得：ADG=ABE，則在BDH中，DHB=180（HDB+HBD）=18090=90，EBGD；（3）設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，AB=AD=2在RtABD中，DB= QUOTE ，EB=GD= QUOTE 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長16如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對(duì)稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件EPF=45，圖中兩塊陰影部分圖

25、形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，設(shè)它們的面積和為S1（1）求證：APE=CFP；（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱時(shí)，求y的值解答：（1）證明：EPF=45，APE+FPC=18045=135；而在PFC中，由于PF為正方形ABCD的對(duì)角線，則PCF=45，則CFP+FPC=18045=135，APE=CFP（2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45，APECPF，則而在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，則AC=AB=，又P為對(duì)稱中心，則AP=CP=，AE=如圖，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H

26、，PGBC于點(diǎn)G，P為AC中點(diǎn)，則PHBC，且PH=BC=2，同理PG=2SAPE=2=，陰影部分關(guān)于直線AC軸對(duì)稱，APE與APN也關(guān)于直線AC對(duì)稱，則S四邊形AEPN=2SAPE=；而S2=2SPFC=2=2x，S1=S正方形ABCDS四邊形AEPNS2=162x，y=+1E在AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)，且EPF=45，2x4令=a，則y=8a2+8a1，當(dāng)a=，即x=2時(shí)，y取得最大值而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y最大=421=1y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=+1（2x4），y的最大值為1圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，則陰影部分圖形

27、自身關(guān)于直線BD對(duì)稱，則EB=BF，即AE=FC，=x，解得x=，代入x=，得y=217如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF則下列結(jié)論：ABGAFG；BG=CG；AGCF；SEGC=SAFE；AGB+AED=145其中正確的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D5解答：解：正確理由：AB=AD=AF，AG=AG，B=AFG=90，RtABGRtAFG（HL）；正確理由：EF=DE=CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6x在直角ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6x）2+42=（x+2）2，解得x=3BG=3=63=GC；

28、正確理由：CG=BG，BG=GF，CG=GF，F(xiàn)GC是等腰三角形，GFC=GCF又RtABGRtAFG；AGB=AGF，AGB+AGF=2AGB=180FGC=GFC+GCF=2GFC=2GCF，AGB=AGF=GFC=GCF，AGCF；正確理由：SGCE=GCCE=34=6，SAFE=AFEF=62=6，SEGC=SAFE；錯(cuò)誤BAG=FAG，DAE=FAE，又BAD=90，GAF=45，AGB+AED=180GAF=135故選：C18如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM，連接NP，BP（1）求證：

29、四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段MN與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若MCQAMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四邊形BMNP是平行四邊形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC19如

30、圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，CAB的平分線分別交BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作BHAF于點(diǎn)H，分別交AC，CD于點(diǎn)G，P，連接GE，GF（1）求證：OAEOBG；（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）試求：的值（結(jié)果保留根號(hào)）解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，OA=OB，AOE=BOG=90 BHAF，AHG=90，GAH+AGH=90=OBG+AGH，GAH=OBG，即OAE=OBG在OAE與OBG中，OAEOBG（ASA）；（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下：在AHG與AHB中，AHGAHB（ASA），GH=BH，AF是線段BG的垂直平

31、分線，EG=EB，F(xiàn)G=FBBEF=BAE+ABE=67.5，BFE=90BAF=67.5BEF=BFE EB=FB，EG=EB=FB=FG，四邊形BFGE是菱形；（3）設(shè)OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b四邊形BFGE是菱形，GFOB，CGF=COB=90，GFC=GCF=45，CG=GF=b，（也可由OAEOBG得OG=OE=ab，OCCG=ab，得CG=b）OG=OE=ab，在RtGOE中，由勾股定理可得：2（ab）2=b2，求得 a=bAC=2a=（2+）b，AG=ACCG=（1+）bPCAB，CGPAGB，=1，由（1）OAEOBG得 AE=GB，=1，即=120如圖，正方

