隨機(jī)過(guò)程報(bào)告-馬爾可夫鏈

1、馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過(guò)程，最初由 A.A .M arkov所研究。它的直觀背 景如下：設(shè)有一隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)E（例如運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)等），它可能處的狀態(tài)記為 Eo,Ei,.,En,.總共有可數(shù)個(gè)或者有窮個(gè)。這系統(tǒng)只可能在時(shí)刻t=1,2,n,上改變它的狀態(tài)。隨著的運(yùn)動(dòng)進(jìn)程，定義一列隨機(jī)變量Xn,n=0,1,2,?其中Xn=k,如在t=n時(shí)，位于Ek。定義1.1設(shè)有隨機(jī)過(guò)程Xn, nT ,若對(duì)任意的整數(shù)n T和任意的io,ii,.in 1 I，條件概率滿(mǎn)足0PXn1 in 1Xo io，.，Xnin) PXn1 in1Xn in)則稱(chēng)Xn, n T為馬爾可夫鏈,簡(jiǎn)稱(chēng)為馬氏鏈。實(shí)際中常常碰

2、到具有下列性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。如果己知它在t=n時(shí)的狀態(tài),則關(guān)于它在n時(shí)以前所處的狀態(tài)的補(bǔ)充知識(shí)，對(duì)預(yù)言在n時(shí)以后所處的狀態(tài)，不起任何作用?；蛘哒f(shuō)，在己知的“現(xiàn)在”的條件下，“將來(lái)”與“過(guò)去”是無(wú)關(guān)的。這種性質(zhì)，就是直觀意義上的“馬爾可夫性”，或者稱(chēng)為“無(wú)后效性”假設(shè)馬爾可夫過(guò)程Xn, n T的參數(shù)集T是離散時(shí)間集合，即T=0,1,2,）,其相應(yīng)Xn可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散狀態(tài)空間I=1,2,.）。定義1.2條件概率PijpXm jXn i）稱(chēng)為馬爾可夫鏈Xn, n T在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣，其中i , j I,簡(jiǎn)稱(chēng)為轉(zhuǎn) 移概率。一般地，轉(zhuǎn)移概率P；n）不僅與狀態(tài)i,j有關(guān)，而且與時(shí)刻n

3、有關(guān)。當(dāng)p不依賴(lài) 于時(shí)刻n時(shí)，表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。若對(duì)任意的i , j I,馬爾可夫鏈Xn,n T的轉(zhuǎn)移概率Pj(n)與n無(wú)關(guān)，則稱(chēng)馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的。定義1.3設(shè)p表示一步轉(zhuǎn)移概率p,所組成的矩陣，且狀態(tài)空間1=1,2 , - n,則Pll,12Pn稱(chēng)為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。它具有如下性質(zhì)：Pj 1,i IPj 0, i，j I；. j 1定理1.1設(shè)Xn,n T為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意的ij,./ I和n 1,有 n,pfM =小,無(wú)=L產(chǎn)Zrp%凡& mFo這表明馬爾可夫鏈的有限維分布完全由它的初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率所決定。因此，只要知道初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率，就可以知

4、道馬爾可夫鏈的統(tǒng) 計(jì)特性。定義1.4假設(shè)Xn, n 0是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I,轉(zhuǎn)移概率為Pij ,稱(chēng)概率分布 j , j I 為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿(mǎn)足門(mén)=1也工專(zhuān)=L號(hào)之0對(duì)于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是非周期，正常返的，則它是遍歷的；對(duì)于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是有限且非周期的，則它是遍歷的。值得注意的是，對(duì)于一個(gè)馬爾可夫鏈，并不是一定存在 limp。例如設(shè)馬爾可 n夫鏈的一部轉(zhuǎn)移矩陣為：【1刃易知p)I(單位矩陣)，p(2n1) p，所以limp 不存在。 n在隨機(jī)過(guò)程理論中，馬爾可夫鏈?zhǔn)且活?lèi)占有重要地位，具有普遍意義的隨機(jī) 過(guò)程。它廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，

