2022年函數(shù)與極限重點(diǎn)知識(shí)歸納

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考常量與變量變量的定義我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化 ,我們把其稱(chēng)之為 常量 ；有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱(chēng)之為變量 。注： 在過(guò)程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間 來(lái)表示其變化范圍。區(qū)間在數(shù)軸上的表示在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間 是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)稱(chēng)閉區(qū)間axba ，b開(kāi)區(qū)間axb（ a，b）半開(kāi)區(qū)間axb 或 ax b（a，b 或a ，b

2、）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間： a ，+) ：表示不小于 a 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+； (-， b) ：表示小于 b 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：- xb； (-，+) ：表示全體實(shí)數(shù) R，也可記為：- x+鄰域注： 其中 - 和+，分別讀作 負(fù)無(wú)窮大 和 正無(wú)窮大 , 它們不是數(shù) , 僅僅是記號(hào)。設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)， 且 0. 滿足不等式 x- 的實(shí)數(shù) x 的全體稱(chēng)為點(diǎn)的 鄰域，點(diǎn)稱(chēng)為此鄰域的中心，稱(chēng)為此鄰域的半徑。函 數(shù)函數(shù)的定義如果當(dāng)變量x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y 按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y 是 x 的函數(shù) 。變量 x 的變化

3、范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常 x 叫做 自變量 ，y 叫做 因變量 。注：為了表明 y 是 x 的函數(shù)， 我們用記號(hào) y=f(x)、y=F(x) 等等來(lái)表示 . 這里的字母 f 、F表示 y 與 x 之間的對(duì)應(yīng)法則即 函數(shù)關(guān)系 , 它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的 . 注： 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù) ，否則叫做 函數(shù)的有界性多值函數(shù) 。這里我們只討論單值函數(shù)。如果對(duì)屬于某一區(qū)間I 的所有 x 值總有 f(x) M成立，其中 M是一個(gè)與x 無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱(chēng)f(x)在區(qū)間 I 有界，否則便稱(chēng)無(wú)界。注意： 一個(gè)函數(shù)，如

4、果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱(chēng)為有界函數(shù) 例題： 函數(shù) cosx 在(- ,+ ) 內(nèi)是有界的 .函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)隨著 x 增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及 x2，當(dāng) x1x 2 時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)增加 的。(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及 x2，當(dāng)如果函數(shù)內(nèi)隨著 x 增大而減小，即：對(duì)于在區(qū)間 (a,b)x1x2 時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)是 單調(diào)減小 的。例題： 函數(shù) =x 2在區(qū)間 (- ,0) 上是單調(diào)減小的，在區(qū)間 (0,+ ) 上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的

5、任意x 都滿足=-=，則叫做偶函數(shù)；x 都滿足，如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意則叫做奇函數(shù)。注意： 偶函數(shù)的圖形關(guān)于 函數(shù)的周期性y 軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l ，使得關(guān)系式的周期。對(duì)于定義域內(nèi)任何x 值都成立，則叫做 周期函數(shù) ，l 是注： 我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題： 函數(shù)是以 2 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx 是以 為周期的周期函數(shù)。反函數(shù) 反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)，若變量y 在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y 0 時(shí)，變量x 在函數(shù)的定義域內(nèi)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考必有一值 x0 與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量 x 是變量 y 的函數(shù) . 這

6、個(gè)函數(shù)用 來(lái)表示，稱(chēng)為函數(shù) 的反函數(shù) .注： 由此定義可知，函數(shù) 也是函數(shù) 的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若在(a ，b) 上嚴(yán)格增 ( 減) ，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增 ( 減). 注： 嚴(yán)格增 ( 減) 即是單調(diào)增 ( 減) 例題：y=x 2，其定義域?yàn)?(- ,+ ) ，值域?yàn)?0,+ ). 對(duì)于 y 取定的非負(fù)值 , 可求得 x=.若我們不加條件，由 y 的值就不能唯一確定 x 的值，也就是在區(qū)間 (- ,+ ) 上，函數(shù)不是嚴(yán)格增( 減) ，故其 沒(méi)有反函數(shù) 。如果我們加上條件，要求 x0，則對(duì) y0、 x= 就是 y=x 2 在要求x0 時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在

