隨機(jī)過程在信息與通信工程領(lǐng)域中的應(yīng)用

1、隨機(jī)過程在信息與通信工程領(lǐng)域中的應(yīng)用姓 名： 馬遠(yuǎn)美學(xué) 號：1120110202專 業(yè)：信息與通信工程信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院內(nèi)容摘要信息與通信工程中存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)問題。如：信源是隨機(jī)過程；信道不僅對隨機(jī)過程進(jìn)行了變換，而且會疊加隨機(jī)噪聲；從疊加了噪聲和進(jìn)行了變換之后的接收信號中 將所需要的信號進(jìn)行恢復(fù)；多個業(yè)務(wù)請求要共享一個資源的排隊問題等等。隨機(jī)過程理論在信息與通信工程領(lǐng)域中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。本文主要研究了隨機(jī)過程中的泊松過程、馬爾可夫過程以及平穩(wěn)過程在信息與通信工程中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：通信與信息工程；泊松過程；馬爾可夫過程；平穩(wěn)過程ABSTRACTThere are a lot of

2、 random phenomena and random problems in Communication and Information Engineering, such as: the signal source is a random process; channel is not only a transformation of random process, but also superimposed random noise; the received signal which is the superposition of the noise and after the tr

3、ansformation will be needed to restore the signal; queuing problems that multiple service request to share a resource. Stochastic process theory has been widely used in the field of Information and Communication Engineering. This thesis studies the stochastic process of Poisson process, Markov proce

4、sses and stationary processes in Communication and Information Engineering.Keywords: Communication and Information Engineering; Poisson process; Markov process; stationary process.信息和通信系統(tǒng)中的隨機(jī)問題信息和通信系統(tǒng)是一個產(chǎn)生、傳輸或處由電于信息的系統(tǒng).在信息與通信工程中，存在大量的隨機(jī)對象和相應(yīng)的隨機(jī)問題.下面我們就一些典型的例子加以說明2。信源和隨機(jī)信號信源是指一個能產(chǎn)生信號的隨機(jī)系統(tǒng)，其輸出可以是一個離散值

5、的隨機(jī)過程，或者一個連續(xù)值的隨機(jī)過程。離散值的隨機(jī)過程稱為數(shù)字隨機(jī)信號，二進(jìn)制數(shù)字信號是最常見的數(shù)字隨機(jī)信號；連續(xù)值的隨機(jī)過程稱為模擬隨機(jī)信號。如一個打字機(jī)可以輸出一個數(shù)字隨機(jī)信號， 一個麥克風(fēng)可以輸出模擬隨機(jī)信號。在信息和通信系統(tǒng)中，通常用具有隨機(jī)信號波形的電壓和電流表示一個隨機(jī)信號。信道模型信道是指信號傳輸?shù)奈锢斫橘|(zhì)，可以是電纜、不同波長的電磁波等等。當(dāng)隨機(jī)信號通過信道以后，除了對信號進(jìn)行了一個一般來說是線性的變換外，往往還要加上一個不可預(yù)測的干擾，這種干擾被稱為噪聲。噪聲的形成原因有許多；一般有三類：人為噪聲、自然噪聲和 內(nèi)部噪聲。人為噪聲來源于和傳輸信號無關(guān)的其他信號源，如外臺信號、開

6、關(guān)接觸噪聲、工 業(yè)的點火輻射和熒光燈干擾等；自然噪聲指自然界存在的各種電磁波源，如閃電和宇宙噪聲等；內(nèi)部噪聲指系統(tǒng)設(shè)備本身產(chǎn)生的各種噪聲；噪聲也是一個隨機(jī)過程，在沒有信號傳輸時，我們也可以接收到一個隨機(jī)波形，所有這些可能的隨機(jī)波形的全體是噪聲隨機(jī)過程。在有信號傳輸時，這些隨機(jī)噪聲就疊加在隨機(jī)信號上，成為信號接收的干擾。信道的特征有時不僅是給要傳輸?shù)男盘柉B加上一個不可預(yù)測的隨機(jī)噪聲，它往往還要 對傳輸信號本身進(jìn)行一個線性或非線性變換。因此我們需要研究隨機(jī)信號被變換之后的特征。圖1.1給出了一個加性噪聲信道模型示意圖。隨機(jī)信號 信道變換4ft信道輸出加性噪聲圖i.i加性噪聲信道模型示意圖此外，由于