5、尤其在預(yù)測(cè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 馬 爾可夫鏈的預(yù)測(cè)方法分為很多種。根據(jù)指標(biāo)值序列分組有3種。1）數(shù)據(jù)序列約定俗成的分組方法：根據(jù) 人 們 長(zhǎng) 久的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分組：由于人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中積累了生活經(jīng)驗(yàn)，人們對(duì)認(rèn)識(shí)的事物 有了感性的了解，就可以對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行分組。2）樣本均值一均方差分組法：對(duì)于數(shù)據(jù)序列Xi,X2,.,Xn,可看作是一個(gè)時(shí)間序列的前n個(gè)觀測(cè)值，算出樣本均值x和 樣本均方差s,根據(jù)具體情況以樣本均值為中心，s為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組。3）有序聚 類(lèi)分組法：有序聚類(lèi)是對(duì)有序樣品進(jìn)行分類(lèi)的一種方法， 更加充分地考慮序列的 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使劃分的區(qū)間更加合理。有序聚類(lèi)實(shí)現(xiàn)的經(jīng)典算法是Fisher算法，其 基本原

6、理為：設(shè)時(shí)間序列Xi,X2,.,Xn的某一歸類(lèi)是（再，既），i定義其均值向量為將公式。（。）=幺%-可）乜-虧）定義為Xi,X2,.,Xn的直徑，其含義表示該變量段內(nèi)部各變量之間的差異情況。其值越小，表示該段內(nèi)變量之間差異越小，或說(shuō)相互間越接近；反之，表示該段 內(nèi)變量之間差異越大，或說(shuō)相互間越分散。三種馬氏鏈預(yù)測(cè)方法：1）基于絕對(duì)分布的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2確定觀測(cè)值的狀態(tài)，寫(xiě)出頻數(shù)矩陣（Qj）i,j e,和一步轉(zhuǎn)移矩陣（fji, jE ,nnij其中fij其中n為樣本容量，當(dāng)時(shí)n ,可用頻數(shù)估計(jì)概率Pij fij,從n -1而得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣p1 pij。步驟3

7、“馬氏性”檢驗(yàn)步驟4已知時(shí)刻l時(shí)系統(tǒng)取各個(gè)狀態(tài)的概率可視為馬爾可夫鏈的初始分布，比如x1取狀態(tài)2, m=5,則始分布P（o）= （0, 1, 0, 0, 0）,于是l+1時(shí)的絕對(duì)分布Rd p（0）p （P1,p22）,P3,p44） ,p55）,可認(rèn)為時(shí)刻1+1時(shí)系統(tǒng)所取的狀態(tài)j滿(mǎn)足Pj maxP,從而預(yù)測(cè)1+ t時(shí)刻的狀態(tài)。 1 i 5步驟5還可以用馬氏鏈的平穩(wěn)性，遍歷性對(duì)系統(tǒng)分析。2）疊加馬氏鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2計(jì)算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣Pi, P2,Pk, I 1,2,k,其中R （fj2）i,j e ,n（2）fj2,其他類(lèi)推。n -2步驟3 “馬氏性”檢驗(yàn)步驟4如果要預(yù)

8、測(cè)時(shí)刻1+1的狀態(tài)，可分別利用1, 1-1, ?, 1-k+1作為初始態(tài)， i+i所處的狀態(tài)j滿(mǎn)足pmaxp。）。列表分析初始時(shí)段狀態(tài)112345來(lái)覆/4Pe%g1成）曲*點(diǎn)瑪3福譚由舄1-32成瑁pF匕U3城）點(diǎn)點(diǎn)4合計(jì)P闔p8)P閭圖1疊加馬氏鏈預(yù)測(cè)分析表步驟5重復(fù)步驟1-4遞推預(yù)測(cè)；步驟6進(jìn)行平穩(wěn)性，遍歷性及其他分析。3）加權(quán)馬氏鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2計(jì)算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣Pi, P2,Pk, I 1,2,k,其中P2 （f；）i,j efj2 匚，其他類(lèi)推。j n -2步驟3 “馬氏性”檢驗(yàn)；步驟4計(jì)算各階相關(guān)系數(shù)：I a - XX% - 工)rk -旦一 ，上 E，Z

