4線性規(guī)劃問題的影子價格研究報告解析

1、.PAGE 1 . . . word. 目 錄 TOC o 1-3 u 1 引言 PAGEREF _Toc291755180 h 12 文獻綜述 PAGEREF _Toc291755181 h 12.1 國外研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc291755182 h 12.2 國外研究現(xiàn)狀評價 PAGEREF _Toc291755183 h 12.3 提出問題 PAGEREF _Toc291755184 h 23 技術(shù)系數(shù)與約束右端項不發(fā)生改變 PAGEREF _Toc291755185 h 33.1線性規(guī)劃原問題與對偶問題及其性質(zhì) PAGEREF _Toc291755186 h 33.2具體應(yīng)

2、用 PAGEREF _Toc291755187 h 43.3 影子價格確實定 PAGEREF _Toc291755188 h 84 技術(shù)系數(shù)與約束右端項發(fā)生改變 PAGEREF _Toc291755189 h 84.1 具體應(yīng)用 PAGEREF _Toc291755190 h 84.2 影子價格確實定 PAGEREF _Toc291755191 h 105 結(jié)論 PAGEREF _Toc291755192 h 115.1主要發(fā)現(xiàn) PAGEREF _Toc291755193 h 115.2 啟示和意義 PAGEREF _Toc291755194 h 125.3 局限性 PAGEREF _Toc2

3、91755195 h 125.4 努力方向 PAGEREF _Toc291755196 h 12參考文獻 PAGEREF _Toc291755197 h 131 引言 線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)與運籌學(xué)的一個分支，是運籌學(xué)中最根本的也是最常用的一種方法，也是現(xiàn)代管理中應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)學(xué)模型.在線性規(guī)劃的實際解題過程中，會出現(xiàn)技術(shù)系數(shù)與約束右端項有最大公約數(shù)的情況，在計算過程中就可將其約去，但這樣的簡單計算是否會對線性規(guī)劃問題產(chǎn)生影響呢.本文借助線性規(guī)劃原問題與對偶問題的性質(zhì)，通過實例，對技術(shù)系數(shù)與約束右端項改變前后進展計算比照，指出它們的改變會影響影子價格.2 文獻綜述2.1國外研究現(xiàn)狀在所查閱的國外

4、參考文獻1-17中，有不少的文章論述到線性規(guī)劃中的影子價格，并對影子價格的各方面都有所研究.如白云在文獻2、3中對互為對偶的兩個線性規(guī)劃問題，基解的不對稱性產(chǎn)生的矛盾對影子價格進展確定，并討論了在原線性規(guī)劃問題有多個最優(yōu)解情況下影子價格的計算方法；夏少剛，費威在文獻4中對線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束右端項及系數(shù)矩陣同時變化做了靈敏度分析；王龍在文獻5中闡述了影子價格的涵及應(yīng)用；馬贊甫、凱在文獻6中介紹的影子價格的特征及其計算；馬贊甫在文獻7中針對線性規(guī)劃對偶問題最優(yōu)解的非單一性，從影子價格與會計價格之間的區(qū)別、影子價格時機本錢定義的區(qū)別、組合影子價格與單一影子價格的區(qū)別三個方面解釋線性規(guī)劃

5、中影子價格的“非唯一性； 吳漢洪、*國興在文獻8中論證了影子價格定義的統(tǒng)一性，說明其經(jīng)濟學(xué)含義；任立民在文獻9中將影子價格理論應(yīng)用在資源利用、投資決策方面；林志紅在文獻10中解釋了影子價格的經(jīng)濟學(xué)意義,并分析其在資源配置中的關(guān)鍵作用,為解決實際問題起到一定的作用；耿鵬翔在文獻11中將影子價格應(yīng)用在企業(yè)經(jīng)濟分析中；董紹斌在文獻12中等探討了一些關(guān)于影子價格理論應(yīng)用的不正確提法,提出影子價格的新涵；吳純潔在文獻13中合影子價格對偶線性規(guī)劃問題進展討論；段德財在文獻14中將影子價格應(yīng)用在產(chǎn)品生產(chǎn)決策中；王松林在文獻15中等基于對偶線性規(guī)劃模型對影子水價進展計算等等.2.2國外研究現(xiàn)狀評價荷蘭經(jīng)濟學(xué)家