7、信道參數(shù)的隨機(jī)性，信道變換本身也呈現(xiàn)隨機(jī)性，如果用線性系統(tǒng)的沖激 響應(yīng)來刻畫信道變換，則該信道沖激響應(yīng)是一個隨機(jī)過程。信號的傳輸和接收有時候信道具有一定的頻率通過特性，因而如果待傳輸?shù)碾S機(jī)信號頻率和信道的頻率 不相吻合，則需要進(jìn)行領(lǐng)率搬移，這就是隨機(jī)信號調(diào)制的概念。經(jīng)過調(diào)制后的信號。經(jīng)信道傳輸后，在接收端，需要從進(jìn)行了調(diào)制、信道變換并疊加 了噪聲的接收信號中， 給出發(fā)送信號的一個判斷。這是隨機(jī)信號的檢測問題， 如圖1.2所示。由于信道疊加了不可預(yù)測的噪聲，使得我們只能在一定程度上對原始發(fā)送信號進(jìn)行復(fù)原，這就是統(tǒng)計檢測的問題。信道輸出 信號分析信號判決圖1.2信號檢測示意圖排隊模型所謂排隊模型就

8、是：顧客以不可預(yù)測的隨機(jī)性到達(dá)，等待服務(wù)員有空閑的時候接受服 務(wù)，需要的服務(wù)時間也是隨機(jī)的，完成服務(wù)后就離開。如圖1.3所示。顧客到達(dá)TTTTnKD顧客離去排隊室服務(wù)窗口圖1.3隊系統(tǒng)模型排隊模型是通信網(wǎng)的信息流理論的基礎(chǔ)。在一個通信網(wǎng)絡(luò)中，業(yè)務(wù)請求隨機(jī)斷續(xù)到 達(dá)網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點或接入點，這些業(yè)務(wù)需要占據(jù)網(wǎng)絡(luò)資源的時間也是隨機(jī)的，某業(yè)務(wù)需要的服務(wù)完畢之后，該服務(wù)請求即從系統(tǒng)去除。因此，要對這樣一個排隊系統(tǒng)進(jìn)行分析和描述， 首先必須知道服務(wù)請求到達(dá)的統(tǒng)計規(guī)律、服務(wù)時間的統(tǒng)計規(guī)律，然后研究如何設(shè)計排隊規(guī)則， 使系統(tǒng)具有較好的效率。一般來說，需要從以下幾個方面衡量一個排隊系統(tǒng)的性能：一個服務(wù)請求從到達(dá)

9、系統(tǒng)一直到接受服務(wù)前所需要的等待時間、一個服務(wù)請求從發(fā)出一直到完成所需要的時間、系統(tǒng)中排隊請求的個數(shù)等等?？梢钥闯?，信息與通信工程中的許多客觀對象，如信號、信道、業(yè)務(wù)請求的發(fā)生、完 成業(yè)務(wù)所需要的時間等等，都是隨機(jī)過程，我們首先需要對這些對象本身的統(tǒng)計特性有一個 精確的刻畫。其次，這些對象在通信與信息系統(tǒng)中處在一個運動和變化的過程中，因此需要研究它們的變換性質(zhì)，如隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)統(tǒng)計性質(zhì)發(fā)生的變化。此外， 還需要研究如何從被噪聲淹沒的信號中，將所需要的信號進(jìn)行還原。因此，研究隨機(jī)過程在 信息與通信工程領(lǐng)域中有重要的作用。隨機(jī)過程的分類有多種，根據(jù)隨機(jī)變量Xt之間的概率關(guān)系進(jìn)行分

