現(xiàn)代信號(hào)處理第6章連續(xù)小波變換課件

1、現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用第六章 連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院研究生學(xué)位課程機(jī)械工程及自動(dòng)化研究所第六章 連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用6.1 諧波小波變換及其工程應(yīng)用6.2 Laplace小波特征波形相關(guān)濾波6.3 Hermitian連續(xù)小波變換與信號(hào)奇異性識(shí)別引言小波分析中被廣泛使用的Daubechies類小波與樣條小波都是實(shí)小波，它們沒有明確的解析表達(dá)式，對(duì)信號(hào)的小波分解是通過構(gòu)造相應(yīng)的正交濾波器系數(shù)hk和gk運(yùn)用Mallat快速算法實(shí)現(xiàn)的。除了這兩類小波，其它類型的小波基函數(shù)也被陸續(xù)構(gòu)造出來并且得到了深入研究和工程運(yùn)用。本章介紹三種在工程實(shí)際應(yīng)用中取得了理想效果的連續(xù)小波基函

2、數(shù)，它們都具有明確的解析表達(dá)式。這三種連續(xù)小波分別是諧波小波、Laplace小波和Hermitian小波。6.1 諧波小波變換及其工程應(yīng)用6.1.1諧波小波的定義及正交性6.1.2 Newland快速算法6.1.3 諧波小波時(shí)頻圖6.1.4 諧波小波濾波6.1.5 諧波小波應(yīng)用小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算 諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述6.1.1諧波小波的定義及正交性諧波小波(harmonic wavelet)是由劍橋大學(xué)D. E. Newland教授在1993年提出的。諧波小波是一種復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達(dá)式，其伸縮與平移構(gòu)成了L2(R)空間的規(guī)范正交基。諧

3、波小波小波具有完全“盒形”的頻譜。諧波小波分解算法是通過信號(hào)的快速傅里葉變換（FFT）及其逆變換（IFFT）實(shí)現(xiàn)的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。6.1.1諧波小波的定義及正交性實(shí)偶函數(shù)we(t)和實(shí)奇函數(shù)wo(t) , 它們的傅里葉變換分別為 6.1.1諧波小波的定義及正交性W()所對(duì)應(yīng)的函數(shù)w (t) = we (t) + iwo (t)由W()的傅里葉逆變換得 w (t)函數(shù)為諧波小波，它是復(fù)小波，在頻域緊支，且具有完全“盒形”的頻譜。6.1.1諧波小波的定義及正交性根據(jù)小波理論對(duì)諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族（j, kZ）：設(shè)w (t)伸縮平移得到函數(shù)族為

4、v(t)，即 其頻譜為隨著小波層（即j）的變大，諧波小波的頻譜寬度倍增而幅值降低分析頻寬從高頻到低頻是以1/2關(guān)系逐漸減小的，對(duì)信號(hào)的低頻部分劃分比較細(xì)，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波分解是一種小波分解 6.1.1諧波小波的定義及正交性當(dāng)j 0，W()與V()在頻域中總處于不同的頻段，因而總有說明處于不同層的諧波小波總是正交的 對(duì)于處于同層的諧波小波w(t)，w(t k) , 其中(k 0, k Z)， 說明處于第零層的諧波小波也是正交的。對(duì)其它層，以上結(jié)論可以類似得到 。因此，w(t)及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號(hào)的正交基。以諧波小波作為基函數(shù)系就可以將信號(hào)既不交迭，又無遺漏地分解到相互獨(dú)

5、立的空間，實(shí)現(xiàn)將信號(hào)成分分解到不同頻段 。6.1.2 Newland快速算法諧波小波構(gòu)成了L2 ( R ) 空間的規(guī)范正交基，則任何信號(hào)x ( t ) L2 ( R ) 都可以表示為諧波小波的線性和，即aj,k為函數(shù)x(t)的小波展開系數(shù) 用求內(nèi)積的方法計(jì)算小波展開系數(shù)運(yùn)算量太大，是很不實(shí)用的。因此諧波小波的提出者Newland給出了一種快速算法，可以快速而精確地求得諧波小波分解，對(duì)諧波小波運(yùn)用于工程實(shí)踐有很大好處。6.1.2 Newland快速算法Newland快速算法是通過信號(hào)的快速傅里葉變換FFT和快速傅里葉逆變換IFFT實(shí)現(xiàn)。設(shè)有離散信號(hào)x (r)，r = 0, N 1,其中N = 2