7、此要求下嚴(yán)格增 ( 減).反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱(chēng)的。例題： 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱(chēng)的。如右圖所示：復(fù)合函數(shù)的定義若 y 是 u 的函數(shù)：，而 u 又是 x 的函數(shù)：，且 的函數(shù)值的全部或部分在 的定義域內(nèi)，那末，y 通過(guò) u 的聯(lián)系也是 x 的函數(shù)，我們稱(chēng)后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及 復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記作，其中 u 叫做中間變量。注： 并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題： 函數(shù)因?yàn)閷?duì)于與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。u 值（都大的定義域 (- ,+ ) 中的任何x 值所對(duì)應(yīng)

8、的于或等于2），使都沒(méi)有定義。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考初等函數(shù)函數(shù)函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱(chēng)指 數(shù) 函 數(shù)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)a): 不論 x 為何值 ,y 總為 正數(shù) ; b): 當(dāng) x=0 時(shí),y=1.a): 其圖形總位于y 軸右側(cè), 并過(guò) (1,0)點(diǎn)b): 當(dāng) a1 時(shí), 在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(- ,+ ) 的值為正； 在定義域內(nèi)單調(diào)增 .令 a=m/n a): 當(dāng) m為偶數(shù) n 為奇數(shù)冪a 為任意實(shí)數(shù)這里只畫(huà)出部分函數(shù)圖形時(shí),y 是偶函數(shù) ; 函b): 當(dāng) m,n 都是奇數(shù)時(shí) ,y數(shù)是奇函數(shù) ; c): 當(dāng) m奇 n 偶時(shí) ,y 在三( 正弦函數(shù) ) 的一部

9、分。(- ,0) 無(wú)意義 .a): 正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)角b): 正弦函數(shù)是奇函數(shù)且函這里只寫(xiě)出了正弦函數(shù)數(shù)反( 反正弦函a): 由于此函數(shù)為多值函三數(shù), 因此我們此函數(shù)值限制角數(shù))在- /2, /2 上, 并稱(chēng)其函這里只寫(xiě)出了反正弦函數(shù)為反正弦函數(shù)的主值 .數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù) . 是初等函數(shù)。例題：雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考函數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱(chēng)a) ：其定義域 雙曲正 為 :(- ,+ ) ；弦 b) ：是奇函數(shù)；c) ：在定義域內(nèi)是單

10、調(diào)增a) ：其定義域雙曲余為 :(- ,+ ) ；(0,1)；弦b) ：是偶函數(shù)；c) ：其圖像過(guò)點(diǎn)a) ：其定義域 為 :(- ,+ ) ；雙曲正 b) ：是奇函數(shù)；切 c) ：其圖形夾在水平直線 y=1 及 y=-1 之間；在定域 內(nèi)單調(diào)增；雙曲函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì)shx 與 thx 是奇函數(shù)， chx 是偶函數(shù)sinx 與 tanx 是奇函數(shù)， cosx 是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為反雙曲函數(shù). 其定義域?yàn)椋?- ,+ ) ； a) ：反雙曲正弦函數(shù) b) ：反雙曲余弦函數(shù)其定義域?yàn)椋?/p>

11、 1,+ ) ； c) ：反雙曲正切函數(shù)其定義域?yàn)椋?-1,+1)；數(shù)列的極限數(shù)列若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù) a1，第二個(gè)數(shù) a2， ，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù) n 對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù) an，那末，我們稱(chēng)這列有次序的數(shù) a 1，a2， ， an， 為 數(shù)列 . 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做 數(shù)列的項(xiàng) 。第 n 項(xiàng) an 叫做數(shù)列的 一般項(xiàng)或通項(xiàng) . 注： 我們也可以把數(shù)列 an 看作 自變量為正整數(shù) n 的函數(shù)， 即： an=，它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限一般地，對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，N，使得對(duì)于 nN時(shí)的一切不若存在任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總存在正整數(shù)等式都成立，那末就稱(chēng)常數(shù)a