10、類可以分為獨立增量過程，泊松過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程和鞅過程等。本文重點論述了泊松過程，馬爾可 夫過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程在信息與通信工程中的應(yīng)用。2、泊松過程泊松過程的定義若計數(shù)過程X(t) ,t0滿足下列條件:X(0)=0;X(t)是獨立平穩(wěn)增量過程；(2.1)X(t)滿足下列兩式：卜X(t +h)-X(t)=加+o(h),PX(t +h)-X(t)22=o(h).則稱計數(shù)過程X(t) ,t 0為具/參數(shù)入0的泊松過程3。泊松過程是工程運用中十分有效的數(shù)學(xué)模型，是對高度局部化事件建模的有效工具，在 排隊論分析、生物醫(yī)學(xué)檢測和光子通信中的應(yīng)用十分廣泛。在工程實際中泊松過程的觀測有計時和計數(shù)兩種

11、方式。過電平檢測隨機(jī)共振器中的泊松過程建模在數(shù)學(xué)上泊松過程建模的條件是根據(jù)辛欽有序性和無后效演變性嚴(yán)格證明的，在實際應(yīng)用中根據(jù)這兩個條件的符合程度來判斷泊松過程建模的可行性。一個有序的點過程可以定性的理解為：在一個充分小的區(qū)間里，多于一個點的概率相對于有一個點的概率來說可以是任 意小的。在工程實際中，可以解釋為點不可能同時發(fā)生。一個在t0, 8)上的點過程的無后效演變性就是對任意t皂t0,在區(qū)間t, 8)內(nèi)點的現(xiàn)實不以任何方式依賴于在區(qū)間t0,t)中發(fā)生的事件序列，這表示點的過去和將來的獨立性。只要過電平檢測隨機(jī)共振器的輸出脈沖寬度足夠窄，滿足可分辨的時間內(nèi)脈沖的發(fā)生是不重疊的，就可以認(rèn)為點是

12、不可能發(fā)生的。在寬大噪聲的背景下，點發(fā)生的前后的依賴性是很弱的，因此過電平檢測隨機(jī)共振器的輸出的脈沖串可以近似的用泊松過程來建模。過電平檢測隨機(jī)共振器5中的信息流運動過程如圖1.4所示，原有的觀測的隨機(jī)過程經(jīng)過電平檢測器的非線性處理變換為一個隨機(jī)點過程k,在固定時間區(qū)間t0,t0+&)實際匹測到的數(shù)據(jù)是動的一次具體的實現(xiàn)Nt0,t0W=M,H =丁1尸2=丁2,，7m=Tm。隨機(jī)點過程0可以近似的認(rèn)為是一個以強(qiáng)度函數(shù)為九的泊松計數(shù)點過程。過電平檢測器的非線性處理相當(dāng)于把x(t) =s(t) +n(t)的信息變換為一組脈沖位置信息，相當(dāng)于一個特殊的脈位調(diào)制過 程。圖1.4過電平檢測隨機(jī)共振器中的

13、信息流運動特殊的，若 n(t)是自相關(guān)函數(shù)為Rnn( 7)的均方可微非白高斯噪聲，在sUt的亞閥限的先驗條件下，點過程是以強(qiáng)度函數(shù)為1 (U+ -s(t)2(t) = 一 .，-Rnn(0)/Rnn(0) exp(-(uJ-)(2.2)2 Rnn(0)的泊松點過程。在信息流的運動過程中前后事件的一一對應(yīng)關(guān)系是重要的，這樣在信號處理后得到的結(jié)果不會出現(xiàn)事件的模糊性。由于式(2.2)所示，九是s的函數(shù)(固定時間t),顯然這是一個二對一映射的函數(shù)，s(t)=2Ut-s(t)和s(t)對應(yīng)相同的 入.由于s(t)Ut,在亞閥限的條件下s(t)是不存在的。因此觀測到的泊松點過程對應(yīng)唯一的事件s(t),信