6、n，其諧波小波分解為as , s= 0, N 1。令as由Fs經(jīng)分段、對(duì)每一段作IFFT得到，下兩式為其表達(dá)式：6.1.2 Newland快速算法下圖表示一數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為16的實(shí)序列的諧波小波分解示意圖6.1.3 諧波小波時(shí)頻圖諧波小波分解結(jié)果一般用小波時(shí)頻圖（Wavelet Time-Frequency Map）直觀表示。在各網(wǎng)格以as模的平方為高作柱體就構(gòu)成了諧波小波時(shí)頻圖。小波時(shí)頻圖是隨|as|2起伏的面。這里高度取lg|as|2。 由Parseval公式得到 ，諧波小波分解結(jié)果表明不同頻率和時(shí)間的諧波小波能量對(duì)整個(gè)信號(hào)能量貢獻(xiàn)的大小 6.1.3 諧波小波時(shí)頻圖下圖為信號(hào)x (r) = si

7、n(215tr)，( r = 0 , , 511；tr = r / 320 )的波形及諧波小波分解時(shí)頻圖。該信號(hào)是單一頻率的，所以諧波小波分解只有一個(gè)層有值，在小波時(shí)頻圖上表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)的層有峰值。諧波小波分解系數(shù)，低頻頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)少，高頻頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)多。6.1.4 諧波小波濾波旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷利用機(jī)組同一截面兩路相互垂直振動(dòng)信號(hào)的合成軸心軌跡來監(jiān)測(cè)其運(yùn)行狀態(tài)和識(shí)別故障類型。當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)，信號(hào)表現(xiàn)出非平穩(wěn)特性，而小波變換對(duì)處理非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的，我們可以用相互垂直的X方向與Y方向的小波分解結(jié)果來合成軸心軌跡。Mallat算法分解時(shí)要隔二抽一，從而使得小波分解各層的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)

8、和采樣頻率隨分解層次增加而逐漸減小。這樣，直接對(duì)運(yùn)行轉(zhuǎn)子垂直、水平方向振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波分解，采用同一尺度同一頻段的分解數(shù)據(jù)合成軸心軌跡，將使軸心軌跡不但不具有可比性，而且由于數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)減少、采樣頻率降低會(huì)使合成的軸心軌跡失真，這種直接合成軸心軌跡的方法是不合適的。諧波小波濾波能夠在低頻頻帶和高頻頻帶內(nèi)都具有足夠的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。6.1.4 諧波小波濾波諧波小波實(shí)際上是一個(gè)完全理想的帶通濾波器 ，可以用下面的方法定義諧波小波 其中m, n決定了諧波小波變換的尺度（j），且n = 2m，當(dāng)m = 0時(shí)，n = 1。 諧波小波的光滑性，“盒形”譜特性，零相移特性以及明顯的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使得我們可構(gòu)造出不同尺度

9、下各頻段序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不變、采樣頻率不變的算法，最終成功應(yīng)用于轉(zhuǎn)子軸心軌跡分析 6.1.4 諧波小波濾波6.1.4 諧波小波濾波6.1.4 諧波小波濾波為了對(duì)信號(hào)的某一特定頻段的成分進(jìn)行研究，在對(duì)信號(hào)的諧波小波分解進(jìn)行重構(gòu)時(shí)可將其它頻段的諧波小波系數(shù)置為“0”，只保留該段的小波系數(shù)，由于諧波小波的正交性，如此重構(gòu)的結(jié)果只包含信號(hào)該頻段的成分，其它成分都被剔除了。這個(gè)算法與本節(jié)開始所給出的算法是一致的，實(shí)際是諧波小波重構(gòu)算法的延伸，是對(duì)信號(hào)進(jìn)行了濾波，我們稱這一過程為諧波小波濾波。諧波小波濾波計(jì)算過程并未采用基于隔二抽取的Mallat算法，因此保證了信號(hào)各頻段成分點(diǎn)數(shù)不變，采樣頻率不變，這樣就可以