32、形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF（1）求證：BF=DF；（2）連接CF，請(qǐng)直接寫出BE：CF的值（不必寫出計(jì)算過程）考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BE=DG，再利用BEFDGF求得BF=DF，（2）由BF=DF得點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，再運(yùn)用平行線間線段的比求解解答：（1）證明：四邊形ABCD和AEFG都是正方形，AB=AD，AE=AG=EF=FG，BEF=DGF=90，BE=ABAE，DG=ADAG，BE=DG，在BEF和DGF中，BEFDGF（SAS），BF=DF；（2）解：BF=DF點(diǎn)F在對(duì)角線AC上ADEFB

33、CBE：CF=AE：AF=AE：AE=BE：CF=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定和性質(zhì)，要熟練掌握靈活應(yīng)用21如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合）。第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去（1）圖2中的三角形EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為_，求此時(shí)線段EF的長；（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH。請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為_，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是_。以中的結(jié)論為前提，設(shè)A

34、E的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍?！究键c(diǎn)】正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圖形與旋轉(zhuǎn)，勾股定理【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明旋轉(zhuǎn)后得到的兩個(gè)直角三角形全等，得出AE和FC相等，再用勾股定理列出方程即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判定四邊形EFGH是正方形，得出AEBF；根據(jù)正方形的面積公式，找出AE長與正方形面積之間的等量關(guān)系式?！窘獯稹浚?）等邊三角.四邊形ABCD是正方形，ADCDBCAB，ABC90.ED=FD，ADECDF.(HL)AECF，BEBF.BEF是等腰直角三角形。設(shè)BE的長為x，則EF=x，AE=4- x.在tAED

35、中，DE=EF，解得，(不合題意，舍去).EFx（）44（2） 四邊形EFGH為正方形；AEBF.AEx，BE=4-x.在tBED中，AE=BF，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)F不與點(diǎn)B、C重合，0 x4.，當(dāng)x=2時(shí)有最小值8，當(dāng)x=0或4時(shí)，有最大值16，y的取值范圍是8y16. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確找出其中的等量關(guān)系并列出方程是解本題的關(guān)鍵22（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AEDH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；類比探究：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，D

36、A上，若EFHG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；綜合運(yùn)用：（3）在（2）問條件下，HFGE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積解答：解：（1）四邊形ABCD是正方形，AB=DA，ABE=90=DAHHAO+OAD=90AEDH，ADO+OAD=90HAO=ADOABEDAH（ASA），AE=DH（2）EF=GH將FE平移到AM處，則AMEF，AM=EF將GH平移到DN處，則DNGH，DN=GHEFGH，AMDN，根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；四邊形ABCD是正方形，ABCDAHO=CGOFHEGFHO=EGOAHF=CGEAHF

37、CGEEC=2AF=1過F作FPBC于P，根據(jù)勾股定理得EF=FHEG， 根據(jù)（2）知EF=GH，F(xiàn)O=HO，陰影部分面積為點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的綜合知識(shí)用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大23如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G(1)求證：AEBF；(2)將BCF沿BF對(duì)折，得到BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q，求sinBQP的值；(3)將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面

38、積 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得ABE=BCF=90，AB=BC，又由BE=CF，即可證得ABEBCF,可得BAE=CBF，由ABF+CBF=900可得ABF+BAE=900，即AEBF；（2）由BCFBPF, 可得CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由CDAB得BFC=ABF,從而QB=QF，設(shè)PF為x,則BP為2x,在RtQBF中可求 QB為x，即可求得答案；（3）由可求出AGN的面積，進(jìn)一步可求出四邊形GHMN的面積解答：(1)證明：E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，CF=BE，

39、RtABERtBCF BAE=CBF 又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900， AEBF (2)根據(jù)題意得：FP=FC，PFB=BFC，F(xiàn)PB=900， CDAB, CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB 令PF=k（kO），則PB=2k，在RtBPQ中，設(shè)QB=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinBQP=(3)由題意得：BAE=EAM,又AEBF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 四邊形GHMN=SAHM SAGN=1一= 答：四邊形GHMN的面積是.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角