14、號s(t)唯一的決定泊松強(qiáng)度函數(shù)九，九內(nèi)在地激發(fā)一個唯一對應(yīng)于s(t)的泊松點過程。于是有以下事件關(guān)系：(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)，HS(t) =Q(t)l = Nt。f=%1 =T1,2 =T2,.,m =Tm H1(t)Sl(t)f是以%(t)為強(qiáng)度函數(shù)的泊松過程的實現(xiàn) H_S(t) _S(t)加。，地，.敵=T2，如=H0 - S-S0(t) -是以為(t)為強(qiáng)度函數(shù)的泊松過程的實現(xiàn)其中,2八 1 (Ut f(t)、11 (t) =_ Rnn (0) / Rnn (0) exp( )Rnn(。)20(t) Rnn(0)/Rnn(0) exp(譚肅盧)因此，觀測到的實現(xiàn)Nt0

15、,t043i=M,E1 =丁1，敢=丁2,，g=Tm隱含了 s(t)的信息，通過對其處 理就可以進(jìn)行信號s(t)的檢測分類。3、馬爾可夫過程馬爾可夫過程定義若隨機(jī)過程Xn,nWT對于任意的nCT和任意的i0,i1,in+1 C I,其條件概率滿足：PX n 1 -in 1 | X0 =i0,X 二i,，Xn -in - PXn 1 -in1 |Xn -in(3.1)則稱Xn ,n w T為馬爾可夫連，簡稱馬氏鏈 。這是一種時間、狀態(tài)都是離散的馬爾可夫過 程。隨機(jī)過程中，有一類具有 先后效性性質(zhì)”，即當(dāng)隨機(jī)過程在某一時刻t0所處的狀態(tài)已知的條件下，過程在時刻tt0時所處的狀態(tài)只和t0時刻有關(guān)，而

16、與t0以前的狀態(tài)無關(guān)，則這種隨機(jī)過程稱為馬爾科夫過程。馬爾可夫模型在無線通信系統(tǒng)中的應(yīng)用在無線通信系統(tǒng)的設(shè)計中，信道模型和信道仿真的正確性、真實性直接影響著所設(shè)計的 無線通信系統(tǒng)的性能。在模型的設(shè)計中，除了在特性對相應(yīng)的仿真對象應(yīng)有良好的逼近外實現(xiàn)的復(fù)雜度和速度是通常需要重視的要點，以保證其可實現(xiàn)性和實時性。實測法、濾波方法 以及基于馬爾可夫(Markov )過程建模是三種常用的移動信道建模方法。目前衛(wèi)星信道 模型有Suzuki模型和Loos分布等，這些信道模型的仿真都是基于多個不相關(guān)的有色高斯 隨機(jī)過程。其中基于馬爾可夫過程建模這種方法是用高階Markov模型作為衰落信道模型。到目前為止，已

17、有很多研究。特別是近年來移動通信發(fā)展迅速，對話音、數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)進(jìn)行無線傳輸?shù)?G以及4G的研究更是蓬勃展開。無線信道衰落對通信網(wǎng)絡(luò)性能的影響是其中的關(guān) 鍵問題之一。已有的通信協(xié)議大多沒有考慮信道的記憶性，這就使得協(xié)議性能下降。對于信道記憶性，一般采用 Markov模型，已有的對于衰落信道記憶性的研究，大都采用高階Markov 模型。隱馬氏模型及其應(yīng)用隱馬氏模型(Hidden Markov Models)是一類統(tǒng)計模型， 簡稱HMMs。它用來描述一個含 有隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過程。其難點是從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含參數(shù)。然后利用這些參數(shù)來作進(jìn)一步的分析。隱馬氏模型是由兩個隨機(jī)過程Xn,Yn)