12、是數(shù)列的極限 ，或者稱(chēng)數(shù)列收斂 于 a . 記作：或只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與 a 無(wú)限接近的注：此定義中的正數(shù)意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。注： 在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋?zhuān)允刮覀兡芾斫馑?。?shù)列極限為 a 的一個(gè) 幾何解釋 ：在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a將常數(shù) a 及數(shù)列學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考的 鄰域即開(kāi)區(qū)間(a- ， a+ ) ，如下圖所示：等價(jià)，故當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)都落因不等式與不等式在開(kāi)區(qū)間(a- ，a+ ) 內(nèi)，而只有有限個(gè)( 至多只有N個(gè)) 在此區(qū)間以外。數(shù)列的有

13、界性對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式 M，則稱(chēng)數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的 。定理： 若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注： 有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例： 數(shù)列 1 ，-1 ，1， -1 ， ， (-1)n+1，是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a) ：自變量無(wú)限增大；b) ：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)A，就叫做 函數(shù)存在極值。函數(shù)的極限 ( 分兩種情況 ) a): 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義 ：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總

14、存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式的一切 x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A 就叫做函數(shù)當(dāng) x時(shí)的極限，記作：數(shù)列的極限的定義 函數(shù)的極限的定義學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考存在數(shù)列與常數(shù) A 函數(shù)存在函數(shù)與常數(shù) A A 任給一正數(shù) 0 任給一正數(shù) 0 總可找到一正整數(shù)N 總可找到一正數(shù)X 對(duì)于 nN 的所有對(duì)于適合的一切 x 都滿足都滿足則稱(chēng)數(shù)列當(dāng) x時(shí)收斂于A 當(dāng) x時(shí)的極限為記：記：b): 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限我們先來(lái)看一個(gè)例子 . 例： 函數(shù)，當(dāng) x1 時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在 x=1 處無(wú)定義 . 我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)

15、點(diǎn)，為此我們把x 1 時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出, 如下圖 : 就與 2 有從中我們可以看出x1 時(shí)，2. 而且只要x 與 1 有多接近，多接近 . 滿足或說(shuō)：只要與 2 只差一個(gè)微量 ，就一定可以找到一個(gè) ，當(dāng)時(shí)定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn) x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的 ( 不論其多么小 ) ，總存在正數(shù) ，當(dāng) 0 時(shí)，則稱(chēng)函數(shù) 當(dāng) xx 0 時(shí)存在極限，且極限為 A，記：注： 在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙x0的過(guò)程，與x=x0 出的情況無(wú)關(guān)。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考此定義的核心問(wèn)題是：對(duì)給出的 ，是否存在正數(shù) ，使其在去心鄰域內(nèi)的x

16、均滿足不等式。用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為 A ，其證明方法是：a): 先任取 0；b): 寫(xiě)出不等式 ； ，若能；時(shí)，成立，因此c): 解不等式能否得出去心鄰域0 ，當(dāng) 0d): 則對(duì)于任給的 0，總能找出函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 若已知 xx 0( 或 x) 時(shí)，. 則：推論：在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。例題： 求解答：例題： 求此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在. 我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的 分子和分母都沒(méi)有極限解答：學(xué)習(xí)資料，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)。學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考注： 通過(guò)此例題我們可以發(fā)

17、現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒(méi)有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。無(wú)窮大量和無(wú)窮小量無(wú)窮大量我們先來(lái)看一個(gè)例子 ：，我們把這種情況稱(chēng)為趨向無(wú)已知函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，可知窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù) y=，在 x=x0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N( 一個(gè)任意大的數(shù)) ，總可找到正數(shù) ，當(dāng)時(shí)，成立，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)為 無(wú)窮大量 。N( 一個(gè)任意大的數(shù)) ，總記為：（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x時(shí)，無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng) x 充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，

