logistic增長曲線

1、第二次作業(yè)學(xué)號(hào)：11001020138姓名;張彥強(qiáng)第二題：5.Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型是計(jì)誼經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的兩個(gè)常用模型，可以用來擬合銷售量的增長趨勢+記Logistic增長曲線模型為+；亠，記Gomprnz增長曲線模型為，嚴(yán)“”，這兩個(gè)模型中L的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義都是銷售量的上限，下表中給出的是某地區(qū)高壓鍋的銷售量(單位：萬臺(tái))，為給出此兩模型的擬合結(jié)果,請(qǐng)考慮如下的問題：Logistic增長曲線模型是一個(gè)可線性化模型嗎.如果給定L=3000,是否是一個(gè)可線性化模型,如果是，試用線性化模型給出參數(shù)a和A的估計(jì)值.利用所得到的。和左的估計(jì)值和L二3000作為Logis

2、tic模型的擬合初值，對(duì)3因戲忙模型做非線性回歸.取初值匸=3000,評(píng)=30嚴(yán)=0.4,擬合Gotnpertz模型.并與Logistic模型的結(jié)果進(jìn)行比較.年份rv年份ty198104J,65198871238.75J9821109.86198981560,0019832187.21199091824,2919843312.6719911G2199.(M)19854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.251a=ektLL，再對(duì)兩邊同時(shí)yL1解：(1)對(duì)yi+ae_kt兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：亍t取對(duì)數(shù)得：ln1=lnakt丿lna

3、二bk=B即可得到一個(gè)線性關(guān)系式：因此Logistic增長曲線模型是一個(gè)可線性化模型。給定L-3000，Logistic增長曲線模型是一個(gè)可線性化模型。用MATLABR2012a估計(jì)線性模型的的程序?yàn)椋簒=43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71;L=3000;z=log(L./y-1);p=polyfit(t,z,1)k=-p(1),a=exp(p(2)Y=polyval(p,t);X二exp(Y);得到結(jié)果為：p=-0.49413.S0320.49dla=44.3463因此a的

4、估計(jì)值為44.8463，k的估計(jì)值為0.4941(2)用MATLABR2012a對(duì)Logistic增長模型做非線性回歸MATLABR2012a程序如下：y二43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71;t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2);y1=L./(1+a*exp(-k*t);plot(t,y,*,t,y1);擬合Logistic增長模型，畫出的擬合圖形如圖所示：因此Logis

5、tic增長模型的非線性方程為3000y二t1+44.8463e-o.494it擬合Gompertz增長模型Gompertz增長曲線模型為yt=Le-be-k兩邊同時(shí)除以L得X=e-be-kt.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得ln扌二-be-kt.y再兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lnlnl二ln(-b)-匕.令y2二lnln丄L，aa=k，bb=ln(-b)得線性關(guān)系式y(tǒng)2=aat+bb.用MATLAB2012Ra擬合Gompertz增長模型，MATLAB2012Ra程序如下：x二43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.00243

6、8.892737.71;t=0:12;L=3000;y1=log(log(x/L);a二polyfit(t,y1,1);b=-exp(a(2);k=-a(1);y2=L*exp(-b*exp(-k*t);plot(t,x,*,t,y2);得到Gompertz增長模型的擬合曲線如下圖所示：01*FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp、石運(yùn)H迄te傀鬼同上鷹F凰甬當(dāng)L=3000，b=30，k=0.4時(shí)，擬合的Gompertz增長曲線方程為y=3000e-3oe-0.41tGompertz增長曲線與Logistic增長曲線相比較，兩模型相同之處：Logistic增長曲線模型，俗稱“S曲線”主要目的是模擬人口的增長。其一般形式為t1+ae-加Logistic增長曲線有個(gè)重要特征。就是y隨著t的增加直至+*而趨向于k,k即是y的飽和值；反過來，當(dāng)tf-g時(shí)，yfO。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，許多指標(biāo)的增長過程具有這個(gè)特征。例如，一種新產(chǎn)品、新技術(shù)的普及率，一種耐用品的存量，它們的增長過程都遵循Logistic增長曲線模型。所以，Logistic增長曲線模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中有廣泛的應(yīng)用，是一種重要的預(yù)測模型。Gompertz曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象：初期增長緩慢，后期逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長率又逐漸下降，最終接近一條水平線。Gompertz曲線