40、函數(shù)等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用24在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明）（3）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（4）如圖，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和

41、DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖若AD=2，試求出線段CP的最小值考點(diǎn)：全等三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)動(dòng)與變化的思想.分析：（1）AE=DF，AEDF先證得ADEDCF由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，DAE=CDF，再由等角的余角相等可得AEDF；（2）是四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，ADE=DCF=90，DE=CF，所以ADEDCF，于是AE=DF，DAE=CDF，因?yàn)镃DF+ADF=90，DAE+ADF=90，所以AEDF；（3）成立由（1）同理可證AE=DF，DAE=CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE

42、DF；（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持APD=90，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，再由勾股定理可得OC的長，再求CP即可解答：（1）AE=DF，AEDF理由：四邊形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=C=90DE=CF，ADEDCFAE=DF，DAE=CDF，由于CDF+ADF=90，DAE+ADF=90AEDF；（2）是；（3）成立理由：由（1）同理可證AE=DF，DAE=CDF延長FD交AE于點(diǎn)G，則CDF+ADG=90，ADG+DAE=90AEDF；（4）如圖：由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持APD=90，點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧

43、，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，在RtODC中，OC=，CP=OCOP=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合知識(shí)綜合性較強(qiáng)，特別是第（4）題要認(rèn)真分析25如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N若正方形ABCD的變長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）a2Ba2Ca2Da2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：作EMBC于點(diǎn)M，EQCD于點(diǎn)Q，EPMEQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形MCQE的面積求解解答：解：作EMBC于點(diǎn)M，EQCD于點(diǎn)Q，四邊形ABCD是正方形，

44、BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分線，EPC=EQC=90，EP=EN，四邊形MCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四邊形EMCN的面積等于正方形MCQE的面積，正方形ABCD的邊長為a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形MCQE的面積=aa=a2，四邊形EMCN的面積=a2，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出EPMEQN26如圖，在正方形A

45、BCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE求證：PDC=PEC考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專題：證明題分析：根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得BCP=DCP，再利用“邊角邊”證明BCP和DCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得PDC=PBC，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得PBC=PEC，從而得證解答：證明：在正方形ABCD中，BC=CD，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），PDC=PBC，PB=PE，PBC=PEC，PDC=PEC點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記

46、各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵27如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)分析：（1）利用AEBCFB來求證AE=CF（2）利用角的關(guān)系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得結(jié)果解答：證明：（1）四邊形ABCD是正方形，ABC=90，AB=AC，BEBF，F(xiàn)BE=90，ABE+EBA=90，CBF+EBA=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）BEBF，F(xiàn)BE=90，又BE=BF，BEF=E

47、FB=45，四邊形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=9055=35，EGC=EBG+BEF=45+35=80點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質(zhì)及等腰三角形，解題的關(guān)鍵是求得AEBCFB，找出相等的線段28如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，DAE=30，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm（第1題圖）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函

48、數(shù)定義求出DE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由PN與DC平行，得到PFA=DEA=60，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對(duì)稱性確定出AP的長即可解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點(diǎn)N，四邊形ABCD為正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30，AD=3cm，tan30=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE=2cm，M為AE的中點(diǎn)，AM=AE=cm，

49、在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由對(duì)稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm故答案為：1或229（1）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長解答：（1）證明：在正方形ABC

50、D中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EAG=90，在FAE和GAF中，F(xiàn)AEGAF（SAS），EF=FG（2）解：如圖2，過點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM連接AE、ENAB=AC，BAC=90，B=C=45CEBC，ACE=B=45在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2MN2=BM

51、2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用30如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CFBE，垂足為F，連接OF，則OF的長為解答：解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，RTBCE中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45，OBG=OCF，在OBG與OCF中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在RTBCE中，BC=DC=6，DE=2EC，EC=2，BE=2，BC2=BFBE，則62=B

