2022年函數(shù)與三角函數(shù)

1、函數(shù)與三角函數(shù)一、填空題3 sin x1.將函數(shù) f x ( ) = 的圖像按向量 n ( a,0) （a 0）平移，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)1 cos x為偶函數(shù)，則 a 的最小值為 . 2. 設(shè)函數(shù) f (x ) 是定義在 R 上周期為 3 的奇函數(shù)， 且 f ( 1 ) 2，則 f (2011) (2012) f _03.設(shè) A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，定義點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的 曼哈頓 距離2L A B ) x 1 x 2 y 1 y . 若點(diǎn) A(-1,1),B 在 2 y x 上，則 L A B 的最小值為4.設(shè) f x (

2、) 為定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)，f ( ) 2 x2 x b（b為常數(shù)） ，則f ( 1) .5. 已 知 函 數(shù) f ( x ) x 2ax b ( a , b R ) 的 值 域 為 ( , 0 ， 若 關(guān) 于 x 的 不 等 式f ( x ) c 1 的解集為 ( m 4 , m 1 )，則實(shí)數(shù) c 的值為 .6.設(shè) a 為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù) f x ( ) x 2a x m 1( x R 在區(qū)間 (2,3) 上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .7.給出定義：若 m 1x m 1 (其中 m 為整數(shù) )，則 m 叫做離實(shí)數(shù) x 最近的整數(shù)，記作2 2 x ，即 m .

3、 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù) f x x x 的四個(gè)命題：函數(shù) y f x 的定義域是 R ，值域是 0, 1；2函數(shù) y f x 的圖像關(guān)于直線 x = k( k Z )對(duì)稱(chēng)；2函數(shù) y f x 是周期函數(shù)，最小正周期是 1；函數(shù) y f x 在 1 1 , 上是增函數(shù) .2 2則其中真命題是 (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào) ).8. 設(shè)函數(shù) f x x為奇函數(shù)，則 a _x 1 x sin ax9.已知 f x ( ) m x 2 )( m x m 3) , g x ( ) 2 2，若同時(shí)滿足條件： 對(duì)于任意 x R ， ( ) 0或 g x ( ) 0 成立； 存在 x ( , 4)，使得 f

4、x ( ) g x ( ) 0 成立則 m 的取值范圍是 .10.設(shè)函數(shù)fx的反函數(shù)是f1x，且f1 x1過(guò)點(diǎn),12，則yfx1經(jīng)過(guò)點(diǎn)_11.若函數(shù)f x ( )log (x1)a在區(qū)間1,2內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是x2_12. 已 知 函 數(shù)f( )是 (,) 上 的 偶 函 數(shù) ，gx是 (,) 上 的 奇 函 數(shù) ，F(xiàn) DCgxfx1，g32013，則f2014的值為 _13. 設(shè) 定 義 在 R 上 的 函 數(shù)f( x)是 最 小 正 周 期 為 2的 偶 函 數(shù) ， 當(dāng)x0,時(shí) ，0f(x)1， 且 在0 ,2上 單 調(diào) 遞 減 ， 在2,上 單 調(diào) 遞 增 ， 則 函 數(shù)y

5、f(x)sinx在10,10上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；14.已知函數(shù)f(x )log2x(x0)，且函數(shù)F x ( )f x ( )xa 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)， 則實(shí)數(shù) a3x(x0)的取值范圍是；15.已知函數(shù)f x ( )x a (a0且a1)滿足f(2)f(3)，若 yf1( ) x 是yf x 的反函數(shù)，則關(guān)于 x 的不等式f1(11)1的解集是x16.設(shè)函數(shù)f(x)x2x,xx0 ,則方程f(x)x21的實(shí)數(shù)解的2sin2 x ,0 .個(gè)數(shù)為；8 米的正方形鋼板有一個(gè)角銹蝕，其中AE4米，A MEP17.如圖，已知邊長(zhǎng)為CD6米為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE 內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM

6、，使點(diǎn) P 在邊 DE 上則矩形 BNPM 面積的最大值為平方米；BN18. 已知函數(shù)fxlog2x21 ,x0，若函數(shù)gxfxm有 3 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2 xx,x0m 的取值范圍是 _19.函數(shù)f x ( )min2x x2，其中mina ba ab，若動(dòng)直線ym與函數(shù)b abyf x 的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x x2,x ，則x 1x 2x3是否存在最 大值？若存在，在橫線處填寫(xiě)其最大值；若不存在，直接填寫(xiě)“ 不存在”_1 x x 320.給出四個(gè)函數(shù)： f ( x ) x， g ( x ) 3 3， u ( x ) x， v ( x ) sin x，x其中滿足條件： 對(duì)

7、任意實(shí)數(shù) x 及任意正數(shù) m ，都有 f ( x ) f x ( ) 0 及 f x m ) f x 的函數(shù)為（寫(xiě)出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào)）21.在平面直角坐標(biāo)系中，定義 d P Q ) x 1 x 2 y 1 y 2 為 P x y 1 ) , Q x 2 , y 2 ) 兩點(diǎn)之間的“ 折線距離” 則原點(diǎn) O ( 0 , 0 ) 與直線 x y 5 0 上一點(diǎn) P ( x , y ) 的“ 折線距離” 的最小值是22.某同學(xué)對(duì)函數(shù) f ( x ) x sin x 進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：函數(shù) y f (x ) 的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，f ( x ) x 均成立；函數(shù) y f

8、 (x ) 的圖像與直線 y x 有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；當(dāng)常數(shù) k 滿足 k 1 時(shí)，函數(shù) y f x 的圖像與直線 y kx 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) . 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是23.已知 y f (x ) 是定義在 R 上的增函數(shù)，且 y f x ( ) 的圖像關(guān)于點(diǎn) (6,0) 對(duì)稱(chēng)若實(shí)數(shù)2 2 2 2x, y 滿足不等式 f x 6 ) f ( y 8 y 36) 0，則 x y 的取值范圍是24.已知 f ( x ) ( 2x a ) x 1 , x 1滿足對(duì)任意 x 1 x 2 都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )0 成立，則a , x 1 x 1 x 2

9、a 的取值范圍是 _125.設(shè)x,yR，且滿足x(x,4)52013(x4)34，則xy(_126.已知函數(shù)fx(y1 )52013(y1 )34a)fb)，則bf(a)的,10 x1b0，若f(x)211，設(shè)ax2取值范圍是 . 27.若函數(shù) f x 滿足 f ( x 10 ) 2 f ( x 9 )，且 f ( 0 ) 1，則 f ( 10 ) . 28. 若函數(shù) y f x x R 滿足：f x +2 = f x ，且 x 1,1 時(shí)，f x = x ，函數(shù)y g x 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 x 0,+ 時(shí)，g x = log x ，則函數(shù) 3 y f x 的圖像與函數(shù) y g x

10、 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為29.設(shè) a 、b R，且 a 2，若定義在區(qū)間 ( b , b ) 內(nèi)的函數(shù) f ( x ) lg 1 ax是奇函數(shù)，1 2 x則 a 的取值范圍是 _b30.設(shè) m 、n R，定義在區(qū)間 m , n 上的函數(shù) f ( x ) log 2 ( 4 | x |) 的值域是 0 , 2 ，若| t |關(guān)于 t 的方程 1 m 1 0（t R）有實(shí)數(shù)解，則 m n 的取值范圍是 _ 2log 2 x ( x 0 )31.已知 f ( x )3 x ( x 0 )，且函數(shù) F x ( ) f x ( ) x a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是32.已知函數(shù) f x ( )

11、 a ( xa 0 且 a 1 )滿足 f (2) f (3)，若 f 1( ) x是 f x 的反函數(shù)， 則關(guān)于x 的不等式 f 1(1 x ) 1 的解集是33.已知命題“ 若 f x ( ) m x ，2 2g x ( ) mx 22 m ，則集合 x | f x ( ) g x ( ), 1 x 1 ”2是假命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是二、選擇題1.函數(shù)f x ( )x| arcsinxa|barccosx 是奇函數(shù)的充要條件是 ( ) (A)a2b20 (B)ab0 (C)ab (D)ab0）x21, x 1,0),則下列函數(shù)的圖像錯(cuò)誤的是 （2. 已知f x ( )x1,x0,1