10、實(shí)現(xiàn)機(jī)組同一截面互相垂直兩個(gè)方向振動(dòng)信號(hào)的軸心軌跡合成。6.1.4 諧波小波濾波諧波小波包變換6.1.5 諧波小波應(yīng)用小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 小波變換只是把信號(hào)從時(shí)間域變換到時(shí)間尺度域或時(shí)間頻率域，如何從小波變換后的信號(hào)中提取機(jī)械動(dòng)態(tài)信息和故障特征才是工程應(yīng)用領(lǐng)域最關(guān)心的問題。因此，為了使小波分析技術(shù)達(dá)到工程實(shí)用化，必須研究開發(fā)小波變換信號(hào)再處理技術(shù)小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算分形的自相似仿射算子r與小波變換的伸縮因子a是作用相同，小波變換從低分辨到高分辨的過渡原則與分形過程的從總體向局部、從宏觀向微觀深化分析原則是一致的，小

11、波和分形都具有自相似性，兩者結(jié)合是可行的。小波分形技術(shù)原理是應(yīng)用小波包變換將機(jī)械振動(dòng)信號(hào)分解到正交的、獨(dú)立的頻帶內(nèi)，然后分別計(jì)算出每個(gè)頻帶信號(hào)的盒維數(shù)， 用盒維數(shù)衡量小波包分解每個(gè)頻帶信號(hào)的復(fù)雜程度由于一維離散信號(hào)的盒維數(shù)是介于1和2之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，信號(hào)越復(fù)雜維數(shù)越大 分形小波小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算設(shè)離散信號(hào) 是n維歐氏空間Rn上的閉集。將Rn劃分成盡可能細(xì)的網(wǎng)格，若是網(wǎng)格寬度N 為的離散空間上集合X的網(wǎng)格計(jì)數(shù)。盒維數(shù)定義為 :由于離散信號(hào)的最高分辯率為采樣間隔 t，所以上式的極限是無法按其定義0求出。實(shí)際計(jì)算時(shí)一般采用近似方法，即將網(wǎng)格視為最小網(wǎng)格，然后逐步放大為k網(wǎng)格，kZ

12、+，令則網(wǎng)格寬度為k的信號(hào)x(j)的網(wǎng)格計(jì)數(shù)為 小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算在lg k lg Nk圖中確定線性好的一段為信號(hào)無標(biāo)度區(qū) ，如果無標(biāo)度區(qū)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為k1，k2，則在此區(qū)域內(nèi)，應(yīng)該滿足線性回歸模型 這樣，用最小二乘法可求得信號(hào)x(j)的盒維數(shù)為即盒維數(shù)是最小二乘法擬合直線斜率的估計(jì)值小波分解l次后第i頻帶信號(hào) 的盒維數(shù)分別記為 ，可以作為無量綱指標(biāo)來描述振動(dòng)信號(hào)在不同尺度下和不同頻帶內(nèi)的復(fù)雜性和不規(guī)則性，從而提取出故障出現(xiàn)時(shí)信號(hào)的非平穩(wěn)特征。 諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 某大型化肥廠CO2壓縮機(jī)發(fā)生喘振時(shí)，高壓缸水平方向（X方向）和垂直方向（Y方向）由