6、詹恩丁伯根在本世紀(jì)30年代末首次提出影子價格，并運用線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)方法進展計算，指出影子價格是反映社會資源獲得最正確配置的一種價格.前聯(lián)經(jīng)濟學(xué)家康托洛維奇根根據(jù)當(dāng)時聯(lián)經(jīng)濟開展?fàn)顩r和商品合理計價的要求，提出了最優(yōu)價格理論.二者提出的容根本是一樣的，但前者的理論被人們看成一種經(jīng)濟管理方法，后者是作為一種價格形成理論.國主要是對影子價格的定義、特征、計算及其應(yīng)用等進展研究，并說明在經(jīng)濟領(lǐng)域影子價格在產(chǎn)品生產(chǎn)決策中的運用.2.3 提出問題對于線性規(guī)劃問題: =存在這樣的情形： =可將其轉(zhuǎn)化為： =顯然，兩個線性規(guī)劃問題中的技術(shù)系數(shù)和約束右端項已經(jīng)發(fā)生了變化，于是就有如下問題：當(dāng)技術(shù)系數(shù)和約束右端項發(fā)生

7、變化時，對原線性規(guī)劃問題有無影響.結(jié)果如何.在上述的變化和結(jié)果下，對影子價格又有何影響.3技術(shù)系數(shù)與約束右端項不發(fā)生改變3.1線性規(guī)劃原問題與對偶問題及其性質(zhì) 假定原問題及對偶問題為對稱形式線性規(guī)劃問題，即原問題為：=其對偶問題為：=原問題與對偶問題聯(lián)系嚴(yán)密，相關(guān)參數(shù)都有重要的實際意義：原問題可看作現(xiàn)有資源約束條件下的最優(yōu)生產(chǎn)方案問題，為第種資源的限制量；為生產(chǎn)第種產(chǎn)品對第種資源的消耗系數(shù)；為第種產(chǎn)品的單位利潤；為第種產(chǎn)品的產(chǎn)量.對偶問題可看作資源被最優(yōu)利用時的影子價格問題，其中最優(yōu)解為第種資源的影子價格.線性規(guī)劃問題具有以下性質(zhì)：基可行解可行域極點有有限個；假設(shè)有最優(yōu)解，一定可在基可行解中找

8、到稱之為基最優(yōu)解或最優(yōu)基解；任意兩個最優(yōu)解的凸組合仍是最優(yōu)解；互為對偶的線性規(guī)劃問題當(dāng)且僅當(dāng)一個有最優(yōu)解時，另一個也有最優(yōu)解，它們最優(yōu)解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值相等.單純形法是求解線性規(guī)劃最方便有效的方法，而且通過求解一個問題，同時得到互為對偶的兩個線性規(guī)劃問題的解.在利用單純形法求解時，對于有不等式約束的問題，需引入松弛變量將約束條件化為等式，對于目標(biāo)函數(shù)極小化問題，可將目標(biāo)函數(shù)極大化，取s=-s將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榍髎極大值，必須將所有線性規(guī)劃問題都化為等式約束、目標(biāo)極大化、自變量非負(fù)的如下標(biāo)準(zhǔn)形式：對標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，單純形法求解的判定方法是，假設(shè)基同時滿足：1基的可行性條件.2對偶可行性條件，

9、不等式左端稱為基的檢驗數(shù)，則斷定基為最優(yōu)基，對應(yīng)基解假設(shè)基變量排在前面為原問題的最優(yōu)解，對應(yīng)對偶基解為對偶問題的最優(yōu)解.當(dāng)線性規(guī)劃原問題求得最優(yōu)解時，其對偶問題也得到最優(yōu)解，且代入各自目標(biāo)函數(shù)后有資源的市場價格是其價值的客觀表達，相比照擬穩(wěn)定，而它的影子價格則有賴于資源的利用情況，是未知數(shù).因企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品構(gòu)造等發(fā)生變化，資源的影子價格也隨之改變.影子價格是一種邊際價格，在式中對求的偏導(dǎo)數(shù)得.這說明的值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，每增加一個單位時目標(biāo)函數(shù)的增量.資源的影子價格實際上又是一種時機本錢.在完全市場經(jīng)濟條件下，當(dāng)資源的市場價格低于影子價格時，可以買進這種資源；相反，當(dāng)市