12、,(A)f(x1 )的圖像 (B)f( x)的圖像 (C)f(| x|)的圖像 (D)|f(x|)的圖像3.函數(shù)y=x，x(x,0)(0,b)的圖象可能是下列圖象中的（）a,b,c滿足sinx4.定義域?yàn)?R的函數(shù)f)2 axxc(a0)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)（）；4ac0 且a0；B b24ac0；A .b20；C .b 2aD .b0.2a6 . 若 f x ( ) 是 R 上 的 奇 函 數(shù) ，且 f x ( ) 在 0, ) 上 單 調(diào) 遞 增，則下列結(jié)論： y | f ( ) | 是偶函數(shù)； 對(duì)任意的 x R 都有 f ( x ) | f x ( ) | 0； y f ( x )在

13、( ,0 上單調(diào)遞增； y f x f ( x 在 ( ,0 上單調(diào)遞增其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A 1；B 2；C 3；D 427. 若函數(shù) f x ( ) ax 1 在 0, 上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）xA a 0；B a 0；C a 0；D a 08. 設(shè) f x ( ) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，對(duì)任意 x R，都有 f x 2) f x 2), 且當(dāng)1 xx 2,0 時(shí)，f x ( ) ( ) 1若在區(qū)間 ( 2,6 內(nèi)關(guān)于 x 的方程2f x ( ) log ( x 2) 0( a 1) 恰有 3 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）A (1,2) ；B (2

14、, ) ；C (1, 4) ；3D 3( 4, 2) 9.已知函數(shù) f (x ) 是定義在 R 上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列 a n 是等差數(shù)列，a 1007 0，則 f ( a 1 ) f ( a 2 ) f ( a 3 ) f ( a 2012 ) f ( a 2013 ) 的值（）A . 恒為正數(shù)；B 恒為負(fù)數(shù)；C . 恒為 0；D . 可正可負(fù) . 1 x10.給定方程：( ) sin x 1 0，下列命題中：2（1）該方程沒(méi)有小于 0 的實(shí)數(shù)解；（2） 該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解；（3）該方程在,0 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；(x)f(x)D 4（4）若0 x 是該方程的實(shí)數(shù)解，則x01則正

15、確命題的個(gè)數(shù)是（）A 1；B 2；C 3；11.設(shè)函數(shù)yf(x)是定義在R 上以 1為周期的函數(shù)，若函數(shù)g2x在區(qū)間2,3 上的值域?yàn)?,6，則g(x)在區(qū)間12,12上的值域?yàn)椋ǎ?34A 2,6；B 24,28； C 22,32；D 20三、解答題1.經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，公路上的車(chē)流速度 v （單位：千米 / 小時(shí)）是車(chē)流密度 x （單位：輛 / 千米）的函數(shù)，當(dāng)公路上的車(chē)流密度達(dá)到 200 輛/ 千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)速度為 0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò) 20 輛/ 千米時(shí)，車(chē)流速度為 60 千米 / 小時(shí)，研究表明：當(dāng) 20 x 200 時(shí)，車(chē)流速度 v 是車(chē)流密度 x 的一次函數(shù) . （1）當(dāng)

16、0 x 200 時(shí)，求函數(shù) v x 的表達(dá)式；（2）當(dāng)車(chē)流密度 x 為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)公路上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/ 小時(shí)）f x ( ) x v x 可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到 1 輛/ 小時(shí)） . 2.已知函數(shù) f x ( ) 1 x 1 x （1）求函數(shù)f x ( )的定義域和值域；F x 在a0時(shí)的最大值g a ；（2）設(shè)F x ( )af2( )2f x（ a 為實(shí)數(shù)），求2（3）對(duì)（ 2）中g(shù)(a)，若m22tm2g a 對(duì)a0所有的實(shí)數(shù) a 及t 1,1恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍3.設(shè)函數(shù)nf( )xnbxc(nN, , b cR . a 使得（1）

