二次函數(shù)壓軸題-角的存在性

1、一解答題（共5小題） 例1（2013河南）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若存在點(diǎn)P，使PCF=45，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) 例2（2012惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx3a經(jīng)過A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，m1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)

2、稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PCB=CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 例3（2014湖州）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CAx軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 練習(xí)1（2013十堰）已知拋物線y

3、=x22x+c與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點(diǎn)P（4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)PMA=E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo) 2（2012合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（1）求直線BC及二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且APD=ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CD，求OCA與OCD兩角和的度數(shù)2015年05月13

4、日1873957725的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共5小題）1（2013河南）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若存在點(diǎn)P，使PCF=45，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解將直線y=x+2沿y軸向

5、上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0，得y=2，C（0，2）點(diǎn)C（0，2）、D（3，）在拋物線y=x2+bx+c上，解得b=，c=2，拋物線的解析式為：y=x2+x+2（2）PFOC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，PF=OC=2，將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位

6、之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)將直線y=x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y=x+4，聯(lián)立，解得x1=1，x2=2，m1=1，m2=2；將直線y=x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y=x，聯(lián)立，解得x3=，x4=（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），m3=當(dāng)m為值為1，2或時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（3）存在理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）如答圖2所示，過點(diǎn)C作CMPE于點(diǎn)M，則CM=m，EM=2，F(xiàn)M=yFEM=m，tanCFM=2在RtCFM中，由勾股定理得：CF=m過

7、點(diǎn)P作PNCD于點(diǎn)N，則PN=FNtanPFN=FNtanCFM=2FNPCF=45，PN=CN，而PN=2FN，F(xiàn)N=CF=m，PN=2FN=m，在RtPFN中，由勾股定理得：PF=mPF=yPyF=（m2+m+2）（m+2）=m2+3m，m2+3m=m，整理得：m2m=0，解得m=0（舍去）或m=，P（，）；同理求得，另一點(diǎn)為P（，）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符

8、合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，注意不要漏解2（2012惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx3a經(jīng)過A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，m1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PCB=CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）將A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點(diǎn)D（m，m1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對(duì)稱性求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱

9、的點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)PCB=CBD時(shí)，可知CPBD，根據(jù)三角形的全等關(guān)系確定P點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：（1）將A（1，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx3a中，得，解得，y=x22x3；（2）將點(diǎn)D（m，m1）代入y=x22x3中，得m22m3=m1，解得m=2或1，點(diǎn)D（m，m1）在第四象限，D（2，3），直線BC解析式為y=x3，BCD=BCO=45，CD=CD=2，OD=32=1，點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D（0，1）；（3）存在過D點(diǎn)作DEx軸，垂足為E，交直線BC于F點(diǎn)（如圖），PCB=CBD，CPBD，又CDx軸，四邊形PCDB為平行四邊形，OCPEDB，OP=BE=1，設(shè)CP與

10、BD相交于M點(diǎn)（m，3m9），易求BD解析式為：y=3x9，由BM=CM，得到關(guān)于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點(diǎn)坐標(biāo)為：M（，）；于是CM解析式為：y=x3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（9，0），P（1，0），或（9，0）點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，直線BC的特殊性求點(diǎn)的坐標(biāo)3（2014湖州）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CAx軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若

11、點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值；求證AD=BO和ADBO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90可以求得ABOOBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標(biāo)為c，縱坐標(biāo)為c解答：解：（1）ACx軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得，解得；四邊形AO

12、BD是平行四邊形；理由如下：由得拋物線的解析式為y=x24x+4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8），過D點(diǎn)作DEAB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，AC=4，BC=AC=2，AE=BCACx軸，AED=BCO=90，AEDBCO，AD=BODAE=OBC，ADBO，四邊形AOBD是平行四邊形（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需AOB=BCO=90，ABO=OBC，ABOOBC，=，又AB=AC+BC=3BC，OB=BC，在RtOBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，OC=c，A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c

13、，將A點(diǎn)代入可得c=（c）2+cc+c，橫坐標(biāo)為c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（2，2）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式，以及函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法4（2013十堰）已知拋物線y=x22x+c與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接AC，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點(diǎn)P（4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)PMA=E時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求得c值，然

14、后配方后即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）連接CD、CB，過點(diǎn)D作DFy軸于點(diǎn)F，首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后證得DCBAOC得到CBD=OCA，根據(jù)ACB=CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45；（3）設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DGx軸于G點(diǎn)，得到DGBPON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線PQ的解析式，設(shè)Q（m，n），根據(jù)點(diǎn)Q在y=x22x3上，得到m2=m22m3，求得m、n的值后即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)解答：解：（1）把x=1，y=0代入y=x22x+c得：1+2+c=0c=3y=x22x3=y=（x1）24頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）如圖1

15、，連接CD、CB，過點(diǎn)D作DFy軸于點(diǎn)F，由x22x3=0得x=1或x=3B（3，0）當(dāng)x=0時(shí)，y=x22x3=3C（0，3）OB=OC=3BOC=90，OCB=45，BC=3又DF=CF=1，CFD=90，F(xiàn)CD=45，CD=，BCD=180OCBFCD=90BCD=COA又DCBAOC，CBD=OCA又ACB=CBD+E=OCA+OCBE=OCB=45，（3）如圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DGx軸于G點(diǎn)PMA=45，EMH=45，MHE=90，PHB=90，DBG+OPN=90又ONP+OPN=90，DBG=ONPDGB=PON=90，DGBPON=，即：=ON=2，N

16、（0，2）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b則解得：y=x2設(shè)Q（m，n）且n0，n=m2又Q（m，n）在y=x22x3上，n=m22m3m2=m22m3解得：m=2或m=n=3或n=點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（，）點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，難度較大，題目中滲透了許多的知識(shí)點(diǎn)，特別是二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合，更是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是中考中的?？碱}型之一5（2012合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（1）求直線BC及二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且APD=ACB，求

17、點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CD，求OCA與OCD兩角和的度數(shù)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，連接AD，然后求出ADP=ABC=45，然后證明ADP和ABC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出PD的長(zhǎng)度，從而得解；（3）連接BD，利用勾股定理求出BD、BC的長(zhǎng)度，再求出CBD=90，然后根據(jù)BCD與ACO的正切值相等可得BCD=ACO，從而得到OCA與OCD的和等于BCO，是45解答：解：（1）

18、設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），解得，所以，直線BC的解析式為y=x3，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），解得，二次函數(shù)的解析式為y=x24x3；（2）y=x24x3=（x+2）2+1，拋物線的頂點(diǎn)D（2，1），對(duì)稱軸為x=2，A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），AB=1（3）=1+3=2，BC=3，連接AD，則AD=，tanADP=1，ADP=45，又B（3，0），C（0，3），OBC是等腰直角三角形，ABC=45，ADP=ABC=45，又APD=ACB，ADPABC，=，即=，解得DP=3，點(diǎn)P到x軸的距離