10、場價格高于影子價格時，就會賣出這種資源.隨著資源的買進賣出，它的影子價格也隨之發(fā)生變化，一直到影子價格與市場價格保持在同等水平時，才處于平衡狀態(tài).3.2具體應(yīng)用例 1*公司方案制造、兩種家電產(chǎn)品.各制造一件時分別占用的設(shè)備A、B的臺時、調(diào)試工序時間及每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況，如表1所示.問該公司應(yīng)制造這兩種家電多少件，是獲取的利潤最大.表1工程每天可用能力設(shè)備Ah設(shè)備Bh調(diào)試工序h06152115245利潤元21解：用變量和分別表示美佳公司制造家電和的數(shù)量，該公司可獲取的利潤為元，令，因問題中要求獲取的利潤為最大，即.因此，數(shù)學(xué)模型可表為：用單純形法求解上述問題，先將

11、其化為標(biāo)準(zhǔn)形式有：其約束條件系數(shù)矩陣的增廣矩陣為，是單位矩陣，構(gòu)成一個基，對應(yīng)變量是基變量.令非基變量等于零，即找到一個初始基可行解以此列出單純形表，見表2.表2 基 由單純形法解得此問題的基可行解為最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得.問題的對偶問題為：將兩個問題的最終單純形表分別表出，見表3,表4.表3項 目原問題變量原問題松弛變量變 量對偶問題的剩余變量對偶問題變量表4項 目對偶問題變量對偶問題剩余變量變 量原問題松弛變量原問題變量3.3 影子價格確實定由原問題與對偶問題的最終單純形表2和3知，資源設(shè)備A的影子價格=0，設(shè)備B的影子價格，調(diào)試工序的影子價格.設(shè)備A的影子價格為0說明增加設(shè)備A的工作時間

12、不會增加總產(chǎn)值，理由是，設(shè)備A的松弛變量，表示此種資源還有個單位的剩余，因此，增加資源設(shè)備A的工作時長不會帶來任何經(jīng)濟利益，只會增加更多的剩余.設(shè)備B的影子價格為，則設(shè)備B的工作時間增加一個單位時，最優(yōu)值也會增加個單位，即.如果設(shè)備A、B都沒有變化，而調(diào)試工序的時間增加一個單位，從影子價格可知總產(chǎn)值的增加量為，總產(chǎn)值也就增加個單位，即.4 技術(shù)系數(shù)與約束右端項發(fā)生改變4.1具體應(yīng)用 對于上述實例，問題的技術(shù)系數(shù)與約束右端項經(jīng)過變化后為：其標(biāo)準(zhǔn)形式為：列出單純形表5，如下：表5 基 由單純形法解得問題的基可行解為最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得.可以看到，與技術(shù)系數(shù)約束右端項未改變之前相比，問題的基可行解

13、有所改變，但函數(shù)的最優(yōu)值仍為，沒有影響.問題的對偶問題為：兩個問題的最終單純形表分別表出，見表6，表7.表6項 目原問題變量原問題松弛變量變 量對偶問題的剩余變量對偶問題變量表7項 目對偶問題變量對偶問題剩余變量變 量原問題松弛變量原問題變量4.2 影子價格確實定由原問題與對偶問題的最終單純形表6和7知，資源設(shè)備A的影子價格=0，設(shè)備B的影子價格，調(diào)試工序的影子價格. 設(shè)備A的影子價格為0說明增加設(shè)備A的工作時間不會增加總產(chǎn)值，理由是，設(shè)備A的松弛變量，表示此種資源還有個單位的剩余，這與原線性規(guī)劃問題的技術(shù)系數(shù)與約束右端項未改變時有所不同，但是，這只代表此種資源還有剩余，而增加資源設(shè)備A的工作

14、時長不會帶來任何經(jīng)濟利益，只會增加更多的剩余. 設(shè)備B的影子價格為，則設(shè)備B的工作時間增加一個單位時，最優(yōu)值也會增加個單位，即，與原線性規(guī)劃問題的技術(shù)系數(shù)與約束右端項未改變時，增加了.如果設(shè)備A、B都沒有變化，而調(diào)試工序的時間增加一個單位，從影子價格可知總產(chǎn)值的增加量為，總產(chǎn)值也就增加個單位，沒有影響.5 結(jié)論5.1主要發(fā)現(xiàn) 由實例的計算結(jié)果比照可以看出，技術(shù)系數(shù)、約束右端項改變后對線性規(guī)劃問題有以下幾點影響：對最優(yōu)解的影響顯然，原線性規(guī)劃問題的基可行解發(fā)生改變，即改變線性規(guī)劃問題的技術(shù)系數(shù)和約束右端項，對其最優(yōu)解有影響.對目標(biāo)函數(shù)值的影響從1中得知問題的最優(yōu)解發(fā)生了改變，但要指出的是，盡管線