9、a-才 r=1叫 e。i/gm keR步驟5預(yù)測(cè)n+1時(shí)刻的狀態(tài)步驟6重復(fù)1-5,預(yù)測(cè)n+2時(shí)刻的狀態(tài)，其余類(lèi)推步驟7討論其他性質(zhì)。馬爾可夫預(yù)測(cè)方法是馬爾可夫鏈在預(yù)測(cè)領(lǐng)域的一種應(yīng)用方法。最初這種方法在水文，氣象，地震等方面有廣泛的應(yīng)用，之后經(jīng)濟(jì)學(xué)家將其應(yīng)用于研究市場(chǎng)占有 率，預(yù)測(cè)經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)等方面。在馬爾可夫預(yù)測(cè)方法中，一個(gè)非常重要的問(wèn)題就是對(duì) 一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的估算。下面以實(shí)例分析馬爾可夫鏈在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。下面給出長(zhǎng)江水域6類(lèi)水質(zhì)所占的比例。年份時(shí)網(wǎng)11夷U類(lèi)II類(lèi)IV，V類(lèi)一丁類(lèi)1則014.6阻5|K,92.71,72.519%112.2m 2U9.5183.9199710.513.6

10、43.22h.O3.23.51現(xiàn)31彖9口工價(jià)46.2B.22.73.41W945 041.730 32.4，Q5.7200057內(nèi)35. 23n14.95.9620060.93A. 136 156 37.420027。S3S.731. 116. 12.Q13.42003苦1 . 3熱.541 1-63.414.52IM4925.7-40.2Ji. i5 2IL.9現(xiàn)在要對(duì)長(zhǎng)江未來(lái)10年的水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)做一個(gè)總體的預(yù)測(cè)。為此可建立長(zhǎng)江水質(zhì)污染的馬爾可夫鏈趨勢(shì)預(yù)測(cè)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣估計(jì)的 最優(yōu)化模型。設(shè)枯水期長(zhǎng)江全流域水質(zhì)在第t年屬于I類(lèi)、R類(lèi)、田類(lèi)、IV類(lèi)、 V類(lèi)、劣V類(lèi)這6類(lèi)狀態(tài)的比例向

11、量分別為(t) ( Pt ,Pt (2),.Pt (6),t 0,1,2,.9.設(shè) P (Pj)6 6 為6類(lèi)狀態(tài)矩陣的一步轉(zhuǎn) 移概率，根據(jù)誤差平方和達(dá)到最小的準(zhǔn)則，建立如下最優(yōu)化模型:(加 f + 1 ) 一 /)(比(，+ 1 ) 一 代 P V t =06廠1/卜,2 .6s. / j = 1、0,i J = 1 ,2,.6用matlab軟件求解得0.460 70. 034 5P = 0.000 00. 00. ()0() 00.000 00.277 80.270 51.(XJ0 00.110 70. 539 30.5(M 90.330 80. ()00 0(h 174 70.000 0

12、0.061 20T23 00.000 00.000 00. 000 00.060 30.000 00. ()00 00. 000 00.000 00.C61 40,C14 20.000 ()0. 174 6由下式a(9 + Q 二 口(9)嚴(yán)/ = I .2,.1。可以對(duì)長(zhǎng)江未來(lái)10年的水質(zhì)污染屬于I類(lèi)、II類(lèi)、田類(lèi)、IV類(lèi)、V類(lèi)、劣V類(lèi)這6類(lèi)狀態(tài)的比例向量作出預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)下表年份附間t1類(lèi)II美修受R類(lèi)奏M311)30,3超 3-fi 2ftS 14, 6IN 63, M25 011. IK5 72UDbLS. 135 128. 655 13B.U05 UJJ.571 33. K2; a

13、JU. AID K2(X)712工5加62H. 235 137.M22 214. 029 ii. K22 0in. #0 435.784 928.219 13fU明 3IS.976 K九M2 110JS9 1200914立即417n n38, 144 214.016 QV不用1上W6 G21)1015土皿b2S. INI 33H. 191 514. ()44 bi.戲融4史 &S7 6刻1165,70138 &14.0606S. 80 75*.76030121719s7 2弭 206 7255 114.073 7VRD6 6Q. frV 4201.1is5.gT 328.217 3272 914.0H2 7工狎腳7立介訪T196 .003 a二工儂238.285 514.。密03, SIO 39.6J44從預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果可以看出：枯水期長(zhǎng)江全流域水質(zhì)屬于IV類(lèi)、V類(lèi)、劣V類(lèi)這 3 類(lèi)狀態(tài)的比例并沒(méi)有發(fā)生根本性的減少，水質(zhì)污染程度依然十分嚴(yán)重。因此我們要采取積極措施，例如要嚴(yán)加控制企業(yè)廢水和城市生活垃圾亂排亂放，政府要大力推進(jìn)城市發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)和有機(jī)