工程控制基礎(chǔ)：4-1 復(fù)域：根軌跡法12A

1、第四章 根軌跡法（1）1第四章 根軌跡法 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡法：在已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布基礎(chǔ)上，通過(guò)圖解法研究系統(tǒng)某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上變化的軌跡。4.1 閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡24.1.1 根軌跡的定義閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程： 或第四章 根軌跡法3第四章 根軌跡法 設(shè) 令由 得即根軌跡方程。當(dāng)Kr從0，閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡就是根軌跡。4第四章 根軌跡法如果關(guān)心的是其他參數(shù)a，要將特征方程化為如下形式 1aP(s)=0例4-1 單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，畫(huà)出以a為參變量的根軌跡。 解：系統(tǒng)的特征方程54.1.2 根軌跡的幅值條件和

2、相角條件閉環(huán)特征方程： 由于其s是復(fù)數(shù)，可用向量表示，將其分成兩個(gè)方程。幅值條件：相角條件：也可寫(xiě)為： 第四章 根軌跡法6用零極點(diǎn)形式 幅值條件 相角條件：第四章 根軌跡法7第四章 根軌跡法 例 設(shè)一系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程的根：8若參變量K1從0變化時(shí)，特征方程根的變化情況如表根軌跡圖以系統(tǒng)增益K1為參變量，當(dāng)K1由0時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上變化的軌跡。根據(jù)此圖可分析參數(shù)K1變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響。 K1 0 0.125 0.25 0.5 s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+js2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j第四章 根軌跡法

3、9當(dāng)K1=0 , 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn)。K10.25 ,閉環(huán)極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸(0,-1)區(qū)間,為兩個(gè)負(fù)實(shí)根. K1=0.25時(shí)兩個(gè)負(fù)實(shí)根相等s=-0.5。K10.25 ,閉環(huán)極點(diǎn)是兩個(gè)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根.隨著K1增大,特征方程根的軌跡沿著s=-0.5垂直與實(shí)軸的直線趨向無(wú)窮遠(yuǎn).第四章 根軌跡法根軌跡上任意點(diǎn)滿(mǎn)足根軌跡的幅值條件和相角條件.反之凡是滿(mǎn)足根軌跡的幅值條件和相角條件的點(diǎn)必定是根軌跡上的點(diǎn).10第四章 根軌跡法-1 -2 = -11根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著較密切的聯(lián)系。高階系統(tǒng)，用解析的方法繪制統(tǒng)根軌跡圖很繁瑣。簡(jiǎn)便的圖解方法，根據(jù)已知的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。為此需

4、要： 研究開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡之間的關(guān)系。 第四章 根軌跡法12 凡滿(mǎn)足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)極點(diǎn)(特征方程根)。這些s值構(gòu)成系統(tǒng)根軌跡。 如何找出這些s點(diǎn)？ （1）尋找滿(mǎn)足幅角條件的s值來(lái)繪制根軌跡曲線， （2）用幅值條件確定根軌跡曲線上各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Kr值。 工程上定義： （1）當(dāng) 0 K1 + 時(shí)的根軌跡稱(chēng)之為主要根軌跡，簡(jiǎn)稱(chēng)根軌跡。 （2）當(dāng) K1 + 時(shí)的根軌跡稱(chēng)為完全根軌跡，簡(jiǎn)稱(chēng)全根軌跡。第四章 根軌跡法134.2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則 以Kr為參變量繪制根軌跡的基本規(guī)則。1.根軌跡的分支數(shù)，根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。 起點(diǎn)（Kr= 0

5、）：起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 終點(diǎn)（Kr）：終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。終點(diǎn)包括m個(gè)有限零點(diǎn)和(n-m)個(gè)無(wú)限零點(diǎn)當(dāng)Kr = 0 變化時(shí)，整個(gè)根軌跡的趨向由起點(diǎn)移向終點(diǎn)，即由開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)移向開(kāi)環(huán)的零點(diǎn)。第四章 根軌跡法14第四章 根軌跡法由根軌跡方程當(dāng)Kr= 0時(shí)， -起點(diǎn)： 說(shuō)明根軌跡起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，每個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)起點(diǎn)，所以共有n個(gè)起點(diǎn)。15第四章 根軌跡法終點(diǎn)：（1）當(dāng)Kr時(shí)， 有 m 條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。把這 m 個(gè)零點(diǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。（2）當(dāng)s時(shí)， 有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。把無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱(chēng)之為無(wú)限零

6、點(diǎn)。16 一條完整的根軌跡稱(chēng)之為根軌跡的一個(gè)分支。綜上所述：n階系統(tǒng)有n個(gè)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。分支數(shù)必等于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)n 。每個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)起點(diǎn)系統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，其中m個(gè)為有限零點(diǎn)，（n-m）個(gè)為無(wú)限零點(diǎn)。每個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)終點(diǎn)，所以共有n個(gè)終點(diǎn)。第四章 根軌跡法17第四章 根軌跡法例4-3 單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)的特征方程18第四章 根軌跡法0.485.1219第四章 根軌跡法2、根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。實(shí)軸上某點(diǎn)s1 ，若-pj或-zi在其左邊，則向量(s

7、1+pj)或(s1+zi)的相角都是0，若-pj或-zi是復(fù)數(shù)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)相角之和也是0。若-pj或-zi在s1右邊，則向量(s1+pj)或(s1+zi)的相角都是。由根軌跡的相角條件，根軌跡的右邊的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必為奇數(shù)。20第四章 根軌跡法在s=0與s=-z1之間的實(shí)軸上任取一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s1加以説明。 s1+p2s1+z1s1+p1 s121第四章 根軌跡法0.485.12223、根軌跡的對(duì)稱(chēng)性 根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。 特征方程的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)閺?fù)數(shù)。必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。第四章 根軌跡法23第四章 根軌跡法4、根軌跡的漸近線 Kr時(shí)，根軌跡沿著漸近線趨向開(kāi)環(huán)無(wú)限零點(diǎn)。 漸近線共有(n-m)條，且相

8、交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的夾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)（漸進(jìn)中心）：24第四章 根軌跡法幅角條件：當(dāng)s時(shí)，零點(diǎn)-zi、極點(diǎn)-pj與s矢量相角可近似看成相等得到所以漸近線的傾角：共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。（1）根軌跡漸近線的傾角25幅值條件：當(dāng) ，則對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí) ，上式可寫(xiě)成：（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)第四章 根軌跡法26第四章 根軌跡法上式左邊展開(kāi)： 上式右邊展開(kāi)比較對(duì)應(yīng) s 冪項(xiàng)系數(shù)相等，求得：所以漸近線相交于同一點(diǎn)27第四章 根軌跡法0.485.1228第四章 根軌跡法例：已知： 試畫(huà)出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：（1）分支數(shù)： n=3，起點(diǎn)：0，-1，-2；終點(diǎn)：，。（2）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0與-1，-2與-之間。（3）根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。（4）漸近線：n=3,m=0，所以漸近線共有3條。漸近線的傾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： 29 3支，起點(diǎn)：0，-1，-2；終點(diǎn)：在實(shí)軸上 0與-1，-2與-之間。對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。漸近線3條。傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：第四章 根軌跡法30序內(nèi)容規(guī) 則 1分支數(shù)起點(diǎn)終點(diǎn)分支數(shù)