18、組成，其中X n是一個觀測不到的有限狀態(tài) (設(shè)狀態(tài)空間為 S=1 , 2, , , r)馬氏鏈(或馬氏隨機(jī) 場)，而且它的轉(zhuǎn)移矩陣(函數(shù))也可能是不知道的，這個鏈稱為狀態(tài)鏈。而 Yn是可以觀 測到的，稱為觀測鏈。未知狀態(tài)鏈與測量到的觀測鏈一起，就構(gòu)成了隱馬氏模型。這里“隱”的含義是說狀態(tài)鏈?zhǔn)请[藏起來的8。隱馬氏模型經(jīng)典理論由 L.E.Baum等在六十年代末七十年代初給出。隨后這一模型于七 十年代中期由Jenik等應(yīng)用到語音識別領(lǐng)域中，逐步發(fā)展成為語音識別中最矚目、最有效的 技術(shù)之一。目前，它廣泛應(yīng)用于基因關(guān)聯(lián)分析和基因識別、文字識別、圖像處理和目標(biāo)跟蹤等方面。壓縮傳感理論利用信號的稀疏性，對其

19、非自適應(yīng)線性投影進(jìn)行壓縮采樣，通過最優(yōu)化問題準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號。傳統(tǒng)重構(gòu)算法僅利用了信號的稀疏性，而未對轉(zhuǎn)換后的信號結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)7提出了一種基于 4狀態(tài)的隱馬爾科夫樹模型的小波域壓縮采樣信號的重構(gòu)方法，相對2狀態(tài)的隱馬爾科夫樹模型，該模型能夠獲取相鄰尺度小波系數(shù)的更多相關(guān)特性，通過仿真結(jié)果表明，該算法具有更高的重構(gòu)精度。4、平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程定義設(shè)X(t),tWT是隨機(jī)過程，如果對任意常數(shù)。和正整數(shù)n,t1,t2，tnt1 +。2+工,tn +/WT ,(X(t1), X(t2),.,X(tn)與(X(t1 +E),X(t2 + 7),.,X (tn + 7)有相同的聯(lián)合分布，則稱X(t),

20、tT為嚴(yán)平穩(wěn)過程，也稱作狹義平穩(wěn)過程。由于隨機(jī)過程的有限維分布有 時無法確定，在應(yīng)用和理論上更為重要的是寬平穩(wěn)過程。其定義為：對任意 s,tWT, Rx(s,t) =EX(s)X(t) =Rx(st),則稱X(t) ,t WT為寬平穩(wěn)過程，也叫廣 義平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程網(wǎng)。平穩(wěn)隨機(jī)過程是一種在通信系統(tǒng)中占有重要地位的隨機(jī)過程。所謂平穩(wěn)就是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而不同，它的一維分布與 t無關(guān)，二維分布只與時間間隔。有關(guān)。在通信系統(tǒng)中所遇到的信號和噪聲大多數(shù)都可以視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程，這類過程一方面受到隨機(jī)因素的影響而產(chǎn)生隨機(jī)波動，

21、同時又有一定的慣性，是在不同時刻的波動特性基本保持不變。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有很大的現(xiàn)實意義。信道模型中的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程的任意 N維分布服從正態(tài)分布(N=1,2,)時，稱它為高斯隨機(jī)過程，簡稱高斯過程。高斯過程一種普遍存在和十分重要的隨機(jī)過程。可以證明，高斯過程若是寬平穩(wěn)的則也是嚴(yán)平穩(wěn)的。本文所指的高斯隨機(jī)過程即為平穩(wěn)的高斯過程。在1.2的信道模型中我們提到了加性噪聲。系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的加性干擾來自導(dǎo)體中的熱運動產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲、電子器件中的器件噪聲，如電子管、半導(dǎo)體器件形成的散彈噪聲等。內(nèi)部噪聲有一個很重要的特點就是他們可以看成是具有高斯過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程，并且它的噪聲功率譜密度在很寬