15、性規(guī)劃問題的最優(yōu)解發(fā)生了改變，但對問題的目標(biāo)函數(shù)值卻無影響.對檢驗數(shù)的影響從影子價格的含義上觀察單純形表的計算.代表第種產(chǎn)品的產(chǎn)值，是生產(chǎn)該種產(chǎn)品所消耗各項資源的影子價格的總和，即產(chǎn)品的隱含本錢.當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含本錢時，說明生產(chǎn)該項產(chǎn)品有利，可在方案中安排，否則用這些資源來生產(chǎn)別的產(chǎn)品更有利，就不在生產(chǎn)方案中安排，這就是單純形表中各個檢驗數(shù)的經(jīng)濟意義.因此，只是的正負(fù)對線性規(guī)劃問題有影響.比照技術(shù)系數(shù)、約束右端項改變前后，均，故其對線性規(guī)劃問題的影響是一致的.對影子價格的影響經(jīng)過上述分析，顯然，技術(shù)系數(shù)、約束右端項改變后，*些設(shè)備資源的影子價格放生了改變.5.2 啟示和意義通過探究發(fā)現(xiàn)，改變

16、線性規(guī)劃問題的技術(shù)系數(shù)、約束右端項，對問題的最優(yōu)解、檢驗數(shù)、影子價格有所影響.如果為計算方便而改變技術(shù)系數(shù)和約束右端項，這是不可取的；但如果只考慮目標(biāo)函數(shù)值，因為不影響目標(biāo)函數(shù)值，這是可以的.一般說對現(xiàn)行規(guī)劃問題的求解時確定資源的最優(yōu)分配方案，對于對偶問題的求解則是確定對資源的恰當(dāng)估價，這種估價直接涉及資源的最有效利用.如在一個大公司部，可借助影子價格確定一些部結(jié)算價格，以便控制有限資源的利用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營的好壞.對此來說，為計算方便而改變技術(shù)系數(shù)和約束右端項是不可取的.5.3 局限性由于本文實例中只涉及問題的兩個約束條件的技術(shù)系數(shù)、約束右端項發(fā)生改變，并且只針對一些特殊情形，局限于考慮對

17、線性規(guī)劃問題的一些根本影響.5.4 努力方向本文只對線性規(guī)劃問題的技術(shù)系數(shù)、約束右端項發(fā)生改變后的影響，還應(yīng)拓展到其他系數(shù)和因素，如目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束右端項及系數(shù)矩陣同時變化的影響，并且本文主要對影子價格做出影響分析，還可以做靈敏度分析等，以彌補本文的缺乏之處.參考文獻：1Wayne L. Winston. Operations Research Applications and Algorithms第四版M.：清華大學(xué)，2006:379-382.2白云.對偶線性規(guī)劃基解不對稱性產(chǎn)生的矛盾和影子價格確定J.科學(xué)，2021,27:913-917.3白云.線性規(guī)劃中資源的影子價格與邊際價格J.理論

18、研究，2007:120-121.4夏少剛，費威.目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、約束右端項及系數(shù)矩陣A同時變化的靈敏度分析J.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2021,25:319-324.5王龍.論“影子價格涵及應(yīng)用J.商場現(xiàn)代化，2021,564：43-45.6馬贊甫，凱.影子價格的特征及其計算J.管理學(xué)報，2021,67：984-987.7馬贊甫.線性規(guī)劃中影子價格的“非唯一性J.系統(tǒng)工程，2007,25160：119-122.8吳漢洪，*國興.影子價格兩種定義的系統(tǒng)性及其經(jīng)濟學(xué)含義J.當(dāng)代經(jīng)濟管理，2007,291：9-21.9任立民.線性規(guī)劃在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用J.教育學(xué)院學(xué)報，2007，103：144-145.10林志紅.影子價格與資源的配置J.中國校外教育，2021:146-147.11耿鵬翔.