柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面課件

1、第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 主要內(nèi)容 1、柱面 2、錐面 3、旋轉(zhuǎn)曲面 4、橢球面 5、雙曲面 6、拋物面第一節(jié) 柱面定義平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 C 叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.設柱面的準線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準線上一點，則過點M1的母線方程為且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實

2、例橢圓柱面 母線/ 軸雙曲柱面母線/ 軸拋物柱面母線/ 軸 只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面，其準線為xoy面上曲線C.例1、柱面的準線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。第二節(jié) 錐面一、錐面1、定義 在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。2、錐面的方程設錐面的準線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準線上任一點，則錐面過點M1的母線為：且

3、有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準線為的錐面的方程。答：（二次錐面）定理 一個關于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面。齊次方程：設為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程 x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程 x2+y2+z2=0原點（虛錐面）第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)曲面一、. 旋轉(zhuǎn)曲面1、 定義: 以一條平面

4、曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標系中，設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。所以過M1的緯圓的方程為： 當點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方

5、程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。三、母線在坐標面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面： 已知yoz面上一條曲線C, 方程為f (y, z) = 0, 曲線C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設M1(0, y1, z1)是C上任意一點, 則有f( y1,

6、 z1) = 0當C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M (x, y, z)時, 有將z1 = z, 代入方程F( y1, z1) = 0, 得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即規(guī)律： 當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。解 圓錐面方程例2: 求直線 z = ay 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz = ay解: 將 y 用 代入直線方程, 得平方得:z2 = a2 ( x2 + y2 )該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面, 其頂點在原點.例3 將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生

7、成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）第四節(jié) 二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應地平面被稱為一次曲面討論二次曲面性狀的平面截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j

8、 = 0zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓當 |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;當 |k | = c 時, 橢圓退縮成點.二. 幾種常見二次曲面.（一） 橢球面1 用平面z = 0去截割, 得橢圓3 類似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得橢圓:特別: 當a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點o, 半徑為a的球面.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標面 與曲面相截截得中心在原點 的橢圓.與平面 的交線為橢圓.當 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.（2）用坐標面 與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸

9、與 軸相合，虛軸與 軸相合.雙曲線的中心都在 軸上.與平面 的交線為雙曲線.實軸與 軸平行,虛軸與 軸平行.實軸與 軸平行,虛軸與 軸平行.截痕為一對相交于點 的直線.截痕為一對相交于點 的直線.（3）用坐標面 ， 與曲面相截均可得雙曲線.單葉雙曲面圖形 xyoz平面 的截痕是兩對相交直線.雙葉雙曲面xyo（三）拋物面（ 與 同號）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標面 與曲面相截截得一點，即坐標原點設原點也叫橢圓拋物面的頂點.與平面 的交線為橢圓.當 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.與平面 不相交.（2）用坐標面 與曲面相截截得拋物線與平面 的交線為拋物線.它的軸平行于 軸頂點（3）用坐標面 ，