22、的范圍內(nèi)基本上是一個定值，因此又稱為白噪聲。宇宙噪聲也屬于此類。另一種信道模型中的加性噪聲是平穩(wěn)有色高斯噪聲。也就是說它的噪聲功率譜密度不是一個定值。如衛(wèi)星移動信道的仿真方法研究之一就是采用（平穩(wěn)）有色高斯隨機(jī)過程進(jìn)行仿真。 它使用一定數(shù)量的低頻正弦波發(fā)生器，通過簡單的運算得到偽隨機(jī)噪聲序列以逼近對象信道.這種方法是以正弦和理論為基礎(chǔ)，用有限個加權(quán)的正弦信號和近似有色高斯過程，進(jìn)而建立移動信道的確定性仿真模型.這也是近年來人們研究的重點.該理論的提出能夠克服濾 波器采樣頻率和帶寬限制給設(shè)計與制作帶來的困難，而且便于用計算機(jī)軟硬件來實現(xiàn).具體證明過程可以參考文獻(xiàn)1。平穩(wěn)隨機(jī)過程與信號檢測如果一個

23、隨機(jī)過程的概率分布或數(shù)字特征是隨時間周期性變化的，則該過程就可以描述為一周期平穩(wěn)隨機(jī)過程。而一般信號檢測、估計的處理方法大多是將所觀測的信號建模為平 穩(wěn)隨機(jī)過程。而實際上各種人為的調(diào)制信號，以及對信號采樣、編碼等操作得到的信號大多具有周期平穩(wěn)性。因此所觀測到的信號更適宜描述為周期平穩(wěn)過程。信號在信道傳輸過程中疊加了不可預(yù)測的噪聲， 因此在接收時需要對信號進(jìn)行濾波檢測 以便在一定程度上對原始發(fā)送信號進(jìn)行復(fù)原。 前面已經(jīng)提到了信道中的加性噪聲有平穩(wěn)高斯 噪聲，因此信號的濾波檢測過程中避免不了對平穩(wěn)隨機(jī)過程的噪聲檢測。維納濾波與卡爾曼濾波均是線性、無偏、最小均方差意義下的最佳濾波。前者適用于平穩(wěn)情況

24、，需要知道信號與噪聲功率譜或相關(guān)函數(shù)的先驗統(tǒng)計知識；后者對平穩(wěn)與非平穩(wěn)情況均適用。也就是說對于平穩(wěn)隨機(jī)過程的噪聲，我們可以采用這兩種方法濾波處理，再根據(jù)一定的判決準(zhǔn)則，將信號檢測出來。例如，在雷達(dá)系統(tǒng)中，由于雷達(dá)回波信號總是處于雜波背景中，目標(biāo)檢測的任務(wù)就是從雜波中提取出目標(biāo)信號。為了提高目標(biāo)的檢測能力， 在進(jìn)行目標(biāo)檢測之前， 應(yīng)首先進(jìn)行雜波處理。雜波處理的任務(wù)就是降低雜波功率，控制虛警率，改善和提高信雜比，以便在較低的虛警概率下獲得盡可能高的發(fā)現(xiàn)概率。只有在良好的目標(biāo)檢測性能的基礎(chǔ)上，才能可靠地對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，可靠地建立目標(biāo)的航跡，從而達(dá)到VTS的目標(biāo)檢測和目標(biāo)管理。 所以說，在雷達(dá)數(shù)據(jù)處理子系統(tǒng)中雜波處理是其中非常重要的環(huán)節(jié)。而雜波在一定的時間范圍內(nèi)是平穩(wěn)分布的，因而也可以說研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的雜波分布在雷達(dá)雜波處理中十分重要。對于交管雷達(dá)來說，主要的雜波干擾有四種：噪聲、雨雪雜波、海雜波、和同頻干