17、當(dāng)n2,b1,c1時(shí)，求函數(shù)nf( ) x 在區(qū)間(1,1)內(nèi)的零點(diǎn)；2（2）設(shè)n2,b1,c1，證明：nf( ) x 在區(qū)間(1,1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；2（3）設(shè)n2，若對(duì)任意x x21,1，有f2(x 1)f2(x 2)4，求 b的取值范圍4. 如果函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽 ，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x ，存在實(shí)數(shù)f(xa )f(x)成立，則稱(chēng)此函數(shù)具有“P(a)性質(zhì) ” P(a)性質(zhì) ”求出所有 a 的值；若不（1）判斷函數(shù)ysinx是否具有 “P(a)性質(zhì) ”，若具有 “具有 “P(a)性質(zhì) ” ，請(qǐng)說(shuō)明理由(xm 2)，求yf(x)在0,1（2）已知yf( x )具有 “P(0)性質(zhì) ”

18、，且當(dāng)x0時(shí)f(x)上的最大值（3）設(shè)函數(shù)yg(x)具有 “P(1 )性質(zhì) ”，且當(dāng)1x1時(shí)，g(x )x若yg(x)與22ymx交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013 個(gè)，求 m 的值5.對(duì)于函數(shù) y f x 與常數(shù) a b ，若 f (2) x af x () b 恒成立，則稱(chēng) ( , ) a b 為函數(shù) f (x ) 的一個(gè)“ P 數(shù)對(duì)” ；若 f (2 ) af x ( ) b 恒成立， 則稱(chēng) ( , ) a b 為函數(shù) f (x ) 的一個(gè)“ 類(lèi) P 數(shù)對(duì)” 設(shè)函數(shù) f (x ) 的定義域?yàn)?R ，且 f (1) 3（1）若 (1,1)是 f x 的一個(gè)“P 數(shù)對(duì)” ，求 f (2 )( n N *)；

19、（2）若 ( 2,0) 是 f x 的一個(gè)“P 數(shù)對(duì)” ，且當(dāng) x 1,2) 時(shí) f x ( ) k 2 x 3，求 f x 在區(qū)間 1,2 ) ( n N *) 上的最大值與最小值；（3）若 f x 是增函數(shù)，且 (2, 2) 是 f x 的一個(gè)“ 類(lèi) P 數(shù)對(duì)” ，試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小，并說(shuō)明理由f(2n)與 2n +2 (nN*)；f x 與 2x2(x(0,1)6.已知函數(shù)f(x)=log2x1. g x ( )f1( )log2k 有零點(diǎn)的實(shí)數(shù) k 的取x1（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明；（2）求f(x)的反函數(shù)f1 x)，并求使得函數(shù)值范圍 .7. 我 們 把 定

20、 義 在 R 上 ， 且 滿 足f(xT)af(x )（ 其 中 常 數(shù)a,T滿 足a1,a,0T0）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)且圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)求證：函數(shù)f(x)（1）若某個(gè)似周期函數(shù)yf(x)滿足T1是偶函數(shù)；（2）當(dāng)T,1 a2時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在0 x1時(shí)的解析式為f(x)x1(x)，求函數(shù)yf(x)，xn,n1,nZ的解析式；3x，試研究似周期函數(shù)函數(shù)yf(x)在區(qū)（3）對(duì)于確定的T0且0 xT時(shí)，f(x)間(0,)上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a 的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由2 ,01xx128.設(shè)函數(shù)T x ( )2(1x ),12（1）求函數(shù)yTsin(2x )和ysin

21、2T(x)的解析式；（ 2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a ，使得aT x ( )T a x 恒成立， 若存在， 求出 a 的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）定義 T n 1( ) T n ( ( )，且 T x 1( ) T x ( ) n N 當(dāng) x 0, 1n 時(shí)，求 y T n ( ) x 的解析式；2已 知 下 面 正 確 的 命 題 ： 當(dāng) x in 1, in 1( i N，1 i 2 n1) 時(shí) ， 都 有2 2iT n ( ) T n ( n-1 x 恒成立 2 對(duì)于給定的正整數(shù) m ，若方程 T m ( ) k x 恰有 2 m個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定 k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列 nx 1 n 2 m，求數(shù)列 nx 所有 2 m 項(xiàng)的和 9. 已知函數(shù)f x ( )loga1x(0a1). f x3)，若存在，求出)1x（1）求函數(shù)f x ( )的定義域 D ，并判斷f