13、渦流式位移傳感器拾取的振動(dòng)信號(hào)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速6530r/min，采樣頻率2000Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度1024點(diǎn)。 軸心軌跡較為復(fù)雜且不規(guī)則，加之較小的高倍工頻分量影響使得軸心軌跡有一些局部能量突變點(diǎn)，且其分形盒維數(shù)也比較大。 諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述X方向、Y方向信號(hào)的第2層諧波小波包分解 與第0頻段合成軸心軌跡及其分形盒維數(shù)第0頻段小波對(duì)應(yīng)的是低頻喘振、工頻振動(dòng)和二倍頻振動(dòng)的特征，高倍工頻分量影響已剔除，軸心軌跡光滑度提高，不規(guī)則度減少，其分形盒維數(shù)1.3536相對(duì)原始軸心軌跡也有所減少諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述第3層諧波小波包分解后，第0、1頻段合成軸心軌跡及分形盒

14、維數(shù) 圖(d)分形盒維數(shù)1.2604較前圖有所減少，但其分形盒維數(shù)為明顯比正常機(jī)組大，這說明低頻喘振的確是一種低頻不平穩(wěn)性振動(dòng)。圖(f)的1.3501盒維數(shù)說明低頻喘振不但自身是不平穩(wěn)的晃動(dòng)，而且影響著二倍頻區(qū)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致二倍頻區(qū)也有晃動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生6.2 Laplace小波特征波形相關(guān)濾波6.2.1 Laplace小波及其特性6.2.2 Laplace小波基函數(shù)相關(guān)濾波6.2.3 應(yīng)用實(shí)例沖擊響應(yīng)信號(hào)檢測(cè)的意義振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)沖擊響應(yīng)波形往往標(biāo)志著旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備發(fā)生松動(dòng)、碰撞、沖擊等故障。如何從強(qiáng)大的工頻振動(dòng)、諧波振動(dòng)和背景噪聲中提取出沖擊響應(yīng)信號(hào)的發(fā)生時(shí)刻、振蕩頻率和阻尼比等參數(shù)對(duì)設(shè)備故障的診斷

15、和定位至關(guān)重要。在往復(fù)機(jī)械中，活塞、連桿、氣閥等運(yùn)動(dòng)部件對(duì)系統(tǒng)具有相同的激勵(lì)頻率，在頻譜上頻率特征互相重疊，很難分辨。然而，各個(gè)運(yùn)動(dòng)部件對(duì)系統(tǒng)施加的沖擊并非同時(shí)發(fā)生，即相互之間有一定的相位差，因此在時(shí)域上表現(xiàn)為一系列有一定時(shí)間間隔的沖擊響應(yīng)波形，每一個(gè)沖擊頻率與某個(gè)特定運(yùn)動(dòng)部件相對(duì)應(yīng)，如果將這些單個(gè)沖擊響應(yīng)波形提取出來，分別用特征參數(shù)表示，即可對(duì)往復(fù)機(jī)械機(jī)構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行趨勢(shì)分析和診斷，因此，沖擊響應(yīng)信號(hào)的提取對(duì)往復(fù)機(jī)械故障診斷意義重大。 Laplace小波的引入使用與信號(hào)波形最匹配的基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解、提取出隱含故障特征是故障診斷?？崎T診思想的精髓。自從將小波分析引入到機(jī)械故障診斷領(lǐng)域以來，我

16、們就一直在尋找一種小波，它在滿足小波的基本條件的同時(shí)，應(yīng)該具備與沖擊響應(yīng)信號(hào)類似的單邊衰減性質(zhì)。 對(duì)一個(gè)二階欠阻尼系統(tǒng)進(jìn)行Laplace反變換，Strang G.構(gòu)造出了Laplace小波，該小波在復(fù)數(shù)空間內(nèi)為螺旋衰減曲線，其實(shí)部和虛部與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似。Lawrence C. Freudinger等人將Laplace小波成功應(yīng)用于無人駕駛飛機(jī)機(jī)翼模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，取得了良好的效果Laplace小波及其特性 與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似緊支性是顯而易，不具備正交性，其頻域盒形不好，故濾波特性較差 Laplace小波基函數(shù)庫(kù) 課件下載地址unit.xjtu