18、則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)x時(shí)是 無(wú)窮大量 ，記為：無(wú)窮小量以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量 。 ( 不論它多么小) ，總存在正數(shù) ( 或正數(shù)定義： 設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)M) ，使得對(duì)于適合不等式( 或 ) 的一切 x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱(chēng)函數(shù) 當(dāng) ( 或 x) 時(shí) 為無(wú)窮小量 . 記作：( 或 ) 注意 ：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有 0 可作為無(wú)窮小量的學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于 0. 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的 .關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理定理一： 如果函數(shù)在( 或 x)

19、時(shí)有極限A，則差是當(dāng)( 或 x) 時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。定理二： 無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理 a) ：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量； b) ：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量； c) ：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量 .無(wú)窮小量的比較定義： 設(shè) ，都是時(shí)的無(wú)窮小量，且在 x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零， a) ：如果，則稱(chēng) 是 的高階無(wú)窮小 或 是 的 低階無(wú)窮小 ；b) ：如果，則稱(chēng) 和 是同階無(wú)窮小 ； c) ：如果，則稱(chēng) 和 是等價(jià)無(wú)窮小，記作： ( 與 等價(jià)) 例： 因?yàn)椋援?dāng)x0 時(shí)， x 與 3x 是同階無(wú)窮?。灰?yàn)?，所以?dāng) x0 時(shí)， x 2 是 3x 的高階無(wú)窮??；因?yàn)?，所以?dāng)

20、x0 時(shí)， sinx 與 x 是等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則. 注： 這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考例題： 1. 求解答： 當(dāng) x0 時(shí)， sin axax，tan bxbx，故：例題： 2. 求解答：( 代換只能在 積商 時(shí)使用 ) 注：?jiǎn)? 代換是否只可以x0 時(shí)的極限使用?要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量 x 從它的一個(gè)初值 x1

21、變到終值 x2，終值與初值的差 x 2-x 1 就叫做 變量 x 的增量 ，記為： x 即： x=x 2-x 1 增量 x 可正可負(fù) . 我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn) x 0 的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x 在領(lǐng)域內(nèi)從x 0變到 x0+ x 時(shí)，函數(shù)y 相，其對(duì)應(yīng)的增量為：應(yīng)地從變到這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：向于零，如果當(dāng) x 趨向于零時(shí)， 函數(shù) y 對(duì)應(yīng)的增量 y 也趨即：那末就稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù) ，且稱(chēng) x0 為函數(shù)的 的連續(xù)點(diǎn)

22、.下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下 函數(shù)左、右連續(xù) 的概念：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b 內(nèi)有定義，如果左極限 存在且等于，即：=，那末我們就稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) b 左連續(xù) . 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 a,b) 內(nèi)有定義，如果右極限 存在且等于，即：=，那末我們就稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) a 右連續(xù) . 一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每點(diǎn)連續(xù) , 則為在 (a,b) 連續(xù)，若又在 a 點(diǎn)右連續(xù)， b 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間 a ，b 連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為 連續(xù)函數(shù) 。注： 一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù) . 注： 連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲

23、線。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，出現(xiàn)什么情形呢？函數(shù)的間斷點(diǎn)同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱(chēng)之為 間斷點(diǎn) . 它包括三種情形：a) ：在 x0 無(wú)定義； b)：在 xx0時(shí)無(wú)極限； c)：在 xx 0時(shí)有極限但不等于間斷點(diǎn)的分類(lèi)我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果x0 是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我.們把 x0 稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)若 x0是函數(shù) 的間斷點(diǎn)， 但極限 存在，那末 x0是函數(shù) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn) x0 稱(chēng)為 可去間斷點(diǎn)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考連