52、F，解得：BF=，EF=BEBF=，CF2=BFEF，CF=，GF=BFBG=BFCF=，在等腰直角OGF中OF2=GF2，OF=點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用31如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，連結(jié)EF與邊CD相交于點(diǎn)G，連結(jié)BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H，AE=CF，BE=EG（1）求證：EFAC；（2）求BEF大??；（3）求證：=解答解：（1）四邊形ABCD是正方形，ADBF，AE=CF，四邊形ACFE是平行四邊形，EFAC，（2）連接BG，EFAC，F(xiàn)=ACB=45，GCF=90，CGF=F=45，CG

53、=CF，AE=CF，AE=CG，在BAE與BCG中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG是等邊三角形，BEF=60，（3）BAEBCG，ABE=CBG，BAC=F=45，AHBFGB，=，EBG=60ABE=CBG，ABC=90，ABE=15，=點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，求得三角形的判定及 性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，連接BG是本題的關(guān)鍵32如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，CE（1）求證：BE=CE （2）求BEC的度數(shù) 【答案】(1)證明見解析；（2）30 考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)33如圖1，在正方

54、形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F（1）證明：PC=PE；（2）求CPE的度數(shù)；（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)ABC=120時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP，DAP=DCP，PA=PC，DAP=E，DCP=E，CFP=EFD（對(duì)頂角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=

55、EDF=90；（3）在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，BAP=BCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP，PA=PC，DAP=E，DCP=ECFP=EFD（對(duì)頂角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=180ADC=180120=60，EPC是等邊三角形，PC=CE，AP=CE；點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出ABP=CBP是解題的關(guān)鍵34如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EFAM，垂足為F，交AD

56、的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N（1）求證：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，B=90，ADBC，得出AMB=EAF，再由B=AFE，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，B=90，ADBC，AMB=EAF，又EFAM，AFE=90，B=AFE，ABMEFA；（2）解：B=90，AB=12，BM=5，AM=13，AD=12，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，AF=AM=6.5，ABMEFA，即，

57、AE=16.9，DE=AEAD=4.9點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵35如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G分別是AB、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，說明理由；（3）求四邊形EFGH面積的最小值(第25題圖)解：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，A=B=90，AB=DA，AE= DH，BE= AH，AEHBFE，EH=FE，AHE=BEF，同理：FE=GF=HG，EH= FE=GF=HG，四邊形EFGH是菱形

58、，A=90，AHEAEH=90，BEFAEH=90，F(xiàn)EH=90，菱形EFGH是正方形；(第25題答圖)解：（2）直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心，理由如下：連接BD交EG于點(diǎn)O，四邊形ABCD是正方形，ABDC，AB=DCEBD=GDB，AE= CG，BE= DG，EOB=GOD，EOBGOD，BO=DO，即點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心；（3）設(shè)AE= DH=x，則AH=8x，在RtAEH中，EH2=AE2AH2=x2(8x)2= 2x216x64=2(x4)232，四邊形EFGH面積的最小值為32cm2.36如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合）

59、，連接AP，過點(diǎn)B作BQAP交CD于點(diǎn)Q，將BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到BQC，延長QC交BA的延長線于點(diǎn)M.（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的長；（3）當(dāng)BP=m，PC=n時(shí)，求AM.【答案】（1）AP=BQ（2）QM=3.25（3）AM=【解析】解：AP=BQ，理由：四邊形ABCD為正方形，AB=BC，ABC=C=90APQB，C=90APB=CQB在RtBCQ和RtABP中：AB=BC，ABC=C，APB=CQBRtBCQRtABPAP=BQ.（2）由（1）可知：QC=PB,AB=3，PB=2PCQC=2由折疊的性質(zhì)可知：QC=2

60、, CQB=CQB，CB=CB=3DCABMBQ=CQBCQB=MBQMQ=MB設(shè)AM=x，則QM=3+x，MC=1+x在RtBMC中，由勾股定理得：（1+x）2+32=(3+x)2解得x=0.25QM=3.25（3）BP=m，PC=n設(shè)AM=x，則BM=（m+n）+x，MC=n+x，CB=m+n在RtBMC中，由勾股定理得：（n+x）2+(m+n)2=(m+n+x)2解得：x=AM=.37如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由；（3）