17、.edu/imea離散網(wǎng)格空間 Laplace小波基函數(shù)庫(kù) 稱作Laplace小波基函數(shù)庫(kù)的小波原子。集合F 相當(dāng)于小波伸縮集合T 相當(dāng)于小波平移集合Z 改變小波衰減形狀 相關(guān)濾波法 內(nèi)積可以度量信號(hào)之間的相關(guān)性，若信號(hào)x(t)是某個(gè)系統(tǒng)S的輸出，通過計(jì)算x(t)與Laplace小波原子的內(nèi)積，可以估計(jì)它們之間的相似性，從而得到S的模態(tài)參數(shù)與的頻率、阻尼特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系,和匹配追蹤的思想類似 單自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)信號(hào) Laplace小波相關(guān)濾波方法具備在強(qiáng)大的噪聲干擾中準(zhǔn)確識(shí)別出脈沖響應(yīng)信號(hào)頻率的能力濾波法對(duì)頻率參數(shù)較敏感 相關(guān)濾波法也適合于識(shí)別多自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù) 相關(guān)濾波法的計(jì)算量很大，

18、為了減少計(jì)算量，加速計(jì)算過程，可采用了二次相關(guān)濾波法 轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)模態(tài)參數(shù)識(shí)別 通過轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)的升速過程測(cè)得其一階臨界轉(zhuǎn)速在115118Hz內(nèi)燃機(jī)缸蓋振動(dòng)信號(hào)識(shí)別 內(nèi)燃機(jī)缸蓋振動(dòng)信號(hào)識(shí)別是進(jìn)氣閥關(guān)閉時(shí)刻，由此可以推斷該缸進(jìn)氣閥存在異常。停機(jī)檢修，發(fā)現(xiàn)4號(hào)缸進(jìn)氣閥明顯磨損而導(dǎo)致漏氣，必然導(dǎo)致較強(qiáng)的沖擊 大型水輪機(jī)軸系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)一階固有頻率提取 大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)固有頻率是機(jī)組結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要技術(shù)指標(biāo)。雖然動(dòng)力學(xué)方法已經(jīng)在水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)分析中得到廣泛應(yīng)用97-99，但簡(jiǎn)化處理后的力學(xué)模型是近似的，由其得到的結(jié)果和實(shí)際工程對(duì)象往往存在很大的差別，因此，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)機(jī)組軸系的固有頻率具有十分重

19、要的意義 意義難點(diǎn)大型水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)軸系為剛性轉(zhuǎn)子，無法通多升降速測(cè)量固有頻率敲擊產(chǎn)生的響應(yīng)很微弱工作轉(zhuǎn)速為1.136Hz，軸系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的一階固有頻率的理論計(jì)算值為3.78Hz，試驗(yàn)估計(jì)值可能在34Hz之間 一次撞擊振動(dòng)信號(hào)識(shí)別 多次撞擊振動(dòng)信號(hào)識(shí)別 提高識(shí)別精度 從兩種信號(hào)提取出的水輪機(jī)軸系固有頻率（3.44Hz、3.64Hz）不完全相等，主要原因是強(qiáng)大的工頻振動(dòng)對(duì)相關(guān)濾波精度造成的影響。應(yīng)用頻帶為36Hz的諧波小波帶通濾波器 ，將信號(hào)中的工頻振動(dòng)分量濾掉 小結(jié)沖擊響應(yīng)信號(hào)的有效提取和參數(shù)的正確識(shí)別對(duì)設(shè)備故障的診斷和定位至關(guān)重要。本章利用Laplace小波相關(guān)濾波法，建立了基于Laplace小

20、波的沖擊響應(yīng)信號(hào)檢測(cè)?？崎T診。Laplace小波相關(guān)濾波法能夠在強(qiáng)大噪聲或其它干擾中準(zhǔn)確捕捉到脈沖響應(yīng)信號(hào)，識(shí)別出響應(yīng)波形的參數(shù)?？梢灶A(yù)測(cè)，Laplace小波相關(guān)濾波法在模態(tài)識(shí)別和設(shè)備故障診斷中具有良好的應(yīng)用前景。6.3 Hermitian連續(xù)小波變換與 信號(hào)奇異性識(shí)別6.3.1 機(jī)械故障診斷中的奇異性6.3.2 小波變換對(duì)信號(hào)奇異性檢測(cè)的基本原理6.3.3 Hermitian小波的定義及特性研究6.3.4 Hermitian連續(xù)小波變換及分解結(jié)果的表達(dá)方式信號(hào)奇異性檢測(cè)的意義機(jī)械設(shè)備由于局部異常而誘發(fā)的信號(hào)往往具有奇異性（Singularity），它表現(xiàn)為突變、尖點(diǎn)等不規(guī)則的瞬變結(jié)構(gòu)。信號(hào)的

21、奇異性包含了相應(yīng)對(duì)象的重要狀態(tài)特征信息，判斷信號(hào)的奇異點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)刻，并對(duì)信號(hào)奇異性實(shí)現(xiàn)科學(xué)的描述，在信號(hào)處理和故障診斷等領(lǐng)域具有重要的意義 奇異性提取要求對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部化分析。由于小波分析具有良好的時(shí)頻(尺度)局部化能力，它很自然被引入到信號(hào)奇異性分析領(lǐng)域 小波變換奇異性檢測(cè)的研究工作主要包括兩個(gè)方面：一是選擇或構(gòu)造局部化分析能力強(qiáng)的小波，二是研究小波變換結(jié)果的有效表達(dá)方式 小波變換對(duì)信號(hào)奇異性檢測(cè)的基本原理 奇異性的定義 數(shù)學(xué)上稱無限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒有奇異性。若函數(shù)在某處有間斷點(diǎn)或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該函數(shù)在此處有奇異性，該點(diǎn)就是奇異點(diǎn)。信號(hào)的奇異性是由奇異點(diǎn)處的李氏指數(shù)（Lipschi

22、tz Exponents, LE）來度量的 小波變換的極值點(diǎn)、過零點(diǎn)與信號(hào)奇異性的聯(lián)系 小波變換在奇異性檢測(cè)中的進(jìn)展 Grossmann采用Morlet小波用于圖像的邊緣檢測(cè) -20-100102000.8-4-2024-1-0.500.51在支撐區(qū)域內(nèi)Morlet小波是多次振蕩的，根據(jù)Nyquist采樣定理，在離散處理時(shí)需要較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)來表達(dá)Morlet小波。點(diǎn)數(shù)較多的濾波器必然會(huì)平滑掉信號(hào)中的部分奇異性104，所以，奇異性檢測(cè)需要振蕩次數(shù)較少的小波，這正是本章選擇Hermitian小波的出發(fā)點(diǎn) Mallat通過小波變換來求解LE ，還研究了基于小波變換的奇異點(diǎn)信號(hào)重構(gòu)，這

23、些研究工作在信號(hào)壓縮和圖像識(shí)別中具有重大的貢獻(xiàn)。 然而，就機(jī)械故障診斷而言，我們所關(guān)心的問題是信號(hào)奇異點(diǎn)的出現(xiàn)時(shí)刻和它的類型。 對(duì)信號(hào)的過渡點(diǎn)比較敏感，而 則適合于識(shí)別信號(hào)的極值點(diǎn)。若需要同時(shí)識(shí)別出信號(hào)的過渡點(diǎn)和極值點(diǎn)，兩者不能兼顧。Harold Szu創(chuàng)造性地將 合并為Hermitian小波。美中不足的是，Harold Szu只通過小波變換相空間截面圖（相圖）來對(duì)信號(hào)奇異性進(jìn)行識(shí)別，忽略了小波變換時(shí)間-尺度幅值圖（幅圖）所包含的重要信息，沒有真正發(fā)揮出Hermitian小波的優(yōu)點(diǎn)。 Hermitian小波的定義及特性研究 -505-0.500.5-10-5051000.51-10-50510-101-10-50510-1012只需要少量離散點(diǎn)即可表達(dá)，具有很強(qiáng)的時(shí)域局部化能力能保證變換后信號(hào)奇異點(diǎn)的時(shí)間位置不變 Hermitian連續(xù)小波變換及分解結(jié)果的表達(dá)方式 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的幅